Une méthode conservative de couplage instationnaire de codes en aérothermique

Texte intégral

(1)Congrès Français de Thermique, SFT 2005, Reims, 30 mai - 2 juin 2005. Une méthode conservative de couplage instationnaire de codes en aérothermique. Emmanuel RADENAC1*, Jérémie GRESSIER1, Pierre MILLAN1, André GIOVANNINI2 1. ONERA / DMAE 2 avenue Edouard Belin – BP 4025 – 31055 Toulouse Cedex 4 2 Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse 1 allée du Professeur Camille Soula – 31400 Toulouse * (auteur correspondant : emmanuel.radenac@onecert.fr ) Résumé – Une méthode conservative de couplage de solveurs de mécanique des fluides et de diffusion thermique est présentée. L’utilisation optimale des codes et la perspective de paralléliser l’intégration incitent à effectuer un couplage pour lequel les échanges de données entre domaines intégrés sont effectués selon des pas de temps indépendants des conditions classiques de stabilité numérique. La conservativité est alors maintenue par des corrections qui sont une nouvelle source de déstabilisation. L’étude détermine des critères permettant de réaliser des calculs stables et conservatifs. Nomenclature b cp h k r S t T U V δx. effusivité, J.m-2s-1/2K-1 capacité calorifique, J.K-1.kg-1 coefficient de convection, W.m-2.K-1 coefficient de correction rapport d’effusivités surface, m² temps, s température, K quantité calculée, S.I. volume, m3 pas de discrétisation spatiale, m. Symboles grecs α diffusivité thermique, m2.s-1 λ conductivité thermique, W.m-1.K-1 ξ « rapport des conductivités » ρ masse volumique, kg.m-3 H Φ vecteur flux, S.I. χ « rapport des diffusivités » Indices et exposants D droite G gauche. 1. Introduction En réponse aux besoins industriels croissants de simulations des phénomènes couplés régissant des systèmes aussi complexes que les avions, le problème de transfert de chaleur conjugué fluide – matériau est de plus en plus étudié par couplage thermique de solveurs de mécanique des fluides et de diffusion de la chaleur. Les calculs de turbine en stationnaire puis instationnaire ont été les premières applications de ce type [1]. Les méthodes ont été étendues à des codes dédiés à des géométries plus générales [2] [3]. L’objet de ce travail est de réaliser un tel couplage, instationnaire, conservatif et efficace grâce à une parallélisation aisée.. 2. Le couplage 2.1. Présentation du couplage Le code CEDRE de l’ONERA utilise la méthode des Volumes Finis, dont l’un des intérêts est la conservativité. Le couplage thermique des modules de mécanique des fluides et de.

(2) Congrès Français de Thermique, SFT 2005, Reims, 30 mai - 2 juin 2005. diffusion de la chaleur de ces codes est réalisé par transmission d’informations entre ces modules, visant à actualiser les conditions aux limites à l’interface entre les domaines. Ces conditions aux limites assurent la conservation simultanée de la température et du flux thermique à l’interface. La figure 1 illustre le processus de couplage. Le couplage « rigoureux » est effectué à chaque pas de temps d’intégration : la même discrétisation temporelle est appliquée à tous les domaines. Cette méthode, la plus précise, n’est pas optimale d’un point de vue utilisation des codes de calcul. La discrétisation temporelle due à des critères de stabilité numérique est en effet très différente selon les domaines intégrés et la plus courte doit alors être attribuée à tous les domaines. Un assouplissement est permis par le couplage « adapté ». La discrétisation temporelle qui régule le couplage, définissant des cycles de durée définie sur des critères physiques, est différente des pas de temps d’intégration fixés sur des critères de stabilité numérique. Cette démarche permet de faciliter la parallélisation : chaque module peut fonctionner indépendamment sur un processeur et la communication s’effectue entre les cycles. 2.2. Le raccord, point crucial du couplage Le couplage se définit par un couple de conditions aux limites (couple qu’on appellera raccord) : chaque domaine intégré par les modules couplés reçoit en début de cycle une mise à jour de sa condition aux limites permettant l’équilibre des températures à l’interface et l’égalité des flux thermiques à l’instant d’échange. Cela est permis par les trois types de conditions aux limites : de Dirichlet, de Neumann et de Fourier. En revanche, au cours du cycle, chaque domaine étant intégré de façon indépendante, les données des cellules internes évoluent différemment selon que le flux ou la température à la limite est fixé ou encore qu’une relation entre les deux est imposée. L’absence de communication entre les zones intégrées est alors à l’origine de deux phénomènes : l’importance cruciale du choix du raccord et la perte possible du caractère conservatif de l’intégration. Une étude matricielle de stabilité monodimensionnelle, simulant le cas critique de cycles de longueur suffisamment grande pour que l’état stationnaire soit atteint, permet d’écarter les raccords incluant des conditions de Neumann. Dans les deux cas de raccord Neumann / Neumann (figure 2) et Neumann / Dirichlet (figure 3), la stabilité, fonction du rapport des conductivités des deux domaines couplés et de la discrétisation spatiale, est fortement dépendante de cette dernière. Quand elle s’affine, la stabilité s’atténue. Le raccord Neumann / Neumann est pourtant le seul à garantir la conservativité : le flux à l’interface se conserve au cours du cycle même si la température n’est pas équilibrée. Pour les autres raccords, que l’étude de stabilité ne déconseille pas, des pertes de flux apparaissent à l’interface des domaines couplés. L’intérêt de la conservativité de la méthode des volumes finis en est atténué, et la précision du calcul se détériore (notamment pour des conditions aux limites libres des domaines non isothermes). L’exemple du couplage de deux domaines 1D solides de frontières adiabatiques (figure 4) qualifie bien les pertes de flux survenant à l’interface. Le nombre de Fourier de cycle, basé sur la discrétisation spatiale et le pas de temps de cycle, est une expression sans dimension de la durée de cycle. Si celle-ci croît, l’erreur sur la température finale augmente et peut devenir conséquente (tableau 1). Couple de nombres de Fourier de cycle 10 / 5,2 40 / 20,8 160 / 83,3. Erreur relative sur la température finale 13,7 % 22,9 % 27 %.

(3) Congrès Français de Thermique, SFT 2005, Reims, 30 mai - 2 juin 2005. Tableau 1 : Erreur relative due à l’allongement des cycles dans un cas adiabatique 1D (figure 4). Raccord Dirichlet / Dirichlet.. 3. Corrections du déficit de flux 3.1. Méthodologie Afin de remédier à la perte de conservativité, un système de correction est mis en place. Les déficits de flux aux interfaces sont calculés puis compensés (figure 5). Dans chaque domaine, les flux passant aux interfaces au cours du cycle sont cumulés. Lors de l’échange, le déficit de flux est calculé à chaque interface. L’application de la correction demande de quantifier la proportion de déficit donnée à chaque domaine : un coefficient de correction k définit ce choix comme sur la figure 6. La correction, calculée sur les flux à l’interface, est alors appliquée sous forme de correction de température dans les cellules limitrophes. Les conditions aux limites de couplage sont ensuite actualisées. Il s’agit de la méthode « AVANT » de la figure 5 (la méthode « APRES » est abordée par la suite). 3.2. La déstabilisation par les corrections de flux La correction présente le désavantage d’être déstabilisante pour le calcul. Des critères de stabilité numérique sont à définir, d’après une étude monodimensionnelle de stabilité, sous la forme de nombres de Fourier de cycle maximum de stabilité (valables quel que soit le nombre d’itérations d’intégration au cours du cycle). Mais ils dépendent de plusieurs paramètres. λ δx α DδxG2 b ξ Deux sont intrinsèques au cas de calcul : χ = et ξ = D G (ou r = = D ). Les 2 λ G δx D α G δx D χ bG deux autres sont des choix de couplage : k et le type de raccord. Sur la figure 7, les raccords les plus stables sont indiqués dans le plan ( χ , log(r )) , en fonction de k. Sur la figure 8, sont portés les nombres de Fourier de cycle maximum de stabilité correspondant. On s’aperçoit que les niveaux de nombre de Fourier de cycle atteints sont plus importants avec une correction décentrée ( k ≠ 0 ), et plus particulièrement avec k = 0,5 . Or le tracé est effectué pour χ ≤ 1 . La correction doit donc être appliquée de préférence du côté où le α rapport est le plus petit . Le temps caractéristique de diffusion y étant plus important, δx 2 l’évolution au cours d’un cycle est plus éloignée de la convergence. D’autre part, la correction de flux ∆Φ est appliquée sous la forme d’une correction de température dans les cellules ∆Φ α , qui est d’autant plus faible que 2 est petit. d’ordre ∆T = ρc P V δx De plus, il est notable que si la correction Dirichlet / Dirichlet semble intéressante en correction centrée, les corrections de type Fourier / Dirichlet sont à privilégier dès que la correction est décentrée. Celle-ci doit alors être appliquée du côté de la condition de Fourier. 3.3. Choix stratégiques De l’étude précédente, on retient les choix des décentrements et du type de raccord en fonction du cas de calcul. Une étude de stabilité semblable avec une correction effectuée après l’échange (correction « APRES » de la figure 5) montre, en schéma explicite, une stabilité numérique accrue. Elle n’est, selon la théorie 1D, pas subordonnée à un critère de nombre de Fourier de cycle maximum, mais pour des nombres de Fourier d’intégration inférieurs à 0,4, la stabilité est assurée..

(4) Congrès Français de Thermique, SFT 2005, Reims, 30 mai - 2 juin 2005. La théorie de stabilité, pour les deux types de correction précédents, est vite démentie quand le cas n’est plus 1D : la stabilité se détériore. La meilleure stabilité donnée par la correction APRES suggère que répartir la correction est bénéfique pour la stabilité : on peut la répartir sur plusieurs itérations du cycle. Les résultats en terme de stabilité sont satisfaisants. L’exemple de la figure 9 montre que la précision de l'intégration couplée est quant à elle améliorée que la correction soit AVANT, APRES ou REPARTIE (à chaque itération du cycle est appliquée la même proportion de correction). La première est un peu plus précise (figure 10) mais la déstabilisation est plus précoce, ce qui peut se traduire par des oscillations de la valeur de la température aux temps faibles (d'où une atténuation temporaire de la précision). 4. Conclusion Le couplage conservatif de modules de diffusion de la chaleur et de mécanique des fluides est effectué grâce à la mise en place d’un système de correction. Ce dernier est à l’origine d’un nouveau mode de déstabilisation numérique. Celle-ci est maîtrisée par les combinaisons suivantes des paramètres guidant le calcul couplé corrigé : les corrections sont appliquées dans le domaine de plus petite diffusivité. Le couple de conditions aux limites de raccord est de type Fourier / Dirichlet avec la condition de Fourier pour le domaine où est appliquée la correction. La stabilité est encore accrue en répartissant la correction sur les itérations du cycle. L’étude présentée a été réalisée par le biais d’analyses théoriques de stabilité et d’essais numériques. La procédure de couplage reposant sur les transferts conductifs de chaleur, la validation avec le couplage diffusion – diffusion est suffisante. C’est pourquoi les essais présentés sont effectués sans convection. Le maintien de la conservativité par la convergence locale sur les cycles est une autre méthode en cours d’étude. Références [1] D.L. Sondak, D.J. Dorney, Conjugate unsteady heat transfer simulation in a turbine stage, AIAA Paper, 2000-3360 (2000). [2] A. Montenay, Thèse de doctorat de l’Université Paris VI, spécialité mécanique, « Analyse Numérique de l’Aérothermique d’Aubages et de Cavités de Turboréacteurs », (2000). [3] C.P. Rahaim, A.J. Kassab, R.J. Cavalleri, Coupled dual reciprocity boundary element / finite volume method for transient heat transfer, Journal of thermophysics and heat transfer, Vol 14, n°1, pp.27-38, (2000). intégration module 1 intégration module 2 t. intégration module 1 intégration module 2 CL(N+1) t échange fluide solide N+1 CL(N) CL(N) fluide. cycle. solide. N+2 N+1 N. CL(N) fluide. solide. échange : calcul conditions limites d’interface CL. N. pas de temps d’intégration différents. pas de temps d’intégration identiques. aube de turbine : calcul de température air : calcul de vitesse, température .... couplage adapté. échange. couplage rigoureux. Figure 1 : couplage de modules..

(5) Congrès Français de Thermique, SFT 2005, Reims, 30 mai - 2 juin 2005. Etude de stabilité du raccord par les flux. 5. 10. 10. Stabilité du raccord flux / température. 10. k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9. 4. 10. 8. 10. 3. 10. 6. Rayon spectral. Rayon spectral. 2. 10. 1. 10. limite de stabilité. 0. 10. −1. 10. −2. 10. xd=xg=1 xd=xg=0.1 xd=xg=0.01 xd=xg=0.001. −3. 10. −4. 10. −5. 10 −2 10. −1. 10. 0. 1. 10 10 Rapport des conductivités. 2. 10. 10. 4. 10. 2. 10. limite de stabilité. 0. 10. −2. 10 −4 10. −2. 0. 2. 10 10 Rapport des conductivités. 10. Figure 2 : Etude de stabilité du raccord Neumann / Figure 3 : Etude de stabilité du raccord Neumann / Dirichlet. δxD= δxG=10-k pour k=0 à 9. Neumann. xd = δxD, xg = δxG.. conditions limites de couplage 00000000000000000000000000000000000000000000000 1111111111111111111 1111111111111111111111111111 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 0 111111111111111111 0 1 000000000000000000 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 000000000000000000 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 -10 111111111111111111 0 15 5. condition initiale Ti = 1000. Domaine DG t’. t. ΦG2. dtD. dt G ΦG1. échange. 000 conditions 111 000 111 000 111. limites adiabatiques. Ti=500 Figure 4 : cas couplé 1D adiabatique.. Domaine DD CORRECTION DE = ED - EG => DTG = F(DE), DTD = G(DE) t’’ METHODE "AVANT" TG(t) = TG (t) + DTG (correction) TD(t) = TD(t) + DTD interface : Ti = f(TG, TD ) corrigé TG(t’) = g( Ti, TG(t) ) et TD(t’’) = h( Ti, TD (t) ) METHODE "APRÈS" interface : Ti = f( TG (t), TD (t) ) (non corrigée) ΦD3 TG(t) = TG(t) + DTG (correction) TD(t) = TD(t) + DTD (correction) TG(t’) = g( Ti, TG(t) ) et TD(t’’) = h( Ti, TD(t) ) ΦD2 cumul des flux : EG = Σ (ΦGi . dtGi ) ED = Σ (ΦDi . dt Di ) ΦD1. Figure 5 : Processus de correction.. Flux cumulé (valeur absolue). =(-k-0.5).différence. différence: Flux gauche -Flux droite. = (-k+0.5).différence. gauche de l’interface. imposé. droite de l’interface. Figure 6 : Application de la correction, définition du coefficient de correction k..

(6) Congrès Français de Thermique, SFT 2005, Reims, 30 mai - 2 juin 2005. T/T. 0. -0.5. 1. 1 0.5. 0. -1. -1 -1.5. C/C 0.4. 0.8. 0. -0.5. T/C. 0.4. 0.6. χ. 0.8. -1. -1 -1.5 0.2. 0.4. k = 0.5. 0.6. -0.5. -2 0.2. 0.5 0. -1. -1. 0.6. χ. 0.8. 1. Fc 311 280 249 218 187 155 124 93 62 31. -0.5. -1.5. -1.5. 0.4. k = 0.5. 1. T/C : Dirichlet / Fourier C/T : Fourier / Dirichlet C/C : Fourier / Fourier T/T : Dirichlet / Dirichlet. T/T. 1. 1.5. raccord. T/C. 0.8. χ 2. 0.5. 0. -1.5. 1. k=0. -0.5. -2. 0.2. 1. log(r). C/T T/T. 1. 1.5. 0. C/C. -2 0.6. χ. 2 1.5. 0.5. -1.5 -2. k = -0.5. 1. -0.5. C/T. 2. 2 1.5. 0.5. log(r). log(r). 0.5. 0.2. k=0. log(r). 1. 2 1.5. log(r). 1.5. k = -0.5. log(r). 2. -2. -2 0.2. 0.4. 0.6. χ. 0.8. 0.2. 1. 0.4. 0.6. χ. 0.8. 1. Figure 7 : Raccord le plus stable en fonction des Figure 8 : Nombre de Fourier de cycle maximum données de calcul et du coefficient de correction k. Fc de stabilité en fonction des données de calcul et du coefficient de correction k.. Tw 5. condition de symétrie. 0000000000000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000000000000 1111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111. condition limite : h=10 T=700. h=12 T=100. 0 -10. 00000000000000000 1111111111111111111111111111 11111111111111111 0000000000000000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 0000000000000000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 0 1111111111111111111111111111 000000000000000000000000000015 1111111111111111111111111111. condition initiale Ti = 1000 conductivité k=1 diffusivité α=0.15. Ti=500 k=2 α=0.05. condition de symétrie. Figure 9 : Cas de validation en précision.. xx x x. 550. Tw (K). analytique sans correction correction "AVANT" correction "APRES" correction REPARTIE. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xxx xxx xxx xxx xxxx xxxx xxxxx xxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx. 500. 450. 400. 0. 2500. 5000. t (s). 7500. 10-1. erreur relative. 600. 10-2. 10-3. 0. 2500. 5000. 7500. t (s). Figure 10 : Comparaison des intégrations sans correction ou avec correction AVANT, APRES ou REPARTIE avec l'analytique. Pas de temps de cycle de 50 s (50 itérations par cycle dans le domaine de gauche, 22 dans celui de droite (figure 9) )..

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