Invariants de type fini des variétés de dimension trois et structures spinorielles

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structures spinorielles

Gwénaël Massuyeau

To cite this version:

Gwénaël Massuyeau. Invariants de type fini des variétés de dimension trois et structures spinorielles.

Mathématiques [math]. Université de Nantes, 2002. Français. �tel-00001919�

UNIVERSITE DE NANTES



ECOLE DOCTORALE

SCIENCES ET TECHNOLOGIES

DE L'INFORMATION ET DES MAT



ERIAUX

Annee : 2002 N

Æ

B.U. :

These de do torat de l'Universite de Nantes

Spe ialite : MATH 

EMATIQUES ET APPLICATIONS

Presentee et soutenue publiquement par

Gwenael MASSUYEAU

le 28 O tobre 2002



a l'Universite de Nantes

Titre

INVARIANTS DE TYPE FINI

DES VARI



ETES DE DIMENSION TROIS

ET STRUCTURES SPINORIELLES

Jury

President : Pierre VOGEL Professeur(Paris VII)

Rapporteurs : ChristineLESCOP D.R. du CNRS (GrenobleI)

VladimirTURAEV D.R. du CNRS (StrasbourgI)

Examinateurs : ChristianBLANCHET Professeur(Bretagne-Sud)

Thomas FIEDLER Professeur(Toulouse III)

Nathan HABEGGER Professeur(Nantes)

HughMORTON Professeur(Liverpool)

Dire teurde These : Christian BLANCHET

Laboratoire : JeanLeray(UMR6629CNRS/UN)

Composante : Fa ultedesS ien es etTe hniques N

Æ 

Je tiensaexprimeraujourd'hui maprofondegratitudeenversChristian

Blan- het. Preparerune these soussa dire tion aura etepourmoi une experien etres

ri he mathematiquement,et humainement. Pour son enthousiasme permanent et

sa generositepedagogique,jeleremer ie.

Je tiensaremer ierVladimirTuraev d'avoira eptederapporter ette these,

qui aete pour une grande part motivee par ses travaux. De m^eme, je remer ie

Christine Les op pour tous ses ommentaires sur e travail, et d'^etre presente a

mon jury.

Je remer ie Nathan Habegger d'avoiranime un groupe de travail durant

le-quel j'ai beau oup appris, ainsi que Hugh Morton d'avoiren adre mon sejour a

l'Universitede Liverpool. Je suis heureux de les ompter parmi les membres du

jury.

Je suis aussitreshonorequePierreVogelet ThomasFiedleraientbien voulu

sejoindreaujury.

Jeremer iemes o-auteursFlorianDeloupetJean-BaptisteMeilhan,ave

les-quelsj'ai eubeau oupdeplaisira ollaborer.

Mes pensees setournentensuiteversmesamis, parmilesquelslesthesards de

Nantes.Je garderaid'ex ellentssouvenirsdeleur ompagnie.

Enn,pourlesremer ierdeleursoutien,j'embrassetendrementmamere,mon

Introdu tion 7

Chapitre 1. RaÆnementsspinorielsde latheoried'invariantsdetypenide

Goussarov-Habiro 13

1. RappelssurlatheoriedeGoussarov-Habiro 13

2. Stru turesSpinetSpin

surles3-varietes 18

3. RaÆnementsspinorielsdelatheoriedeGoussarov-Habiro 33

Chapitre 2. FormesquadratiquesetinvariantsdetypenidesSpin-varietes

fermeesdedimension3 45

1. Introdu tion 45

2. Borromeansurgeriesandequivalentmoves 46

3. SpinBorromeansurgeries 50

4. Quadrati forms onniteAbeliangroups 58

5. Thequadrati form 

M;

62

6. ProofofrenedMatveev theorem 66

7. Appli ations 67

Chapitre 3. Invariantsdetypenides ylindresd'homologie 69

1. Introdu tion 69

2. Denitionof thesurgerymap

1

73

3. Johnson homomorphism and Birman-Craggs homomorphisms for

homology ylinders 79

4. Proofoftheresults 85

Chapitre 4. Fon tions quadratiques et invariantsde type ni des Spin

-varietesfermees dedimension3 93

1. Introdu tion 93

2. Quadrati fun tions ontorsionAbeliangroups 96

3. 3-manifoldswith omplexspinstru tures 106

4. Quadrati fun tions asso iated to 3-manifolds with omplexspin

stru tures 120

5. Goussarov-Habirotheoryfor3-manifoldswith omplexspinstru tures 134

Chapitre 5. TorsionsabeliennesdeReidemeister-Turaev 145

1. RappelssurlestorsionsabeliennesdeReidemeister-Turaev 145

2. Variationdelatorsionlorsd'untwist 155

3. Torsions abelienneset loversbou les 171

S'inspirantde l'appro hede V. Vassiliev pourl'etudedesnoeuds,T. Ohtsuki

aintroduit dans[O℄ unetheorie d'invariants de type ni desspheresd'homologie

entiere. Puis,T.Co hran etP. Melvinl'ontgeneraliseedans [CM℄aux3-varietes

ompa tes orientees.

Defa onindependante,M.GoussarovetK.Habiroontintroduituneautretheorie

d'invariantsdetypeni pourles 3-varietes ompa tes orienteeset leursentrela s.

Developpeedans[Go℄,[GGP℄et[Hr℄,leur theories'a ompagned'unete hnique

al ulatoire eÆ a eet originale,appelee al ulde lovers ou al ul de laspers, et

deniepardesoperationsdutype\ ouper/re oller".

La restri tion auxspheresd'homologie entiere de latheorie deGoussarov-Habiro

se trouve^etreequivalente a elle d'Ohtsuki, et est assez bien omprise(aumoins

pourles oeÆ ientsrationnels).Enrevan he,pourles3-varieteshomologiquement

non-triviales,latheoriedeGoussarov-Habirone on idepasave ellede

Co hran-Melvinet resteen oreme onnue.

Une3-variete ompa teorienteepeut^etreequipeedestru turessupplementaires,

appelees Spin-stru tureset Spin

-stru tures: lorsque lavarieteest

homologique-ment non-triviale, elle peut ^etre munie de plusieursde es stru tures. Depuis les

travaux de V. Ro hlin, l'emergen e de Spin-stru tures puis de Spin

-stru tures,

dans lesthemesdelatopologiedebassedimensions'est repetee.Par exemple,les

Spin-stru turesse sont avereestres utilespour l'etude des mapping lass groups

des surfa es, autant que pour elle des invariants quantiques des 3-varietes

om-pa tes orientees. De m^eme, lestravaux de V. Turaev ont revelel'importan e des

Spin

-stru turesdanslatheoriedestorsions ombinatoires.

Dans ette these, nous proposons

1

, et nous etudions, des raÆnements de la

theoriede Goussarov-Habiroaux 3-varietes ompa tes orienteesmunies de

Spin-stru turesoudeSpin

-stru tures.Plusgeneralement,nousnouseor onsd'illustrer

l'inter^etquepresentelapriseen omptede esstru turespourl'etudedelatheorie

deGoussarov-Habiro.

Cettetheseest onstituee de inq hapitresquenous introduisons maintenant

su essivement.

Lepremier hapitreexpose,defa onunieeet detaillee,desraÆnementsSpin

et Spin

delatheoried'invariantsdetypenideGoussarov-Habiro.

A et eet, nous debutons parquelques rappels sur la theorie \brute". Puis,

nous revisons les Spin-stru tureset lesSpin

-stru tures, et leursequivalentstels

que lesparallelisationset lesstru tures d'Eulergeometriques. Nousmettons alors

surpieddeste hniquesdere ollementdesstru turesspinorielles( omplexes).Nous

1

Goussarovet Habiroontannon edans [Go℄et [Hr℄la possibilitederaÆnerleurtheorie

aux3-varietesmuniesdeSpin-stru tures,tandisqueCo hran etMelvinontadapteleurtheorie

montrons aussi, pour toute 3-varieteM ompa teorientee a bord et pour toute

Spin-stru turesurM,l'existen edeSpin

-stru turessurM relativesa.Note

Spin

(M;),l'espa ede esstru turesjoueunr^ole essentieldanslasuite.

Ceste hniquesdere ollementnouspermettentdedonnerunesigni ationSpin

et Spin



a es mouvements hirurgi aux qui onsistent a modier une 3-variete

ompa te orientee en la twistant le long d'une surfa e fermee onnexe s indante

par un dieomorphisme agissanttrivialementen homologie. Nous pouvonsalors,

ommeannon e,raÆnerlatheoriedeGoussarov-Habiroaux3-varietes ompa tes

orientees munies de Spin-stru tures ou de Spin

-stru tures. Le al ul de lovers

s'etendaux asSpinet Spin

.

Ledeuxieme hapitrereprendlapubli ation[Ms℄ets'interesseauraÆnement

SpindelatheoriedeGoussarov-Habiro.

La premierequestion soulevee parune theoried'invariantsde typeni est la

ara terisationde sesinvariantsde degre0.Pour latheorie deGoussarov-Habiro

et dans le as des varietesfermees orientees, untheoremedeS. Matveevexprime

que les invariants de degre 0 on ident ave les invariants du premier nombre

de Betti de M et de la lasse d'isomorphisme de la forme d'enla ement de M :

TH 1 (M)TH 1 (M) M -Q=Z,ouTH 1

(M)designelesous-groupedetorsiondu

premiergrouped'homologiea oeÆ ientsentiers H

1 (M).

Maintenant,si(M;)estune3-varietefermeeorienteemunied'uneSpin-stru ture,

on sait luiasso ier une formequadratique TH

1 (M)  M; -Q=Zau-dessus de M ,

ainsi que son invariant deRo hlinR (M;)2 Z

16

. Nous montrons le raÆnement

suivantdutheoremedeMatveev.

Th  eor  eme 1. Soient(M;) et(M 0 ; 0

) desSpin-varietes fermeesde

dimen-sion 3.Lesassertionssuivantessontalors equivalentes:

(1) (M;)et (M

0 ;

0

)nesont pasdistingueesparlesinvariants de degre0;

(2) ilexisteunisomorphismeH 1 (M) -H 1 (M 0 )telque M; = M 0 ; 0 Æ j; (3) ilexisteunisomorphismeH 1 (M) -H 1 (M 0 )telque M = M 0 Æ( j) 2 , et R (M;)=R (M 0 ; 0 )mod8.

L'equivalen eentrelesassertions(2)et (3)duTheoreme1est obtenue ommeun

orollaireduresultatalgebriquesuivant.

Th  eor  eme 2. Soient G q -Q=Z etG 0 q 0

-Q=Z desformes quadratiques

non-degenerees sur des groupes abeliens nis. Les assertions suivantes sont alors

 equivalentes : (1) il existe unisomorphisme G -G 0 telqueq=q 0 Æ ; (2) il existe un isomorphisme G -G 0 tel que b q = b q 0 Æ 2 et (q) = (q 0 )2C. I i, b q

est laformebilineaire symetrique asso ieeaq,denieparb q

(x;y)=q(x+

y) q(x) q(y),et ( q)designelasommedeGaussdelaformequadratiqueq.

Nousdemontrons aussiquel'invariantdeRo hlin(non-reduit)est dedegre1,

assurantainsi lanon-trivialitedelatheorieraÆneeparrapportalatheoriebrute

endegres0et1.

Letroisieme hapitrereprendlapubli ation[MM℄, quiest un travail

Siestunesurfa e ompa teorientee,un ylindred'homologieau-dessusdeest

un obordismed'homologie au-dessusde ave une onditionsupplementaire de

trivialite homologique. Les ylindres d'homologies sont d'une grande importan e

aussi bien danslestravauxde Goussarovquedans euxdeHabiro.Pourl'un, les

ylindresd'homologiedoivent^etredes\objetsmodeles"danslatheoried'invariants

de typeni.Pourl'autre,les ylindres d'homologiesur lasurfa edoiventaider



a la omprehensionde son mapping lass group; ils forment eneet un monode

danslequelseplongelegroupedeTorellide.

Dans e hapitre,nousnousinteressonsau asou estune surfa e ompa te

orienteesansbord,ouave uneseule omposante debord.Gr^a eadesextensions

aux ylindres d'homologie du premier homomorphisme de Johnson et des

homo-morphismes de Birman-Craggs (denis originellement sur le groupede Torelli de

),nousprouvons:

Th  eor



eme3. Soitunesurfa e ompa teorienteeave auplus1 omposante

de bord et soient M, M

0

deux ylindres d'homologie au-dessus de . Alors M et

M 0

nesontpasdistinguesparlesinvariantsde typeni dedegre1si,etseulement

si, ils ne sont distinguesni parlepremierhomomorphisme de Johnson, nipar les

homomorphismes de Birman-Craggs.

Ceresultatestarappro herdutheoremedeJohnsonsurlastru turedel'ab

eliani-sation dugroupedeTorellide.

LapreuveutilisenotammentleraÆnementSpindelatheoriedeGoussarov-Habiro

et illustre bien en e sens l'apport de la theorie raÆnee a l'etude de la theorie

brute (aumoins pourlesinvariantsde degre1).Enparti ulier,nousdonnonsune

interpretationdiagrammatiquedeshomomorphismes deBirman-Craggs,baseesur

unsystemedepoidspourl'invariantdeRo hlin.

Lequatrieme hapitreest onstituedelaprepubli ation[DM℄,e riteen

ol-laborationave F. Deloup.Celle- iest onsa reeal'etudedur^ole joueparles

fon tionsquadratiquesdanslatopologiedesvarietesfermeesorienteesdedimension

3,ets'interesseainsiauraÆnementSpin

delatheoriedeGoussarov-Habiro.

Nousydemontronsleresultatsuivant.

Theor

eme4. SiM est une3-varieteorienteefermee,il existealors un

plon-gement aÆne : Spin (M)  -Quad(L M );

asso iant atouteSpin

-stru ture unefon tion quadratique 

M; au-dessusde la forme L M . I i, L M

est la forme bilineaire symetrique obtenue par omposition de la forme

d'enla ement M ave B 2 ,ouH 2 (M;Q=Z) B -TH 1 (M)estl'homomorphisme

deBo ksteinasso iealasuiteexa te ourtede oeÆ ients:

0 -Z -Q -Q=Z -0: La fon tion quadratique  M;

n'est pas ne essairement une forme quadratique

(elle n'estpasne essairementhomogene). Enrevan he, si provientd'une

Spin-stru ture via la e he naturelle Spin(M)

-Spin

(M), qui peut ne pas ^etre

inje tivenisurje tive,elle on ideave laformequadratiquesus-mentionnee.

Ayant au prealable raÆne le theoreme de Kirby aux Spin

-varietes fermees

de dimension 3, nous avons deni la fon tion quadratique 

M; 

a partir d'une

Th  eor



eme 5. Si (M;) est une sphere d'homologie rationnelle munie d'une

stru turespinorielle omplexe, alors sa fon tion quadratique 

M;

est determinee

parsatorsionabeliennemaximaledeReidemeister-Turaev:(M;)2Q[H

1 (M)℄.

Nousdonnonsaussiunedenitionintrinsequepour M;

(i.e.nefaisantpasref

eren- ealadimension4)lorsqueestregardee ommeunestru tured'Eulergeometrique.

Nous ara terisons enn les invariants dedegre0du raÆnementSpin

de la

theoriedeGoussarov-Habiroendemontrantlageneralisationsuivantedutheoreme

deMatveev. Th  eor  eme6. Soient(M;)et(M 0 ; 0 )desSpin

-varietesfermeesde

dimen-sion 3.Lesassertionssuivantessontalors equivalentes:

(1) (M;)et (M

0 ;

0

)nesont pasdistingueesparlesinvariants de degre0;

(2) ilexisteunisomorphismeH 1 (M) -H 1 (M 0 )telque M 0 ; 0 = M; Æ ℄ ; (3) il existe unisomorphisme H 1 (M) -H 1 (M 0 )veriant : {  M = M 0 Æ( j) 2 , { P 1 ()
=P 1 ( 0 )2H 1 (M 0 ), { si s et s 0

sont des se tions des homomorphismes de Bo kstein B

pour respe tivement M etM

0

, ompatibles dansle senso u e

dia-gramme ommute: H 2 (M;Q=Z)  s TH 1 (M) H 2 ( M 0 ;Q=Z) ℄ ' 6  s 0 TH 1 (M 0 ); ' j ? alors : ( M; Æs)= ( M 0 ; 0 Æs 0 )2C. I i, ()2H 2

(M)est la lassede CherndelaSpin

-stru ture  et P designe un

isomorphismededualitedePoin are.Enn, ℄ :H 2 (M 0 ;Q=Z) -H 2 (M;Q=Z)

est l'isomorphismedualde pourlesformesd'interse tiondeM etM

0 .

L'equivalen eentrelesassertions(2)et(3)duTheoreme6seprouveapartirdela

generalisationsuivanteduTheoreme2,prouveedieremment.

Theor eme7. SoientG q -Q=ZetG 0 q 0

-Q=Zdesfon tionsquadratiques

non-degenerees sur des groupes abeliens nis. Les assertions suivantes sont alors

 equivalentes : (1) il existe unisomorphisme G -G 0 telqueq=q 0 Æ ; (2) il existe unisomorphisme G -G 0 tel queb q =b q 0 Æ 2 , d q =d q 0 Æ et : (q)= ( q 0 )2C. I i,d q

2Hom(G;Q=Z)est ledefautd'homogeneitedeqdenipard q

(x)=q(x)

q( x)pourtoutx2G.

Dansle inquiemeetdernier hapitrede ettethese,nousnousinteressonsaux

torsionsabeliennesdeReidemeister,tellesqu'ellesonteteraÆneesparTuraev.

Onrappelle,lorsdespremierespagesde e hapitre, ommentasso ieratoute

Spin

-varietefermee(M;)etatouthomomorphismed'anneauxZ[H 1 (M)℄ ' -F 

avaleursdansun orps ommutatifF,latorsionabeliennedeReidemeister-Turaev:

Si laSpin

-varietefermee (M 0

; 0

) s'obtient en twistant(M;) lelong d'une

surfa e fermee onnexe s indante S parun element hdu groupe de Torellide S

(tel que elaauraetedeniauChap.1), nousevaluonslavariationdetorsion.En

d'autrestermes,nous her honsC2Ftelque

' 0 (M 0 ; 0 )=C
 ' (M;) .Ce

s a-laire Cn'estidentiequ'aunfa teur multipli atifpresdans'( H 1

(M)).Ildepend

notammentdelarepresentationde Magnus M(h)2GL

2g

(Z) dudieomorphisme

h.Sous ertaines onditionssurle orpsFetl'homomorphisme',les alaireCest

determine.Nousdeduisonsparexemplede etteetudeque:

Th  eor



eme 8. Si h agit trivialement sur le deuxieme quotient resoluble du

groupe 

1

( S), nousavonsalors :

 ' 0 (M 0 ; 0 )=C
 ' (M;)2F; o u C 2 '( H 1

(M)) est une onstante independante de , qui est egale a 1 sous

ertaines onditionssurle orpsFetsurl'homomorphisme '.

Enn,nousrestreignonsle al ulde loversenne onsiderantplusqueles

lo-vers bou les.C'estunerestri tionfortepuisqueJ.Levineamontrequela hirurgie

le long d'un loverbou le preservela lasse de obordisme d'homologie de la

3-variete.

Nousdeduisonsde equipre edeune formuleexpli ite de rivant ommentvarient

lestorsionsabeliennesdeReidemeister-Turaevlorsd'untelmouvement hirurgi al.

Nous montrons alorsque estorsions, vis-a-visde es mouvements,sont

multipli- ativement desinvariantsdetypenidedegre1, ommeilde oulede:

Theor

eme9. SoientM une3-varietefermeeorientee,Z[H 1

(M)℄ '

-Fun

homomorphisme d'anneaux a valeursdans un orps ommutatif F et G

1

, G

2 des

lovers de M disjoints tels que G

1

ou G

2

soit bou le. Pour toute 2Spin

(M),

nous avonsalors :

 ' G 1 ;G 2 (M G1;G2 ; G1;G2 )
 ' (M;)=C
 ' G 1 (M G1 ; G1 )
 ' G 2 (M G2 ; G2 )2F; o u C 2 '( H 1

(M)) est une onstante independante de , qui est egale a 1 sous

ertaines onditionssurle orpsFetsurl'homomorphisme '.

Pour la le ture de ette these, notons que les dierentes parties sont assez

independanteslesunesdesautresetpeuventdon ^etreluesseparement.Desresultats

et des denitions appartenant aux hapitresnumerotes2 et 4ontainsiete

repro-duits auChap.1.

Les hapitrespremieret derniersontredigesen fran ais, lesautres hapitressont

RaÆnements spinoriels de la theorie d'invariants

de type ni de Goussarov-Habiro

1. Rappelssur la theorie de Goussarov-Habiro

Nous rappelons i i les notions essentielles de la theorie d'invariants de type

ni de ouverte independamment par Mikhail Goussarov et Kazuo Habiro. Cette

theoriese ara terise hez ha undesdeuxauteursparlamiseenpla ed'un al ul

topologique, appele respe tivement al ul de lovers dans [GGP℄, et al uls de

laspers dans[Hr℄.Ceste hniques al ulatoiressonttoutesdeuxderiveesdu al ul

hirurgi aldeKirby,et sontenfaitessentiellementequivalentes.

Conventions1.1. Dans etravail,nousadoptonslaterminologieetles

onven-tionsde[GGP℄.

En outre, nous restreignons nos rappels a l'etude des 3-varietes,alors que la

theoriedeGoussarov-Habiros'appliqueaussiauxentrela sde esdernieres.

Conventions1.2. Dans ettese tion,les3-varietessontsupposeeslisses,

om-pa teset orientees.

1.1. Cal ulde lovers.

1.1.1. Y-graphes et Y- hirurgies. Le mouvementelementairea partir duquel

est denie la theorie de Goussarov-Habiro pour les 3-varietes,est la Y- hirurgie

deniedans[Go℄.

Definition 1.3. UnY-graphe Gdansune3-varieteMestleplongement

non-oriente,dans soninterieur, dela surfa edessinee sur la Figure1.1. Cettesurfa e

est de plus de omposee en sous-surfa es appelees feuilles (  = S 1 D 1 ), ^otes (  = D 1 D 1 )et sommet (  = D 2 ).

Un Y-graphe Gdans M determine,aisotopiepres,unplongementpositif du

orps enansesdegenre3:

H 3  j -M;

d'imageunvoisinageregulierN(G) deGdansM.

Definition 1.4. La3-varieteobtenuede M parY- hirurgie lelongde Gest:

M G =Mnint(N(G))[ jj (H 3 ) L ; ou(H 3 ) L

estle orpsenanses hirurgisesurl'entrela senbande 1



asix omposantes

L de laFigure 1.2. On appelle Y-equivalen e, larelation d'equivalen eparmi les

3-varietesengendreeparlesY- hirurgieset lesdieomorphismespositifs.

Notons que lavarieteM G

vient ave une in lusion Mnint(N(G))



-M

et que, du fait du hoix de N(G) et de sa trivialisationj, M

G

n'est denie qu'a

ertainsdieomorphismespres.

1

Une des 3 feuilles

Le sommet

Un des 3 côtés

Fig.1.1{Surfa esous-ja enteaunY-graphe.

L

Fig.1.2 {Lasigni ationde hirurgied'unY-graphe.

Remarque 1.5. Une Y- hirurgieequivautaune hirurgie Borromeenne telle

que deniepar Matveev dans [Mt℄. On en deduit

2

en parti ulier l'existen ed'un

dieomorphismepositifde 3 =H 3 :  3 h  = - 3 ;

appeledieomorphisme Borromeen,quiagittrivialementenhomologieettelqu'il

existeune dieomorphismepositif:

M G  = Mnint(N(G))[ jj  Æh H 3 ;

xantpointparpointMnint(N(G)) .

1.1.2. CloversetY k

- hirurgies. LesY-graphespeuvent^etregeneralisesaux

lo-versdenisdans[GGP ℄.

Definition 1.6. Un lover G dans une 3-variete M est le plongement

non-oriente, dans son interieur, d'une surfa e de omposee en sous-surfa es appelees

2

1. RAPPELSSURLATHEORIEDE GOUSSAROV-HABIRO 15 feuilles (  =S 1 D 1 ), ^otes (  =D 1 D 1 )etsommets (  =D 2 ).Le orpsdu loverG

est le omplementairedesfeuillesdanslasurfa e.Ondemandealorsque:

{ le orps soit l'epaississementd'ungraphe unitrivalent, faisant orrespondre

respe tivementlessommetset ^otesdelasurfa e,auxsommetstrivalentset

^otesde egraphe;

{ la surfa e s'obtient par re ollement du orps ave les feuilles le long de

l'epaississementdessommetsunivalents;

{ lasurfa epossedeaumoinsunsommet.

Ledegredu loverGestlenombredesessommets:onlenotedeg(G)1.Ledegre

de bou les du loverGest lerangdugroupefondamental deson orps ( e-dernier

etantungroupelibre):onlenotel-deg(G)0.

Exemple 1.7. Un loverdedegre1etdedegredebou les0n'estautrequ'un

Y-graphe.

Un lover est don avant tout une surfa e plongee dans une variete de

di-mension 3. Il s'obtient par epaississement d'un objet 1-dimensionnel (son orps

etantpar denition l'epaississementd'un graphe unitrivalent,et lesfeuilles etant

l'epaississement de er les). En parti ulier, pour dessiner un lover (dans S 3

ou

dans le orps en anses H

g

), on peut adopter la onvention du tableau : nous ne

dessineronsque es objets1-dimensionnels, quidevront^etreepaissismentalement

dans le plan de la feuille. De plus, lessommets du loverseront dessines en gras

andelesdistinguerd'unpointd'interse tion \feuille/ ^ote".

Exemple1.8. EstrepresentesurlaFigure1.3un loverGdansH 4

.Sondegre

est 4et sondegredebou lesest2(notereneetlapresen ed'un ^otebou le).

et de graphe

uni-G

d’image:

trivalent associé :

SoitGun loverdedegreddansune3-varieteM.Onnotealors:

Y(G)M;

lareuniondisjointedesdY-graphes ontenusdansunvoisinageregulierN(G)deG

dansM,etobtenusdeGenmodiant haque ^otejoignantdeuxsommets,suivant

laregleillustreesurlaFigure1.4.

Fig.1.4{Fissiond'un lover.

Definition 1.9. La3-varieteobtenuedeM par hirurgie lelongdu loverG,

notee M G

, est la variete M hirurgisee sur ha un des Y-graphes que ompte la

familleY(G).

Pour k  1,une Y

k

- hirurgie est une hirurgie sur un loverde degrek. On

ap-pelleY k

-equivalen elarelationd'equivalen eparmiles3-varietesengendreeparles

dieomorphismespositifsetlesY k

- hirurgies.

NotonsquelavarieteM G

peut^etrea ompagneed'unein lusionMn int(N(G))



-M G

.

Observonsaussique, lorsque M est non-vide, la hirurgiesur le loverGinduit

une identi ation anoniqueM

 = -M G . Definition 1.10. SoientG 1 et G 2

des loversdans une 3-varieteM. On dit

queles loversG 1

etG 2

sontequivalents,etonnoteG 1

G

2

,s'ilexisteun orpsen

ansesHplongedansint(M)dontl'interieur ontientalafoisG 1

etG 2

,ets'ilexiste

un dieomorphisme positif H

G1 f  = -H G2

appeleequivalen e de lovers, dont la

restri tionaubordsoit ompatible ave lesidenti ations anoniques:

H G 1 fj  = -H G 2 I       =  =  H Enparti ulier,G 1 G 2 entra^neM G 1  = M G 2

.Pre isement,via les

identi a-tions anoniques: M Gi  =(Mnint(H)) [ H Gi

l'equivalen ef induitledieomorphismeM G 1 ~ f -M G 2

deniparlere ollement:

~ f =Id

Mnint(H) [ f:

Le al ulde lovers estun orpusdereglesde al ulqui,exprimees

diagramma-tiquement,enon entdesequivalen esde lovers.Le al ul de loverspermet don

demontrerl'existen ededieomorphismespositifsentre3-varieteslorsque elles- i

sont presentees par hirurgiele long de lovers. Le le teur desireuxde de ouvrir

1. RAPPELSSURLATHEORIEDE GOUSSAROV-HABIRO 17

Exemple 1.11. Tout loverde degre2est equivalent aun loverde degre1

suivantlaregledelaFigure1.5( f.[Hr,Prop.2.5,Move10℄ou[GGP,Preuvedu

Th.3.1℄).Enparti ulier,larelationdeY k +1

-equivalen eestplusnequelarelation

deY k

-equivalen e.

Fig.1.5{Uneequivalen ede lovers.

1.2. Invariants de type ni au sens de Goussarov et Habiro. Fixons

M 0

une lassedeY-equivalen ede3-varietes.Onnotealors:

(1.1) F(M

0

)=Z
M

0

legroupeabelienlibrementengendreparles3-varietesM appartenantaM 0

.

SiM estunelementdeM 0

etsi yestunefamillede loversG

i deuxadeux disjoints,ondenit: [M; ℄= X 0  ( 1) j 0 j M 0 2F(M 0 );

ou lasommealterneeest prisesurtoutes lesparties 0

de , de?a ,et ou M 0

designe lavarieteobtenue de M par hirurgiele longde ha undes loversde la

sous-famille 0

. Une telle famille , en plusde son ardinalj j, possedeun degre

deg( )deni ommelasommedesdegresdeseselements.Pourdesentiers lk,

e ro hetpermetde onstruirelessous-groupesabelienssuivantsdeF(M

0 ): F l k (M 0 )=h[M; ℄ : M2M 0 ; deg( )=k; j j=l i; F k (M 0 )=h[M; ℄ : M2M 0 ; deg( )=k i; F l (M 0 )=h[M; ℄ : M2M 0 ; j j=l i: Notonsqu'alors: F k (M 0 )= S lk F l k (M 0 ) et F l (M 0 )= S k l F l k (M 0 ):

Pour des entiers 1 l  l

0

 k  k

0

, on veriepar des al uls elementaires de

lovers: F l k 0(M 0 )F l k (M 0 )F l 0 k (M 0 ):

Onendeduitenparti ulierque:

(1.2) F k (M 0 )=F k k (M 0 )=F k (M 0 ):

De plus,si estune familledeY-graphesdeM deuxadeux disjointsetdisjoints

d'unY-grapheGdansM onobtientformellement etteegalite:

[M; [fGg℄=[M; ℄ [M

G ; ℄:

Onendeduitquelafamille F k k (M 0 )
k 1

estuneltrationdes endantedeF(M

0 ):

Nouspouvonsmaintenantenon erlanotiond'invariantdetypeniselonGoussarov

et Habiro:

Definition1.12.SoitAungroupeabelien.Uneappli ationM

0 f

-Aestun

invariant de typeni de degreauplusk,sisonextensionF(M 0 ) f -A s'annule surF k +1 (M 0

).f estuninvariantde typenide degre k,sisonextensions'annule

surF

k +1 (M

0

)maisprendunevaleurnon-nullesurF

k (M 0 ). Remarque1.13. SiM estY k +1 -equivalenteaM 0 ,alorsM M 0 2F 1 k +1 (M 0 ), don M et M 0

nesontpasdistingueesparlesinvariantsdetypenidedegrek.

PourAungroupeabelienxe,l'espa edesinvariantsM 0

-Adedegreau

plusks'identiedon a:

Hom  F(M 0 ) F k +1 (M 0 ) ;A  :

Don , l'etudedesinvariantsdetypenidedegreaupluskest rameneea elle de

duquotient: F(M 0 ) F k +1 (M 0 ) :

L'examendelatheoried'invariantsdetypenideGoussarov-Habiroses inde don

endeuxparties denaturestresdierentes:

(1) re onna^treles lassesdeY-equivalen e,

(2) pour haque lasse de Y-equivalen eM

0

,etudierla sous-theorie

orres-pondante(F(M 0 )=F k +1 (M 0 )) k 0 .

Dansle asdevarietesfermees,leprobleme(1)dela ara terisationdesinvariants

dedegre0est ompletementresolu.Eneet, ommementionnedanslaRemarque

1.5, la Y-equivalen eest engendree par les hirurgiesBorromeennes de Matveev.

Pourles3-varietesfermees, etterelationd'equivalen e hirurgi aleest ara terisee.

Theor

eme 1.14 (Matveev, [Mt℄). Soient M et M

0

des 3-varietes fermees

onnexes. Alors, M et M

0

sont Y-equivalentes si, et seulement si, il existe un

isomorphismed'homologieH 1 (M) -H 1 (M 0

)quifasse orrespondreleursformes

d'enla ement de torsion: TH 1 (M)TH 1 (M)  M -Q Z  M 0  TH 1 (M 0 )TH 1 (M 0 ): ' ?

Le problemedela ara terisationde laY-equivalen eestainsiramenea elui

dela lassi ationdesformesbilineairessymetriquesnon-degenereessurlesgroupes

abeliensnis.Cettederniere,initieeparMinkowski,aeteentrepriseparWalldans

[W1℄et a heveeparKawau hiet Kojimadans[KK℄.

2. Stru tures SpinetSpin

sur les3-varietes

ApresunepresentationdesSpin-stru turesetdesSpin

-stru tures,nousnous

attaquonsdans ettese tionaudeli atproblemedure ollementde esstru tures,

lequelproblemene essitelapriseen omptedeversions\rigides"de esstru tures.

Conventions 2.1. Si Gestungroupeabelien,unG-espa eaÆne (ouespa e

aÆne au-dessus de G) seraun ensemblesur lequelGagit librementet

2.STRUCTURESSpinETSpin SUR LES3-VARI  ET



ES 19

Conventions 2.2. Pourlesbres,nous onviendronsque:

{ lesbresve torielssontstabilisesparlagau he;

{ siGestungroupe,leG-breprin ipaluniverselseranoteEG !G

-BG;

{ si F est unmorphismedebres,l'appli ationsous-ja ente pour lesespa es

basesseranoteeave lalettredebasde asse orrespondantef.

Conventions 2.3. Con ernantlesvarietes,nous onviendronsque:

{ lesvarietesprisesen omptesontlisses, ompa teset orientees,etlesdi

eo-morphismesentre-ellessontsupposespreserverlesorientations;

{ lavarieteobtenuedeM parinversiondesonorientationseranotee M;

{ si M estune varieteabord,M estorienteave la onventiondu\premier

ve teurnormalsortant";

{ siM estunevariete,T M

(resp. M

)designerasonbretangentoriente(resp.

stable)et,lorsqueMseraequipeed'unemetrique,nousnoteronsFM lebre

desesreperesorthonormesdire ts.

2.1. Generalites sur lesstru tures SpinetSpin

. Lapresentationgen

e-rale qui suit des stru tures spinorielles est tiree de [BM℄; mutatis mutandis on

obtient elledesstru turesspinorielles omplexes.

2.1.1. Groupes spinorieletspinoriel omplexe. Legroupespinoriel Spinest le

rev^etementdoubledeSO :

1 -Z 2 -Spin  -SO -1;

et legroupespinoriel omplexe Spin

estdeni omme:

(2.1) Spin = SpinU(1) Z 2 ; ou Z 2

est le sous-groupe engendre par [( 1; 1)℄; d'ou ette autre suite exa te

ourtedegroupes: 1 -U(1) -Spin  -SO -1;

ouenvoie[(x;y)℄sur(x).Onendeduitlesbrationssuivantespourlesespa es

lassiants: BZ 2 - -BSpin B - -BSO; BU(1) - -BSpin B - -BSO: Nous notons SO

lebreve torielorienteuniversel surBSO, Spin

sonpull-ba k

parB et

Spin

sonpull-ba kparB.

Defa onanalogue,pourn1,ondenitapartirdeSO(n),legroupeSpin(n)

puislegroupeSpin

(n).

2.1.2. Stru turesabsolues. SoitmaintenantMunevarietededimensionn(sans

metriquespe iee).

Definition 2.4. UneSpin-stru turerigide surM estunmorphismedebres

ve torielsorientes M

-

Spin

.UneSpin-stru ture(oustru turespinorielle)sur

M estune lassed'homotopiedeSpin-stru turerigides.

OnnoteraSpin(M)l'ensembledesSpin-stru turessurM,etSpin

r

(M)l'ensemble

desSpin-stru turesrigidessurM.

Definition 2.5. On denit similairement Spin

r

(M) l'ensemble des Spin

-stru turesrigides sur M, et Spin

(M) l'ensembledes Spin

stru -Danslasuite,lalettre designeraunhomomorphismedeBo ksteinasso iea

lasuiteexa te ourtede oeÆ ients:

0 -Z
2 -Z -Z 2 -0:

On rappelle maintenant les resultats on ernant l'existen e et le parametrage de

es stru turesspinorielles.

Proposition 2.6. La varieteM admet une Spin-stru turesiet seulement si

sa deuxieme lasse de Stiefel-Whitney:

w 2 (M)2H 2 (M;Z 2 )

est nulle,auquel asSpin(M)estunH

1 (M;Z

2

)-espa eaÆne.

Lavariete M admet uneSpin

-stru turesiet seulementsila lasse :

w(M):=w

2

(M)2H

3 (M)

est nulle,auquel asSpin

(M)estunH

2

(M)-espa eaÆne.

D

emonstration. Supposonsque

M G

-

Spin

est uneSpin

-stru ture

ri-gide sur M. En omposantG ave le morphisme anonique

Spin - SO , on obtientunmorphisme M F - SO

.Au niveau desespa esbases,M

f

-BSO

estuneappli ation lassiantepour M etM g -BSpin

estalorsunrelevement

def parB.Par onstru tionde

Spin ,

ladonneed'uneSpin

-stru turerigideG

surM equivaut aladonnee de(F;g)ou:

(1)  M F - SO

estunmorphismedebresve torielsorientes,

(2) g estunrelevementdef parB.

Ainsi,sedonneruneSpin

-stru turesurMrevientasedonnerune lasse

d'homo-topie d'untel ouple(F;g).

SupposonsmaintenantqueF est xe.L'espa edemorphismesdebres:

Map SO ( M ; SO )

est onnexe par ar s et ontra tile (voir par exemple [Hu, Ch. 7, Prop. 3.3℄ et

[Hu, Ch.7, Th. 3.4℄). On peut alorsdeduire de es deux faits que sedonner une

Spin

-stru ture sur M revient a se donner un relevement g de f par B, a

ho-motopie presde relevements.Cette observation tres utilenous invite aappliquer

latheoried'obstru tionusuellealabrationBSpin

B

-BSO.C'est une

bra-tion prin ipaledebre BU(1)'BK(Z;1)'K(Z;2), et de lasse ara teristique

w:=w

2

2H

3

(BSO).L'enon edelapropositiondansle asSpin

ende oule.

Dansle asSpin,labrationestBSpin B

-BSO:elleestprin ipaledebre

BZ

2

'K(Z

2

;1)et de lasse ara teristiquew 2 2H 2 (BSO;Z 2 ). 

Le lemme suivant nous assure que nosdenitionsnumerotees 2.4 et 2.5

s'a - ordentave lesdenitionsplus ommunesdesSpin-stru turesetdesSpin

-stru -tures.

Lemme 2.7. Supposons que M est munie d'une metrique riemannienne. La

donnee d'une Spin-stru ture sur M est alors equivalente a une double donnee

(;H), a isomorphisme pres, o u  est un Spin(n)-bre prin ipal de base M, et

o u =Z 2

H

-FM estunisomorphisme de SO(n)-bresprin ipaux.

De m^eme, se donner une Spin

-stru turesur M equivaut a se donner un ouple

(;H), aisomorphisme pres, o u estunSpin

(n)-breprin ipal debaseM eto u

H

-2.STRUCTURESSpinETSpin SUR LES3-VARI  ET  ES 21 D 

emonstration. Interessons-nous par exemple au as Spin

, le traitement

du asSpinetantformellementlem^eme.Soit(;H) ommedansl'enon e:

mon-trons que e ouple determine une Spin

-stru ture rigideG sur M, en montrant

qu'il determineune donneeequivalente (F;g), telle que de ritedans la preuve de

la Prop. 2.6. Choisissonsun morphisme de Spin

(n)-bres -! Spin (n) qui,

ompose ave le morphisme anonique !

Spin (n) -! Spin , donne un ertain  ~ G -! Spin . Ce ~

Ginduit unmorphisme=U(1)

-! SO ; en omposantave H 1 , nousobtenons FM ~ F -! SO . ~

F induit alorsunmorphisme

M F - SO .

On pose g := ~g, induite par

~

G au niveau des espa es bases.Alors, l'assignation

(;H)

-(F;g)Ginduitla orrespondan eannon eeentrelesdeuxdenitions

deSpin

-stru tures. 

2.1.3. Stru turesrelatives. SoitM unen-varieteabord.Ayant onvenude

sta-biliser les bres ve toriels par la gau he et d'orienter les bords ave la regle du

premier ve teur normalsortant, 

M

peut^etreidentieave  M

j M

, d'oudes

ap-pli ations derestri tions: Spin r (M) rest -Spin r (M) et: Spin r (M) rest -Spin r (M):

Definition2.8. Pours2Spin

r

(M)xee,uneSpin-stru turesurMrelative



a sest une lassed'homotopierelM de Spin-stru turesrigidessur M etendant

s;onnoteSpin(M;s)l'ensemblede esstru turesrelatives.

Dem^eme,pours2Spin

r

(M)xee,ondenitl'ensembleSpin

(M;s)desSpin

-stru turessurM relativesas.

La theoried'obstru tionpeut^etreappliquee pourobtenir et analoguerelatif

delaProposition2.6 :

Proposition 2.9. Soit s2Spin

r

(M)xee.Alors, s peut^etreetendueaM

siet seulementsiune ertaine lasse :

w 2 (M;s)2H 2 (M;M;Z 2 )

s'annule, auquel as Spin(M;s)est unH

1

(M;M;Z

2

)-espa e aÆne. Enoutre, la

restri tion dew 2 (M;s)aM estegaleaw 2 (M)2H 2 (M;Z 2 ).

De m^eme, pour s2 Spin

r

(M)xee, s peut^etreetenduea M si et seulement si

une ertaine lasse :

w(M;s)2H

3

(M;M)

s'annule, auquel as Spin

(M;s) est un H

2

(M;M)-espa e aÆne. En outre, la

restri tion dew(M;s) aM estw(M)=w

2

(M)2H

3 (M).

2.1.4. Inversiondesorientations. Ilexisteune e he:

Spin r (M) -Spin r ( M);

induisantuneappli ationH

2 (M)-equivariante: Spin (M) -Spin ( M):

Elle onsistea omposerlesstru turesrigidesave lare exionorthogonalede M

vers M

dansladire tiondelapremierestabilisation.

SupposonsmaintenantM 6=?etsoits2Spin

r

(M).Faisonsle hoixd'une

se tion non-singuliere v de  M



etendantle hampde ve teursnormalsortantsur

M (untelvexisteetestuniqueahomotopierelativepres).En omposantave la

re e tionorthogonalede M

vers M

dansladire tiondev,onobtientune e he

(independantedev):

-

qui estH 2

(M;M)-equivariante.Le asdesSpin-stru turesestanalogue.

2.1.5. DeSpinaSpin

. Consideronslediagramme ommutatifdegroupes:

Spin  -Spin       R SO  ?

ou la e he est denie par(x) =[(x;1)℄.Alors,B =BÆB au niveau des

espa es lassiants.D'ouunmorphismede bres: Spin - Spin ,denide la

fa onevidente.

Si M est une variete, il existe alors une appli ation Spin r (M) -Spin r (M),

laquelle induituneappli ation:

Spin(M)  -Spin (M);

quiestaÆneau-dessusdel'homomorphismedeBo ksteinH

1 (M;Z 2 )  -H 2 (M).

Si maintenantM est unevarietedebordnon-videet si s2Spin r (M),onaune appli ation : Spin(M;s)  -Spin (M;(s));

qui est aÆne au-dessusde l'homomorphismede Bo ksteinH

1 (M;M;Z 2 )  -H 2 (M;M).

2.1.6. Classes de Chern. Soit M une n-variete et soit  2 Spin

(M). Alors

du fait de l'homomorphismede groupesSpin

(n)

-U(1) denie par: [(x;y)℄

-y

2

, la Spin

-stru ture , prise omme dans le Lemme 2.7, determine (a

isomorphismepres)unU(1)-breprin ipal:soit ()sapremiere lassedeChern.

Definition 2.10. La lasse ()2H

2

(M) est appelee lasse de Chernde la

Spin -stru ture.Si ()2TH 2 (M),laSpin

-stru tureestditede torsion.

Remarque 2.11. L'appli ation lassede Chern Spin

(M) -H 2 (M), est

aÆneau-dessusdel'appli ation arre 3 H 2 (M) -H 2 (M)deniepar:x -x 2 . Don , 2Spin

(M)provient deSpin(M)parl'appli ation denieau x2.1.5si

et seulementsi ()=0.

2.2. Stru tures en dimension 3. Apartirde maintenant,nous traitonsle

as spe ique de la dimension 3. Si M est une variete ( ompa te lisse orientee)

dedimension3,alorsw

2

(M)estnulle. Don ,M admetdesSpin-stru tureset des

Spin

-stru tures.

2.2.1. Groupesspinorielsendimension3. Dans eparagraphe,nousrappelons

les isomorphismesSpin(3)'SU(2)et Spin

(3)'U(2)en faisantdesoperations

quaternioniques.

Soitdon Hle orpsdesquaternions:

H=fq=a+b
i+
j+d
k:a;b; ;d2Rg

etnotonsR

3

lesous-espa edesquaternionspursR

3

=R
i+R
j+R
k.Legroupe

desquaternionsunitaires:S 3 =fq=a+b
i+
j+d
k:a 2 +b 2 + 2 +d 2 =1g s'identieaSU(2)par: q=a+b:i+ :j+d:k - a+b:i d+ :i d+ :i a b:i  : 3

2.STRUCTURESSpinETSpin SUR LES3-VARI  ET



ES 23

On denit alorsl'homorphismeSU(2)



-SO(3), qui envoieunquaternion

uni-taireq surlatransformation:

R 3 (q) -R 3 h -qhq 1 :

 estunrev^etementadeuxfeuilles deSO(3), onpeutdon poser:

Spin(3)=SU(2): Gr^a eal'isomorphisme: SU(2)U(1) Z 2 ' -U(2)

envoyant[(A;z)℄surzA,onpeutdon aussiposer:

Spin

(3)=U(2):

Remarque 2.12. L'homomorphisme anonique Spin(3)

-Spin

(3) (voir

x2.1.5) orrespondal'in lusionstandardSU(2)



-U(2).Lasuiteexa te ourte

mettantenjeu lesgroupesU(1),Spin

(3)etSO(3)(x2.1.1)s'e rit: 1 -U(1) -U(2)  -SO(3) -1

oul'in lusiondeU(1)dansU(2) onsisteaenvoyerz sur  z 0 0 z  ,etou(A)=   1 p det(A)
A 

.Enn, l'homomorphisme anonique Spin

(3)

-U(1) (x2.1.6)

est l'appli ationdeterminantU(2) det

-U(1).

Lemme 2.13. Lediagrammesuivantest ommutatif:

SO(2) ' -U(1) - -U(2) SO(3) ? ? ==================SO(3):  ?

I i, SO(2) s'inje te dans SO(3) par A

-(1)A,et U(1) s'inje te dans U(2)

par :A -A(1). D  emonstration. Soitz=e i 2U(1)identieave :  os() sin() sin() os()  2SO(2):

Si onenvoiezdans U(2)puisdansSO(3),onobtient(A)ou:

A= e i  2 0 0 e i  2 ! 2SU(2):

Mais, As'identieauquaternionpur: q= os(=2)+sin(=2)
i. On al ulealors

que:

q
(bi+ j+dk)
q 1

=bi+ os()j+d os()k+ sin()k dsin()j:

Don , (A)= 0  1 0 0 0 os() sin() 0 sin() os() 1 A :

2.2.2. Stru turesrelativesen dimension 3. Nousavonsintroduit plushautles

Spin-stru tures rigides et les Spin

-stru tures rigides. Ces stru tures rigides

ap-paraissent naturellement ave la theorie d'homotopie, mais n'ont ependant pas

d'existen e legitime d'un point de vue geometrique. Ce manque de legitimite va

don seressentiraussi pour lesstru tures relativeset les notionsqui s'yreferent.

Dans e paragraphe, nous orrigeons partiellement e defaut en dimension 3, et

ommen ons partraiterle asSpin

.

Theor

eme2.14.SoientMune3-varietedebordnon-videets 0 ;s 1 2Spin r (M)

representant la m^eme stru ture spinorielle : [s 0

℄ = [s 1

℄ 2 Spin(M). Alors, les

Spin

-stru turesrigides (s i

)peuvent^etreetenduesala varieteM etil existeune

bije tion anonique: Spin (M;s 0 )  s0;s1 -Spin (M;s 1 ); qui est H 2 (M;M)-equivariante.

Definition 2.15. Le Theoreme2.14nouspermet d'asso ieratoute3-variete

M debordnon-videetatoute2Spin(M),l'espa e:

Spin

(M;)

des Spin

-stru tures surM relatives ala stru turespinorielle . C'est unH 2

(M

;M)-espa eaÆne.

Exemple 2.16. Interessons-nous au as parti ulier ou M est une reunion

disjointedetores.LetoreT 2

aunestru turespinoriellepreferee: elleinduitepar

sa stru turedegroupedeLie,nouslanoterons 0

.Don ,M possede

_ [ 

0

omme

stru ture spinorielle preferee. Onverieque l'espa e Spin (M; _ [ 0 ) donnepar la

Denition2.15estenbije tion anoniqueave l'espa edeSpin

-stru turesrelatives

deniparTuraevdans[T6,x1.2℄.

Preuve du Theor eme2.14. L'obstru tionw 2 (M;s i )2H 2 (M;M;Z 2 )pour

etendrelaSpin-stru turerigides i



atoutelavarieteM,verie:

(w 2 (M;s i ))=w(M;s i )2H 3 (M;M); ou w(M;s i

) est l'obstru tion denie par la Proposition 2.9. On en deduit que

w(M;s

i

)est d'ordreauplus2et quedon elles'annule.

On demontre maintenant la deuxieme assertion. Soit (s

t ) t2I une homotopie entre s 0 et s 1 : s t est un morphisme de bres M - Spin

. Elle denit une

Spin-stru turerigide MI s - Spin surMI enposant: sj ( MI )j Mt :=s t ; ou MI j Mt

estidentieave  M

.Ondenitalorsl'appli ation:

Spin (M;s 0 )  s -Spin (M;s 1 )

par la formule de re ollement : 

s

([u℄) = [u[s℄, ou u est une Spin

-stru ture

rigidesurM etendant(s 0

)(nousidentionsi iM ave son\debordement"M[

(MI)).Remarquonsque

s

estH

2

(M;M)-equivariante.

Pourprouverletheoreme,ilsuÆtdeverierquesi(s 0 t )

t2I

estuneautrehomotopie

entres 0 ets 1 ,alors s = s 0 ;onposeraalors s0;s1 := s .L'imagedel'appli ation Spin(MI;( s 0 )0[s 1 1)  -Spin (MI;( s 0 )0[(s 1 )1)

est unsingleton, puisqu'elleest aÆneau-dessusde:

H 1 (MI;MI;Z )  -H 2 (MI;MI)

2.STRUCTURESSpinETSpin SUR LES3-VARI  ET



ES 25

qui est triviale vu queson odomaine est isomorpheau groupe H

1

(M)libre de

torsion. On en deduit que que les Spin

-stru tures rigides s et s 0

sur MI

sonthomotopesrelMI,et quedon 

s

=

s

0. 

Dans le asSpin,lesstru tures relativesque nousretiendrons in ne, seront

lessuivantes.

Definition 2.17. SoientM une3-varietedebordnon-vide et 2Spin(M)

telle quew 2 (M;)=02H 2 (M;M;Z 2 ).Alors, Spin(M;):=f2Spin(M) : j M =g:

est appelel'espa edesstru turesspinoriellessurM relativesa.

Lemme 2.18. SoientM une3-varietedebordnon-vide,2Spin(M)telleque

w 2 (M;)=0etH 0 (M;Z 2 ) Æ  -H 1 (M;M;Z 2

)le onne tantasso iealapaire

(M;M). Alors:

(1) Spin(M;)estunCoker(Æ



)-espa eaÆne s'identiant anoniquementa

Spin(M;s)=Im(Æ



)pourtoutes2Spin

r

(M)representant;

(2) enparti ulier,lorsqueMest onnexe,Spin(M;)estunH 1

(M;M;Z

2

)--espa e aÆne s'identiant anoniquement a Spin(M;s) pour toute s 2

Spin r

(M) representant;

(3) enn,il existe uneappli ation anonique:

Spin(M;)  -Spin (M;);

qui est aÆneau-dessusde Coker(Æ

 )  -H 2 (M;M). D 

emonstration. Delasuiteexa te:

H 0 (M;Z 2 ) Æ  -H 1 (M;M;Z 2 ) i  -H 1 (M;Z 2 );

on deduit queCoker(Æ 

)seplonge dansH

1 (M;Z

2

).L'a tion aÆnedeCoker(Æ

 )

sur Spin(M;) est la restri tion de elle de H

1 (M;Z

2

) sur Spin(M). Ensuite,

l'appli ation anoniqueSpin(M;s)

-Spin(M)apourimageSpin(M;)etest

aÆne au-dessus de H 1 (M;M;Z 2 ) i  -H 1 (M;Z 2

). Spin(M;) s'identie don



a Spin(M;s) modulo Im(Æ



) = Ker(i



). Ce i prouve (1) et (2). Enn, par e

diagramme ommutatif: H 0 (M;Z 2 )  -H 1 (M) H 1 (M;M;Z 2 ) Æ  ?  -H 2 (M;M) Æ  ?

et par le fait que H

1

(M) est libre de torsion, on deduit que (Im(Æ



)) = 0.

Ainsi, l'appli ation anonique Spin(M;s)

 -Spin (M;s) 'Spin (M;), qui

est aÆne audessus de H

1 (M;M;Z 2 )  -H 2

(M;M), induit une appli ation

equivarianteentre Spin(M;)etSpin

(M;),prouvantainsi(3). 

2.2.3. Spin

-stru tures omme hamps de ve teurs: le asferme. SoitM une

varietefermee dedimension3. Turaev ade ritdans [T5 ℄ omment,en dimension

3,lesSpin

-stru turespouvaient^etreidentieesave ertaines lassesd'homotopie

orrespon-Definition2.19(Turaev,[T4℄). Unestru tured'Euler geometrique surMest

un hampdeve teursnon-singuliersurM,ahomotopieepointeepres.Pre isement,

deux hampsdeve teursv etv

0

sont onsideres ommeequivalents,lorsqu'ilexiste

unpointx deM telquelesrestri tionsdevetv 0

surMnx sonthomotopesparmi

les hamps deve teursnon-singulierssurMnx.Onnote:

Ve t(M)

l'ensembledesstru turesd'EulergeometriquessurM.

Siunede omposition ellulairedeMestdonnee,larelationd'homotopie

epoin-tee oin ide ave la relation d'homotopie sur le 2-squelette de M. De la theorie

d'obstru tion, on deduit que Ve t(M) est non-vide (vu que (M) = 0) et que

Ve t(M)estunH

2

(M)-espa eaÆne.

Lemme2.20(Turaev,[T5℄). Ilexisteunebije tion anoniqueetH 2 (M)- equiva-riante : Ve t(M) h M ' -Spin (M): D

emonstration. Soitvun hampdeve teursnon-singuliersurM.Munissons

M d'unemetrique riemannienne. Remarquonstout d'abord que v determineune

redu tiondeFMaSO(2)pour etteinje tionSO(2)



-SO(3)apparaissantdans

le Lemme2.13: ette redu tionest Fv ?

, lebredes reperesorthonormesdire ts

du bre ve toriel v ?

, lorsque elui- i est oriente ave la regle de la main droite

(v=pou e droit). Alors,par l'homomorphismeSO(2)

-U(2) duLemme 2.13,

Fv ?

denitunU(2)-breprin ipal.D'apres em^emelemme, eU(2)-bre

peut-^etrea ompagned'unisomorphismedeSO(3)-bresprin ipaux=U(1) H

-FM,

et denit don (d'apres le Lemme 2.7) une Spin

-stru ture sur M. Celle- i ne

dependquedela lassed'homotopieepointeedev: ainsiestdenieh M

([v℄).

Deplus,onveriequel'assignation[v℄ -h M ([v℄)estH 2 (M)-equivariante;elle

est don enparti ulier bije tive. 

On denit une involutionde Ve t(M)en asso ianta toute stru ture d'Euler

geometrique  = [v℄ la stru ture  1

:= [ v℄. Nous rappelons que nous avons

onvenudenotermultipli ativementlesa tionsaÆnes.

Lemme 2.21. Pour toute 2Ve t(M),nous avons:

(h M ())=   1 2H 2 (M): D

emonstration. Les appli ations Ve t(M)

-H

2

(M) qui sont denies

par  -= 1 et par  - (h M

()), sont toutes deux aÆnes au-dessus de

l'appli ation arre(d'apresrespe tivement[T4,Th.5.3.1℄etlaRemarque2.11).Il

suÆt don demontrerl'impli ation suivante:

(2.2) ( (h M ())=1) =) = 1 =1
:

MunissonsM d'unemetrique.D'apreslaRemarque2.12,la lassed'isomorphisme

deU(1)-bresprin ipauxdenisparlaSpin -stru tureh M (),admetFv ? omme

representant,sibienque (h M ())= 1 Fv ?
.Don ,la lasse (h M ())est

l'obs-tru tionpourtrouverunese tionnon-singulieredeT M

transverseav.Onendeduit

quel'assertion(2.2)estvraie. 

Dans ettedernierepreuve,ilappara^tquel'imagedeSpin(M)dansSpin

(M)

2.STRUCTURESSpinETSpin SUR LES3-VARI  ET



ES 27

Definition 2.22. Nousnoterons:

Parall(M)

l'ensembledesparallelisationsdeM, onsidereesahomotopieepointeepres.

Par parallelisation de M, nousentendonsune trivialisatione=(e 1 ;e 2 ;e 3 )du breve torielorienteT M

.Endimension3,l'espa edestrivialisationsdeT M

sur

le1-squelettedeM,quiontlaproprietedes'etendreau2-squelette,et onsidereesa

homotopiepres,estparlatheoried'obstru tionvideouparametreparH 1

(M;Z 2

),

et peut^etremis en orrespondan e anoniqueave Spin(M)(voir[Ki, Chap.4℄).

Puisque 

2

(SO(3))=0,nousobtenons:

Lemme 2.23. Ilexiste unebije tion anonique etH

1 (M;Z 2 )-equivariante : Parall(M) h M -Spin(M): D

emonstration. La preuve est similairea elle du Lemme2.20.Munissons

M d'unemetrique riemannienne. Soit e une trivialisation de T

M

, e e determine

uneredu tiondeFMaugroupetrivial1 

-SU(2),etpermetdon de onstruire

unSU(2)-breprin ipal (trivial)ainsiqu'unisomorphismedeSO(3)-bres

prin- ipaux =Z

2 H

-FM.La Spin-stru ture orrespondante(donneepar leLemme

2.7) sur M ne depend que de la lassed'homotopieepointee de e, et est retenue

pour ^etre h M

([e℄). L'appli ation ainsi onstruite Parall(M) -Spin(M) est H 1 (M;Z 2

)-equivariante,etest don enparti ulier bije tive. 

En posant ([e℄) = [e 1 ℄, ou e = (e 1 ;e 2 ;e 3

) est une parallelisation de M, on

denituneappli ation:

Parall(M)

-Ve t(M):

Ilde oulealorsdire tementdesdenitionsque:

Lemme 2.24. Lediagrammesuivantest ommutatif:

Parall(M) h M -Spin(M) Ve t(M)  ? h M -Spin (M):  ? o u Spin(M)  -Spin (M)aetedenieen 2.1.5. 2.2.4. Spin

-stru tures omme hamps deve teurs: le asabord. Nous

sou-haitonsmaintenantdenirdesstru turesd'Eulergeometriquespourlesvarietesa

bordetdonnerainsiuneversionrelativeduLemme2.20mettantenjeulesSpin

-stru turesrelativesintroduitesdanslaDenition2.15.

D'unepart,lepre edentparagraphe,plut^otqu'alavarietefermeeM,etaiten

fait relatifasonbretangentT M

,et vautpourn'importequel breve torielreel

orientededimension3.Enparti ulier,siS estunesurfa efermee,il s'appliqueau

bretangentdeS stabiliseunefois. Ondenitainsi:

Ve t(S st

) et Parall(S

st );

ommeetantrespe tivement l'ensemble desse tions non-singulieresde 1

T

S et

elui des trivialisations de e bre ve toriel oriente,toutes etant en ette

dimen-sion onsiderees ahomotopie pressur S. La theorie d'obstru tion nous dit qu'ils

sont respe tivement des espa esaÆnes au-dessus de H

2

(S) et de H

1

analoguesdeslemmes numerotes2.20et 2.23assurentl'existen ed'isomorphismes aÆnes: Ve t(S st ) h S -Spin (S) et : Parall(S st ) h S -Spin(S):

Enn, l'analogueduLemme2.24metenrelation esdeuxisomorphismes.

Exemple 2.25. La se tion anoniquev =(1;0)de

1

T

S

denitune Spin

-stru ture h

S

([v℄) surS, dontla lassedeChern est egaleala lasse d'Eulere(S)

delasurfa eS (puisqu'i iv ? =T S  1 T S

pourunemetriqueproduit).

D'autrepart,onpeutparlerdestru turesrigidespourn'importequeltypede

stru tures denies omme des lassesd'homotopie d'appli ations.Il ya ainsi des

versions rigidesde Ve t(N) et de Parall(N),lorsque N =M pourune 3-variete

M oulorsqueN =S

st

pourunesurfa eS.Ces versionsrigidessontnoteesave la

de oration\r"enindi einferieur.

Ainsi, si M est une 3-variete de bord non-vide et si v 2 Ve t r

((M)

st

) est une

se tionnon-singulierede 1 T M =T M j M ,onsait denir: Ve t(M;v)

l'espa e des stru tures d'Euler geometriques sur M relatives a v. Cet espa e est

videoubienestunH

2

(M;M)-espa eaÆne.Letheoremesuivantseprouvealors

ommeleTheoreme2.14.

Th  eor



eme2.26.SoientMune3-varieteabordete=(e 1 ;e 2 ;e 3 );e 0 =(e 0 1 ;e 0 2 ;e 0 3 ) 2Parall r (M st )destrivialisations de  1 T M

, qu'on supposehomotopes. Alors,

les se tions non-singulieres e 1 et e 0 1 de T M j M

peuvent ^etre etendues a toute la

varieteM, etil existe unebije tion anonique :

Ve t(M;e 1 )  e;e 0 -Ve t(M;e 0 1 ); qui est H 2 (M;M)-equivariante.

Definition 2.27. Le Theoreme 2.26nous permet don d'asso ier a toute

3-varieteM debordnon-videet atoute2Parall (M) st

,l'espa e:

Ve t(M;)

des stru tures d'Euler geometriques sur M relatives a . C'est un H 2

(M;M

)-espa eaÆne.

D'ou etteversionrelativeduLemme2.20quiseprouvedefa onsimilaire:

Lemme2.28. SoitM une3-varieteabordetsoit2Parall((M) st

).Ilexiste

alors une bije tion anonique etH

2 (M;M)-equivariante : Ve t(M;) -Spin (M;h M ()):

2.2.5. ClassesdeChernrelatives. Nousdonnonsmaintenantunanaloguerelatif

des lassesdeCherndeSpin

-stru tures(rappeleesaux2.1.6).

Lemme 2.29. Soient M une 3-variete abordet  2Spin(M). Il existe une

appli ation anonique: Spin (M;) -H 2 (M;M);

qui est aÆneau-dessusde l'appli ation arre 4 denie parx -x 2 .

Definition 2.30. Pour2Spin

(M;), ()est appeleela lasse de Chern

de la Spin

-stru turerelative .

2.STRUCTURESSpinETSpin SUR LES3-VARI  ET  ES 29 D 

emonstrationdu Lemme2.29. Soit2Parall((M)

st

) orrespondanta

parh

M

.Nousallonsenfaitdeniruneappli ationVe t(M;)

-H

2

(M;M)

(puis appliquerleLemme2.28).

Soit e =(e 1 ;e 2 ;e 3 ) une trivialisation de  1 T M

representant et soit  2

Ve t(M;e 1

)representeparv:vestun hampdeve teursnon-singuliersurMdont

larestri tionaM on ideave e 1

.Le hampdeve teurse

2

estune se tion

non-singulieredeT M

transverseavdeniesurM.Ondenitalors () ommeetantla

premiereobstru tionpouretendree 2



aunese tiondeT M

transverseav.Onobtient

ainsiuneappli ationVe t(M;e 1 ) -H 2 (M;M).Sie 0

estunautrerepresentant

de , l'appli ationVe t(M;e 0 1 ) -H 2

(M;M) obtenue similairement on ide

ave lapre edentevial'isomorphisme e;e

0 duTheoreme2.26.On on lutalabonne

denitiondel'appli ation .

Soit maintenant x 2 H

2

(M;M) et supposons que son dual de Poin are

P 1

x2H

1

(M)estrepresenteparlenoeudlisseorienteLint(M).Alors, omme

dansle asferme,onmontrequelastru tured'Eulergeometriquex
estrepresente

par un hampde ve teurs w obtenu de v par turbulentisation de Reeb lelong de

L (voir [T4, x5.2℄ ou [T8 , x1.1℄). Par un al ul dire t d'obstru tion dans la

3-varieteorienteeM(protantdeladualitedePoin are),onmontreapartirde ette

des ription on retedewque ([w℄)=x 2

([v℄). 

Remarque 2.31. Pour2Spin

(M;),sa lassedeChern ()s'annulesiet

seulementsi provientdeSpin(M;).

Lemme 2.32. SoitM h  = -M 0

undieomorphisme entre3-varietes abord, et

soit  0 2Spin(M 0 ). Alors, 8 0 2Spin (M 0 ; 0 ); (h  ( 0 ))=h  ( ( 0 ) )2H 2 (M;M): D emonstration. Soite 0 =(e 0 1 ;e 0 2 ;e 0 3 ) unetrivialisation de 1 T M 0 repr e-sentant 0 etsoit v 0

une se tionnon-singulierede T M 0 representant 0 et telle que v 0 j M 0 =e 0 1

.On notedh ladierentiellede h.Alors,dh 1 (e 0 ) representeh  ( 0 )2 Spin(M)et dh 1 (v 0 ) represente h  ( 0 ) 2Spin (M;h  ( 0

)) .Le lemme est don

une instan edelanaturalitedesobstru tions. 

On se propose maintenant de al uler modulo 2 es lasses de Chern

rela-tives.Rappelons-nousquelegroupede obordisme

Spin 1

est isomorpheaZ 2

,son

generateuretantS 1

muniedelaSpin-stru tureinduiteparsastru turedegroupe

de Lie(voir[Ki,p.35, 36℄).Pourune surfa efermee S, Johnsonde ritdans [J1 ℄

une bije tion anoniqueetnaturelle :

Spin(S) q ' -Quad( S )

entrelesstru turesspinoriellesdeSetlesformesquadratiquesasso ieesasaforme

d'interse tionmodulo2.Pour2Spin(S),laformequadratiqueH 1 (S;Z 2 ) q -Z 2

se denit omme suit. Si est une ourbesimple fermee orientee sur S, on pose

alors: q  ([ ℄)=[( ;j )℄2 Spin 1 'Z 2 :

Lemme2.33.SoientMun3-varieteabord, 2Spin(M)et2Spin (M;). Alors: 8y2H 2 (M;M); < ();y>=q  (  (y)) mod2;

o u<:;:>designel'evaluation de Krone ker, eto u H 2 (M;M)  -H 1 (M)est

D 

emonstration. Laredu tionmodulo2de ()vaut:

w 2 (M;)2H 2 (M;M;Z 2 );

l'obstru tion pour etendre  a toute la variete M. Soit  une surfa e onnexe

immergeedansMtelleque=M\,n'apasdesingulariteetrepresente

la redu tionmodulo 2dey. Alors,< ();y >=<w 2

(M;);y >mod 2est egale

 a < w

2 (;j



);[℄ > modulo 2, don est l'obstru tion pour etendre la

Spin-stru turej 



atoutelasurfa e.Puisquelasurfa eest onnexe, ettederniere

est aussi la lasse de (;j 

) dans

Spin 1

. Nous avons ainsi : < ();y >=

q  ([℄)=q  (  (y))modulo2. 

Exemple 2.34. Supposons queM est une 3-varietede bordune reunion

dis-jointe detores. Notons 

0 2Parall (T 2 ) st

ette parallelisation prefereedu tore

orrespondantasaSpin-stru turepreferee 0

(deniedansl'Exemple2.16).Alors,

lesstru turesd'EulersurMrelativesa _ [ 

0

,tellesqu'introduitesdanslaDenition

2.27, orrespondentauxstru turesd'EulerrelativesdeniesparTuraev dans[T4 ,

x5.1℄ ou dans [T8 , x1.1℄. En parti ulier,le Lemme2.33 est une generalisation de

[T8,Lemme1.3℄.

2.3. Re ollementdestru tures. Commeannon e,nousproposons

mainte-nantdeste hniquesdere ollementpourlesSpin-stru turesetlesSpin

-stru tures.

Danstout eparagraphe,nousnousdonnonsdeuxn-varietesM 1 etM 2 debord de ompose: M i =S i _ [T i ou S i

6=?.Nous onsideronsaussiun dieomorphisme S

2 f -S 1 ,qui permet

de onstruirelan-variete:

M=M 1 [ f M 2 ;

debord(peut-^etrevide):

M =T 1 _ [T 2 : L'in lusiondeM i

dansM seranoteej i

.

2.3.1. Re ollement de Spin

-stru tures.

Lemme 2.35. Soient pour i=1;2, desstru tures rigides s

i _ [t i 2Spin r (M i ) tellesquef  (s 1 )= s 2

.Onsupposeaussiquelesobstru tionsrelativesw(M i ;s i _ [ t i )

sontnulles.Alors,l'obstru tionw(M;t 1

_ [ t

2

)s'annuleetilexisteuneappli ationde

re ollement : Spin (M 1 ;s 1 _ [ t 1 )Spin (M 2 ;s 2 _ [ t 2 ) [ f -Spin (M;t 1 _ [ t 2 );

qui est aÆneau-dessusde :

H 2 (M 1 ;M 1 )H 2 (M 2 ;M 2 ) -H 2 (M;M) H n 2 (M 1 )H n 2 (M 2 ) P 1 P 1 ? j 1; j 2; -H n 2 (M) P 6

o u lalettreP symbolise unisomorphismede dualitede Poin are.

D emonstration. Soit i 2 Spin (M i ;s i _ [ t i

)representee parla stru ture

ri-gide a i . Alors a 1 et a 2

peuvent ^etre re ollees gr^a e a f : on obtient une Spin

-stru ture rigide surM dontla lassed'homotopiene depend pasdes hoixde a

1

et a 2

dansleurs lassesd'homotopierespe tives.Onlanote :

 1 [ f  2 2Spin (M;t 1 _ [t 2 ):

2.STRUCTURESSpinETSpin SUR LES3-VARI  ET



ES 31

LesvarietesM 1

etM

2

etantlisses,ellessontenparti uliertriangulables:soient

C 1

et C 2

des triangulationsde respe tivement M

1 et M 2 , telles queC 1 j S1 et C 2 j S2

se orrespondentparf.Pouri=1ou2,onnote C  i lade omposition ellulaire de M i dualedeC i .

On forme d'une partla reunion C des triangulations C

1 et C 2 : un simplex de C est unsimplex deC i ,les simplexde S 1

etantidentiesave euxdeS 2

parf. On

onstitued'autrepartlere ollement C 

desde ompositions ellulairesC  1 etC  2 :une ellulede C 

est une elluledeC  i

quinetou hepasS

i

, oubienest lere ollement

parf d'une elluledeC  1

ave une elluledeC  2

lelongdefa es ontenuesdansS

i .

Alors,CestunetriangulationdeM etC



estsade omposition ellulaireduale.La

premiere nousservira a al ulerla ohomologieet lase onde serviraau al ul de

l'homologie. Soient i ; 0 i 2Spin (M i ;s i _ [ t i )(i=1;2),:= 1 [ f  2 et 0 := 0 1 [ f  0 2 .On

veutmontrer etteegalite:

(2.3) j 1; P 1   1  0 1  +j 2; P 1   2  0 2  =P 1    0  2H n 2 (M): Soienta i ;a 0 i 2Spin r (M i

)desrepresentantsrespe tifsde i

et 0 i

qui on identsur

le 1-squelettede C i

(ainsique, bien s^ur,sur M i

). Nousavonsxeunmorphisme

de bres  Mi

-

SO

, et, omme dans la preuve de la Proposition 2.6, nous

identionslastru turerigidea i  aunrelevementM i -BSpin del'appli ation

sous-ja entepourlesespa esbasesM

i -BSO.Alors i = 0 i 2H 2 (M i ;M i )est

la lassedu2- o y lequi assignea haque2- ellulee i k deC i en-dehorsdeM i , et element z i k de  2 (BU(1)) ' 2

(K(Z;2)) ' Z obtenu par re ollement de a

i j e i k et a 0 i j e i k lelongdee i k .Alors,P 1 ( i = 0 i )=[ P k z i k
e ;i k ℄oue ;i k estla(n 2)- ellule dualedee i k . De plus, a := a 1 [ f a 2 et a 0 := a 0 1 [ f a 0 2

representent respe tivement  et 

0 .

De fa onsimilaire, enutilisant esstru turesrigides,onpeut de rireun2- o y le

representant= 0

.Ce 2- o y leenvoie haque2- elluledeC 1 [ f C 2 ontenuedans S 1 = S 2

sur02ZsibienqueP 1

(= 0

)estrepresentepar P k z 1 k
e ;1 k + P k z 2 k
e ;2 k . 

En dimension 3, nous travaillerons ave les Spin

-stru tures relatives a des

stru turesspinorielles(tellesqu'introduitesdanslaDenition2.15).Voi ilelemme

dere ollementquenouspratiqueronspourlesSpin

-stru tures:

Corollaire 2.36. Supposons la dimension negale a 3.Soient pour i=1;2,

des stru tures spinorielles  i _ [ i 2 Spin(M i ) telles que f  ( 1 ) =  2 . Il existe

alors une appli ation de re ollement:

Spin (M 1 ; 1 _ [ 1 )Spin (M 2 ; 2 _ [ 2 ) [ f -Spin (M; 1 _ [ 2 );

qui est aÆneau-dessusde :

H 2 (M 1 ;M 1 )H 2 (M 2 ;M 2 ) -H 2 (M;M) H 1 (M 1 )H 1 (M 2 ) P 1 P 1 ? j 1; j 2; -H 1 (M) P 6 En outre, pour  i 2Spin (M; i _ [ i

) (i=1;2), l'egalite suivante entre lasses de

Chern estsatisfaite:

P 1 ( [  )=j P 1 ( )+j P 1 ( )2H (M):

D 

emonstration. D'apres le Th. 2.14, les obstru tions relatives s'annulent

dans e ontexte : la premiere assertion du orollaire est alors une appli ation

dire teduLemme2.35etdeladenitiondesSpin

-stru turesrelativesades

Spin-stru tures.Ladeuxiemeassertionesten oreun al uldere ollementd'obstru tions

surdesvarietesorientees(protantdeladualitedePoin are):lapreuveestsimilaire



a elleduLemme2.35. 

2.3.2. Re ollement de Spin-stru tures. Lelemme suivant seprouve omme le

Lemme2.35.

Lemme 2.37. Soient pour i=1;2, desstru tures rigides s

i _ [t i 2Spin r (M i ) tellesquef  (s 1 )= s 2

.Onsupposeaussiquelesobstru tionsrelativesw 2 (M i ;s i _ [ t i ) 2 H 2 (M i ;M i ;Z 2

) sont nulles. Alors, l'obstru tion w

2 (M;t 1 _ [ t 2 ) s'annule et il

existe une appli ation de re ollement :

Spin(M 1 ;s 1 _ [ t 1 )Spin(M 2 ;s 2 _ [t 2 ) [ f -Spin(M;t 1 _ [ t 2 );

qui est aÆneau-dessusde :

H 1 (M 1 ;M 1 ;Z 2 )H 1 (M 2 ;M 2 ;Z 2 ) -H 1 (M;M;Z 2 ) H n 1 (M 1 ;Z 2 )H n 1 (M 2 ;Z 2 ) P 1 P 1 ? j 1; j 2; -H n 1 (M;Z 2 ): P 6

Enpratique,noustravailleronsendimension3ave lesSpin-stru turesrelatives

introduitesdanslaDenition2.17.

Corollaire 2.38. Supposons ladimension negale a3etquele lieude

re ol-lement S

1 

= ( S

2

) est onnexe. Soient pour i = 1;2, des stru tures spinorielles

 i _ [ i 2Spin(M i )telles quef  ( 1 )=  2

ettellesqueles obstru tions relatives

w 2 (M i ; i _ [ i

)s'annulent.Ilexiste alors uneuniqueappli ation de re ollement :

Spin(M 1 ; 1 _ [ 1 )Spin(M 2 ; 2 _ [ 2 ) [ f -Spin(M; 1 _ [  2 ); telleque, si i 2Spin(M i ; i _ [  i )et siSpin(M) j  i -Spin(M i )designe

l'appli a-tionde restri tion,alors :

8i2f1;2g; j  i ( 1 [ f  2 )= i 2Spin(M i ):

De plus, ediagrammeest ommutatif:

Spin(M 1 ; 1 _ [ 1 )Spin(M 2 ; 2 _ [ 2 ) [ f -Spin(M; 1 _ [ 2 ) Spin (M 1 ; 1 _ [ 1 )Spin (M 2 ; 2 _ [ 2 )  ? [ f -Spin (M; 1 _ [  2 ):  ? D emonstration. Soient  1 2 Spin(M 1 ; 1 _ [ 1 ) et  2 2 Spin(M 2 ; 2 _ [  2 ). On hoisit a i 2 Spin r (M i ) representant  i

(i = 1;2). Par hypothese, f  (a 1 j S 1 ) est homotope a a 2 j S 2 . Quitte a homotopera 2 dans sa lasse  2 , on peut don

supposerl'egalitede stru turesrigidesf  (a 1 j S1 )= a 2 j S2 ,et onstruire gr^a eau Lemme2.37lastru ture: [a 1 ℄[ f [a 2 ℄2Spin(M;( a 1 j T 1 ) _ [(a 2 j T 2 ));

induisantune ertainestru ture2Spin(M;

1 _ [

2

).Notonsque,par onstru tion,

2Spin(M)satisfaitj  ()= i 2Spin(M i ).