Intersection des diagonales intérieures d’un
octodécagone régulier
Il existe une bijection naturelle entre l’ensemble des points intersection de deux diagonales intérieures d’un polygone et l’ensemble des paquets de quatre sommets.
Ainsi, il y a 18.17.16 .15 / 4.3.2, soit 3060, tels points dans un octodécagone.
Dans le cas particulier d’un octodécagone régulier, le centre est l’intersection de neuf diagonales ; il compte pour 36 parmi les 3060.
Nous allons découvrir la statistique suivante :
54 points sont à l’intersection de cinq diagonales et comptent pour 540 54 points sont à l’intersection de quatre diagonales et comptent pour 324 216 points sont à l’intersection de trois diagonales et comptent pour 648 1512 points sont à l’intersection de deux diagonales et comptent pour 1512
3024 Les points quintuples sont trois sur chaque rayon joignant le centre à un sommet. Voir les points A, B, C.
Les points quadruples sont trois sur chaque rayon joignant le centre au milieu d’un côté. Voir les points U, V, W.
0 3 7
8
12
1 6 4
9
2 5
10 11
13 14 15 16
17
0 3 7
8
12
1 6 4
9
2 5
10 11
13 14 15 16
17
0 3 7
8
12
1 6 4
9
2 5
10 11
13 14 15 16
17
U V
O O O
W
0 3 7
8
12
1 6 4
9
2 5
10 11
13 14 15 16
17
0 3 7
8
12
1 6 4
9
2 5
10 11
13 14 15 16
17
0 3 7
8
12
1 6 4
9
2 5
10 11
13 14 15 16
17
O O O
A B C
Les points triples sont à classer en deux familles :
d’une part, six sur chaque rayon joignant le centre à un sommet
et, d’autre part, en trois classes de 36 éléments (selon le groupe des isométries de l’octodécagone).
La recherche exhaustive a été faite dans un tableur, selon le schéma suivant : - calcul, sur quatre colonnes, des 3060 quadruplets ordonnés (A, C, B, D) ; - écriture, sur huit colonnes, des coordonnées cos(Aπ/9), cos(Cπ/9), cos(Bπ/9), cos(Dπ/9), sin(Aπ/9), sin(Cπ/9), sin(Cπ/9), sin(Dπ/9) des points A, C, B, D ;
- calcul, sur deux colonnes, des coordonnées X et Y du point d’intersection des diagonales AB et CD ;
- calcul, sur une colonne, de K = 10 X + Y, comme caractéristique d’un point intérieur à l’octodécagone ;
- recopie par valeurs des colonnes A,C,B,D et K et tri, ligne par ligne, selon les valeurs croissante de K ;
- calcul d’un indicateur d’égalité entre deux valeurs de K consécutives, pour repérer les éventuels points multiples ;
- repérage, par calcul dans des colonnes distinctes, des points quintuples, quadruples, triples et doubles ;
- totalisation de chacune des catégories et du total des points distincts ; - calculs de contrôle.
Copies d’écran
Les colonnes 5, 6, 7, 8 contiennent le « mou » qui existe pour déplacer un des sommets et passer à la configuration suivante.
Ci-dessous, il peut y avoir 35, 9, 5, 2 (ou aucun) Ok consécutifs.
