D241 : Cinq points pour un ratio minimum

D241 : Cinq points pour un ratio minimum

Soit E un ensemble de cinq points du plan tels que trois d'entre eux ne sont jamais colinéaires.

Soient S(E) et s(E) la plus grande surface et la plus petite surface des triangles déterminés par trois points quelconques de E. Quel est la valeur minimale du rapport ?

Une intuition de symétrie suggère que la disposition idéale est celle d’un pentagone régulier, pour laquelle on obtient deux types de triangles, dont le rapport des aires est le nombre d’or, ϕ=(1+√5)/2. Démontrons le.

Si l’un des points est à l’intérieur d’un triangle formé par trois autres, le rapport sera au moins égal à 3. On peut donc se limiter à étudier les dispositions formant un pentagone convexe.

Tout pentagone convexe est inscriptible dans une ellipse, et il existe une affinité transformant cette ellipse en cercle, cette affinité conservant le rapport des aires.

Il suffit donc d’examiner le cas des pentagones inscriptibles.

Soient A1, A2, A3, A4, A5, les cinq sommets, dans le sens de parcours trigonométrique.

La somme des cinq arcs A1A3, A2A4, A3A5, A4A1, A5A2 est égale à 4π, donc l’un d’entre eux ( par exemple A1A3) vaut 2a≤4π/5 ; A1A2 ou A2A3 (choisissons ce dernier) vaut b≤a≤2π/5, et A2A4≥2a, donc A3A4=c≥a. Le rapport des aires des triangles A1A3A4 et A1A2A3 ayant A1A3 en commun est donc égal au rapport des hauteurs :

(cosa-cos(a+c)/(cos(a-b)-cosa)≥(cosa-cos2a)/(1-cosa)=(1+cosa-2cos²a)/(1-cosa)≥2cosa et puisque a≤2π/5, cosa≥cos2π/5=ϕ/2.

Il existe donc deux triangles dont le rapport des aires est supérieur ou égal à ϕ, donc S(E)/s(E)≥ ϕ, et l’égalité est obtenue pour le pentagone régulier.