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D241. Cinq points pour un ratio minimum

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Academic year: 2022

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D241. Cinq points pour un ratio minimum

Soit E un ensemble de cinq points du plan tels que trois d'entre eux ne sont jamais sur une même droite. Soient S(E) et s(E) la plus grande surface et la plus petite surface des triangles déterminés par trois points quelconques de E. Quelle est la valeur minimale du rapport ?

_________________________________________________________

Pour que S soit le plus petit possible et s le plus grand possible, il est utile de conserver une certaine symétrie pour les 5 points.

En les prenant aux sommets d’un pentagone régulier ABCDE, on a seulement deux types de triangles, ceux utilisant deux côtés adjacents comme ABC, d’aire s, ou ceux utilisant deux côtés adjacents du pentagone étoilé comme ABD, d’aire S.

S = ½ AB.AD. sin (2*pi/5) et s = ½ AB.AC. sin(pi/5). Comme AC=AD, le rapport S/s vaut sin(2*pi/5)/sin(pi/5)= 2.cos(pi/5)= (1 + sqrt(5))/2 = 1,618…

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