Multilinguisme et bavardages

Multilinguisme et bavardages

Problème G236 de Diophante

Diophante fait partie d'une délégation de l'ONU qui est constituée d'un nombre pair de personnes ( n = 2p) réunies autour d'une table circulaire. Le plan de table est très étudié : chaque membre de la délégation peut dialoguer avec ses deux voisins mais ignore la langue des autres délégués.

Le président de séance constatant la multiplication des bavardages décide l'organisation d'un groupe de k membres choisis au sein de la délégation et dans lequel on ne trouve jamais deux personnes ou plus parlant la même langue.

Après un rapide calcul, Diophante constate qu'il y a 100 façons de constituer le groupe de travail. Déterminer n et k.

Solution

D’une part, aucun membre n’est monolingue car ses voisins auraient sa langue en commun, alors qu’ils ne sont pas voisins entre eux. D’autre part, aucun membre ne connaît trois des langues utilisées. Ainsi, la communication se peut schématiser par un graphe cyclique, où chaque arête représente une langue distincte.

Pour constituer son groupe de travail, le président de séance doit choisir un sous-graphe sans arête, de k éléments.

Il y a 100 façons de faire. La permutation circulaire canonique opère sur

l’ensemble des possibilités. Donc n divise 100. Les valeurs 2, 4, 10 sont trop petites ; 50 est trop grande ; 20 convient, avec k = 9.

2

3

3

2222

4

3

3

22

3

3

3

3

Ci-dessus, le mot inscrit est celui des écarts entre les membres en partant du point le plus bas. Chaque configuration est invariante par symétrie verticale et donne naissance à 20 configurations différentes par permutation circulaire.