G236. Multilinguisme et bavardages
Diophante fait partie d'une délégation de l'ONU qui est constituée d'un nombre pair de personnes ( n = 2p) réunies autour d'une table circulaire. Le plan de table est très étudié : chaque membre de la délégation peut dialoguer avec ses deux voisins mais ignore la langue des autres délégués. Le président de séance constatant la multiplication des bavardages décide l'organisation d'un groupe de k membres choisis au sein de la délégation et dans lequel on ne trouve jamais deux personnes ou plus parlant la même langue. Après un rapide calcul, Diophante constate qu'il y a 100 façons de constituer le groupe de travail. Déterminer n et k.
Le problème revient à déterminer le nombre A(n,k) de façons de choisir k personnes (parmi les n) qui ne soient pas voisines de table.
Commençons par calculer le nombre de façons de choisir q personnes non voisines parmi m alignées B(m,q) avec m≥2q-1. Pour tout m, B(m,1)=m, pour tout q, B(2q-1,q)=1, et si m≥2q, on a la relation de récurrence: B(m,q)=B(m-2,q-1) + B(m-1,q).
De plus A(n,k)=B(n-3,k-1)+B(n-1,k) d’où la relation de récurrence similaire:
A(n,k)=A(n-2,k-1)+A(n-1,k), avec A(n,1)=n, et A(2p,p)=2
A(2p+1,p)=A(2p-1,p-1)+A(2p,p)=A(2p-1,p-1)+2, et comme A(3,1)=3, A(2p+1,p)=2p+1.
A(2p+2,p)=A(2p,p-1)+A(2p+1,p)=A(2p,p-1)+2p+1, et comme A(4,1)=4, A(2p+2,p)=(p+1)2 Une solution possible est donc n=20 et k=9.
Il suffit de construire le tableau des A(n,k), en utilisant la récurrence, pour montrer que cette solution est unique, si l’on exclut le cas n=100, k=1...
