G236. Multilinguisme et bavardages
Diophante fait partie d'une délégation de l'ONU qui est constituée d'un nombre pair de personnes ( 2) réunies autour d'une table circulaire. Le plan de table est très étudié : chaque membre de la délégation peut dialoguer avec ses deux voisins mais ignore la langue des autres délégués. Le président de séance constatant la multiplication des bavardages décide l'organisation d'un groupe de membres choisis au sein de la délégation et dans lequel on ne trouve jamais deux personnes ou plus parlant la même langue. Après un rapide calcul, Diophante constate qu'il y a 100 façons de constituer le groupe de travail. Déterminer et .
Solution
Proposée par Fabien Gigante
On numérote les personnes selon leur disposition à la table, et on représente un groupe choisi parmi elles par une séquence de chiffres 0 ou 1 indiquant pour chaque personne si elle appartient au groupe (1) ou non (0).
Un groupe respecte les conditions de l’énoncé si la séquence obtenue contient exactement chiffres 1, mais jamais deux 1 adjacents (on considère que le premier chiffre et le dernier chiffre de la séquence sont adjacents).
On note , l’ensemble des séquences valides, et , son cardinal.
On remarque que :
- , 1 (l’ensemble vide constitue un groupe valide), - , (chaque individu est un groupe valide), - , 0 si 2 (en vertu du principe des tiroirs).
Si on suppose 4, et on peut classer les séquences de , par catégories ( à ) selon leur commencement :
a 0 0 0 …
b 1 0 0 …
c 0 0 1 …
d 0 1 0 0 …
e 0 1 0 1 …
f 1 0 1 0 …
Les séquences de , de catégorie , et se construisent à partir des séquences de , par insertions d’un 0 en deuxième position.
Les séquences de , de catégorie , et se construisent à partir des séquences de , valides par insertion d’un 1 et un 0 (l’inverse pour le type ) en deuxième et troisième position.
Ce qui permet d’obtenir quand 4 la relation :
, , ,
On peut également en déduire par récurrence sur (la vérification est laissée au lecteur) que : ,
si 0 Il suffit ensuite de résoudre , 100. On établit pour cela le tableau suivant :
, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 1 2 0
4 1 4 2 0
6 1 6 9 2 0
8 1 8 20 16 2 0
10 1 10 35 50 25 2 0
12 1 12 54 112 105 36 2 0
14 1 14 77 210 294 196 49 2 0
16 1 16 104 352 660 672 336 64 2 0
18 1 18 135 546 1287 1782 1386 540 81 2 0
20 1 20 170 800 2275 4004 4290 2640 825 100 2 0
22 1 22 209 1122 3740 8008 11011 9438 4719 1210 121 2 0
… …
100 1 100 …
Si on exclut la solution triviale 100, 1, il reste l’unique autre solution ! "#, $ %.
