Le groupe de travail comprend les d´el´egu´es i1, i2

Enonc´e n^oG236 (Diophante) Multilinguisme et bavardages

Diophante fait partie d’une d´el´egation de l’ONU qui est constitu´ee d’un nombre pair de personnes (n= 2p) r´eunies autour d’une table circulaire.

Le plan de table est tr`es ´etudi´e : chaque membre de la d´el´egation peut dialoguer avec ses deux voisins mais ignore la langue des autres d´el´egu´es.

Le pr´esident de s´eance constatant la multiplication des bavardages d´ecide l’organisation d’un groupe dekmembres choisis au sein de la d´el´egation et dans lequel on ne trouve jamais deux personnes ou plus parlant la mˆeme langue. Apr`es un rapide calcul, Diophante constate qu’il y a 100 fa¸cons de constituer le groupe de travail. D´eterminer netk.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je d´esigne les d´el´egu´es par le num´ero de leur place autour de la table, de 1 `a n.

Le groupe de travail comprend les d´el´egu´es i₁, i₂, . . . , i_k (par ordre crois- sant). Ces num´eros ne doivent jamais ˆetre cons´ecutifs pour qu’il n’y ait pas de langue commune `a deux membres : ij+1> ij + 1.

On peut former un groupe sans le d´el´egu´e nen prenant

1≤i1 < i2−1< . . . < ij −j+ 1< . . . < ik−k+ 1≤n−1−k+ 1, soitk entiers distincts parmi 1 `a n−k. Ce peut ˆetre fait deC_n−k^k fa¸cons.

On peut former un groupe avec le d´el´egu´e n=i_k en prenant

1≤i1−1< i2−2< . . . < ij −j < . . . < ik−1−k+ 1≤n−2−k+ 1, soitk−1 entiers distincts parmi 1 `an−k−1. Ce peut ˆetre fait deC_n−k−1^k−1 fa¸cons.

L’´equation du probl`eme est doncC_n−k^k +C_n−k−1^k−1 = 100.

Elle s’´ecrit aussi C_n−k^n−2k+C_n−k−1^n−2k = 100.

100 est ainsi la somme de deux termes cons´ecutifs d’une colonne du triangle de Pascal. On y satisfait avec 100 = 45 + 55,n−2k= 2,n−k= 11,k= 9, n= 20.

nest pair comme demand´e par l’´enonc´e, mais l’analyse vaudrait aussi pour nimpair.

On peut se demander s’il y a d’autres solutions que celle qui apparaˆıt “au coup d’oeil”, notamment quand le nombre donn´e est un carr´e, puisque dans la colonne 2 du triangle de Pascal on aC_m² +C_m+1² =m².

La discussion de

C_n−k^n−2k+C_n−k−1^n−2k =N =C_n−k^k +C_n−k−1^k−1

n’a rien d’´evident dans le cas g´en´eral, mise `a part la solution trivialek= 1, n = N (groupe r´eduit `a 1 personne, N choix parmi N personnes) `a consid´erer comme solution parasite.

Les encadrements qu’on peut ´etablir pourk,nou n−k laissent subsister une part importante de tˆatonnements.

Pour N = 100 la seule solution non triviale est le groupe de 9 dans la d´el´egation de 20 personnes.

1