G273. Triangulations par paquets
On me donne n points dans le plan, trois d’entre eux n’étant jamais sur la même droite.
Je les répartis en 100 sous-ensembles disjoints, en sorte de minimiser le nombre total de triangles que je peux former avec trois points du même sous-ensemble (ces triangles sont comptés comme distincts même quand ils ont un ou deux sommets en commun). Déterminer n, sachant que chaque sous-ensemble contient au moins 3 points et qu'il y a 116 280 triangles.
Soit x, le nombre de points dans un groupe, le nombre de triangles formés par ce groupe est de : F(x) = x !/6(x-3)!
Principe : Tout point déplacé d’un groupe vers un groupe plus important augmente le nombre total de triangles. Il faut donc répartir les points de façon à obtenir des groupes les plus « moyens »
possibles (x → n/100) donnant un nombre de triangles par groupe le plus moyen possible (→ 116280/100 = 1162,8).
Un groupe de 20 points contient 1140 triangles. Un groupe de 21 points contient 1330 triangles.
Les n points doivent donc être répartis en groupes de 20 et 21 points.
On a 1330a + 1140(100-a) = 116 280 Ce qui donne a = 12 et 100-a = 88
Et n = (12 x 21) + (88 x 20) = 2012.
On peut aussi poser :
(n/100)! / 6((n/100)-3)! = 116 280/100
↔ n x (n/100 -1) x (n/100 – 2) = 697 680
↔ n^3 – 300n²+ 20 000n = 697 680 000
↔ 2013 > n > 2012
↔ 87 groupes de 20 et 13 groupes de 21 (nbre triangles = 116 470) OU 88 groupes de 20 et 12 groupes de 21 (nbre triangles = 116 280)
