Exercice1:´Etudesdesyst`emeslin´eaires`aparam`etres Concoursblanc

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Concours blanc

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Exercice 1 : ´ Etudes de syst` emes lin´ eaires ` a param` etres

1. On consid`ere le syst`eme lin´eaire

(S) :







x₂ − x₃ = y₁ x₁ + x₃ = y₂

−x₁ + x₂ = y₃

d’inconnue



 x₁ x₂ x₃



∈R³, o`u



 y₁ y₂ y₃



∈R³ est un param`etre.

1.1. Montrer que le syst`eme (S) est de Cramer.

1.2. Que peut-on en d´eduire quant `a son ensemble solution Sol<sub>S</sub>? 1.3. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S).

2. Pour tout λ∈R, on introduit le syst`eme lin´eaire

(S_λ) :







λ x1 + x2 − x3 = 0 x₁ + λ x₂ + x₃ = 0

−x₁ + x₂ + λ x₃ = 0

d’inconnues



 x₁ x₂ x₃



∈R³.

2.1. R´esoudre le syst`eme (S_λ) lorsque λ= 2.

2.2. R´esoudre le syst`eme (S_λ) lorsque λ=−1.

2.3. D´eterminer l’ensembleU ={λ∈R : (S_λ) est de Cramer}.

2.4. Soit λ∈ U. D´eterminer l’ensembleSol_Sλ sans effectuer de calcul suppl´ementaire.

Exercice 2 : Probabilit´ es et suites

Une urne contient 5 jetons indiscernables au toucher, dont 2 verts et 3 blancs. On effectue des tirages successifs de jetons de l’urne de la fa¸con suivante.

– Si l’on obtient un jeton blanc, ce jeton est remis dans l’urne avant de proc´eder au tirage suivant.

– Si l’on obtient un jeton vert, ce jeton est remplac´e dans l’urne par un jeton blanc, avant que l’on ne proc`ede au tirage suivant.

– Lorsque deux jetons verts ont ´et´e tir´es, on s’arrˆete.

On appelle phase la double op´eration qui consiste `a tirer un jeton puis `a le remettre ou `a le remplacer dans l’urne.

1. Les trois premi`eres phases

Pour tout n∈N^∗, on introduit les ´ev´enements :

B_n = on a tir´e un jeton blanc lors de lan-i`eme phase; V<sub>n</sub> = on a tir´e un jeton vert lors de lan-i`eme phase. 1.1. Calculer P(B1) et P(V1).

1.2. Montrer que : P(B₂) = 3

5P(B₁) + 4

5P(V₁) et P(V₂) = 2

5P(B₁) + 1

5P(V₁).

En d´eduire les valeurs deP(B2) et de P(V2).

1.3. Justifier que :

P(B₃ ∪ V₃)<1.

2. ´Evolution de la composition de l’urne Pour tout n∈N^∗, on introduit les ´ev´enements :

D_n = `a la fin de la n-i`eme phase, l’urne contient deux jetons verts; Un = `a la fin de la n-i`eme phase, l’urne contient un seul jeton vert; A≤n = le jeu s’arrˆete avant (au sens large) la n-i`eme phase

et on posed_n=P(D_n) et u_n =P(U_n).

2.1. Exprimer les ´ev´enements D₁ etU₁ `a l’aide d’´ev´enements pr´ec´edemment introduits, puis calculer les valeurs de d₁ et de u₁.

2.2. Exprimer les ´ev´enements D₂ etU₂ `a l’aide d’´ev´enements pr´ec´edemment introduits, puis calculer les valeurs de d₂ et de u₂.

2.3. Calculer d_n pour toutn ∈N^∗.

2.4. Soit n ∈N^∗. Justifier que (D_n, U_n, A_≤n) est un syst`eme complet d’´ev´enements.

2.5. Montrer que pour tout n∈N^∗ :

u_n+1 = 2

5d_n+4 5u_n. 2.6. Pour tout n∈N^∗, on pose :

v_n=u_n+ 2 3

5 n

.

2.7. Donner une expression de v_n en fonction de n, pour tout n∈N^∗. 2.8. En d´eduire une expression de u_n en fonction den, pour tout n∈N^∗. 3. Calcul de P(B_n) et P(V_n) pour tout n∈N^∗

Soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. Montrer que : P(B_n) = 3

5dn−1+4

5un−1 et P(V_n) = 2

5dn−1+ 1 5un−1

et en d´eduire les valeurs deP(B_n) et deP(V_n).

4. Calcul de la probabilit´e que le jeu s’arrˆete Pour tout n∈N^≥2, on introduit les ´ev´enements :

A_n = le jeu s’arrˆete `a la n-i`eme phase exactement; A = le jeu s’arrˆete.

4.1. Soit n ∈N^≥2.

4.1.1. Exprimer l’´ev´enement A_n `a l’aide d’´ev´enements pr´ec´edemment introduits.

4.1.2. En d´eduire la valeur deP(A_n).

4.1.3. Calculer P(A≤n).

4.2. Justifier que pour tout n∈N^≥2 :

P(A≤n)≤P(A).

et en d´eduire que P(A) = 1.

Exercice 3 : ´ Etudes d’une fonction et d’une suite r´ ecurrente

1. ´Etude de la fonction f: R→R; x7→

r 1 + x²

2 1.1. Montrer que la fonction f est paire.

1.2. Etudier la limite ´´ eventuelle de f en +∞.

1.3. Etudier la branche infinie de la courbe repr´´ esentative de f dans un rep`ere du plan au voisinage de +∞.

1.4. Montrer que pour tout x, y ∈R:

f(x)−f(y) = (x−y)× 1 2

x+y r

1 + x² 2 +

r 1 + y²

2 .

1.5. En d´eduire que f est strictement croissante sur R⁺ et que pour tout x, y ∈[0,√ 2] :

|f(x)−f(y)| ≤

√2

2 |x−y|.

1.6. Dresser le tableau de variations de f sur R, en pr´ecisant les limites ´eventuelles aux bornes.

2. ´Etude de la suite (u_n)_n∈N d´efinie par u₀ = 0 et u_n+1 = r

1 + u²_n

2 pour tout n∈N 2.1. Montrer que pour tout n∈N :

0≤u_n≤√ 2.

2.2. Montrer que la suite (u_n)n∈N est croissante.

2.3. Montrer que la suite (un)n∈N est convergente.

2.4. D´eterminer la limite de la suite (u_n)n∈N.

3. Estimation de la vitesse de convergence de la suite (un)n∈N

3.1. Montrer que pour tout n∈N :

|u_n+1−√ 2| ≤

√2

2 |u_n−√ 2|.

3.2. En d´eduire que pour tout n ∈N:

|u_n−√

2| ≤√ 2

√2 2

!n

.

3.3. Red´emontrer les r´esultats 2.3. et 2.4. `a l’aide de la question pr´ec´edente.

3.4. D´eterminer un entiern ∈Ntel que :

|u_n−√

2| ≤10⁻⁶.

Exercice 4 : ´ Etude d’une fonction polynomiale de degr´ e 3

1. ´Etude du sens de variation de la fonction f: R→R; x7→x³+ 3x−6

1.1. Soit y ∈ R. On consid`ere le polynˆome P_y =X² +yX +y² en la variable X. ´Ecrire le polynˆome Py sous forme canonique.

1.2. En d´eduire que pour tout x, y ∈R :

x² +xy+y² ≥0.

1.3. Soient x, y ∈R. Montrer que :

f(x)−f(y) = (x−y)(x²+xy+y²+ 3).

1.4. Montrer que f est strictement croissante sur R. 2. Bijectivit´e de f

2.1. Montrer que f r´ealise une bijection de R sur un intervalle que l’on pr´ecisera. On note f⁻¹ sa bijection r´eciproque.

2.2. Justifier que l’´equation f(x) = 0 d’inconnue x ∈R admet une unique solution. On

3. Changement de variable

D´emontrer que pour tout x∈R, il existe un unique α∈R^+∗ tel que : x=α− 1

α. 4. D´etermination de x₀

4.1. On note α₀ l’unique ´el´ement de R^+∗ tel que x₀ =α₀− 1 α0

. Montrer que : α⁶₀−6α³₀−1 = 0.

4.2. En d´eduire que :

x₀ = ³ q

3 +√

10− 1

p3

3 +√ 10

. 5. D´etermination de f⁻¹

S’inspirer de la d´emarche expos´ee en 4. pour montrer que pour tout y dans le domaine de d´efinition de f⁻¹ :

f⁻¹(y) = ³ s

6 +y+p

y²+ 12y+ 40

2 − 1

3

s

6 +y+p

y²+ 12y+ 40 2

.