Devoir maison n˚1

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir maison n˚1

Pour le mercredi 3 novembre.

Si vous avez des questions, des doutes ou si vous avez besoin d’une in- dication, n’h´esitez pas `a envoyer un message `a l’adresse suivante.

davidblottiere@gmail.com

Exercice 1 On note

n

X

k=1

k³la somme des npremiers entiers ´elev´es au cube :

n

X

k=1

k³= 1³+ 2³+ 3³+. . .+ (n−1)³+n³. Montrer par r´ecurrence que :

∀n∈N^∗,

n

X

k=1

k³=

n(n+ 1) 2

2

.

Exercice 2

A tout (a, b)` ∈R² on associe l’applicationfa,b d´efinie par fa,b : R → R

x 7→ ax+b.

1. D´eterminer pour quelles valeurs de (a, b) l’applicationfa,b est injective.

2. D´eterminer pour quelles valeurs de (a, b) l’applicationfa,b est surjective.

3. D´eterminer pour quelles valeurs de (a, b) l’applicationfa,b est bijective.

4. Soit (a, b)∈R²tel que fa,b est bijective. Calculer (fa,b)⁻¹(x) pour toutx∈R. 5. Montrer que sifa,b=fc,d, alorsa=cetb=d.

6. Interpr´eter la derni`ere condition en terme d’injectivit´e d’une certaine application.

Probl`eme : Deux cercles remarquables d’un triangle.

Le planP est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j). SoientA,B et Ctrois points non align´es.

Ce probl`eme porte sur le cercle inscrit Cins dans le triangle ABC et sur le cercle circonscritCcir au triangle ABC. Sur la figure ci-dessous, on a trac´e ces deux cercles pour illustrer l’objet de l’´etude. Les d´efinitions pr´ecises deCins etCcir seront rappel´ees plus tard dans le sujet.

b

B

b

A

Cins

Ccir

b

C

L’objectif est de d´eterminer une ´equation cart´esienne du cercleCins dans un cas particulier (cf. Partie C) et une

´equation cart´esienne deCcir en toute g´en´eralit´e (cf. Partie E). Les parties A, B et D fournissent des outils pour y parvenir, mais ont un int´erˆet en elles-mˆemes.

Partie A : ´Etude g´en´erale d’un syst`eme lin´eaire `a 2 ´equations et `a 2 inconnues.

Soienta, b, c, d, α, β∈R. On consid`ere le syst`eme lin´eaire (S)

ax+by=α cx+dy=β d’inconnues (x;y)∈R².

1. Montrer que le syst`eme (S) a une unique solution si et seulement siad−bc6= 0.

2. V´erifier que siad−bc6= 0, alors l’unique solution du syst`eme (S) est le couple dα−bβ

ad−bc;−cα+aβ ad−bc

.

Partie B : ´Etude de la bissectrice d’un angle.

SoientE,F etGtrois points du plan non align´es. On consid`ere la bissectriceDde l’angle¹ \F EGd´efinie par D={M ∈ P : M EF\ =M EG}\ .

On se propose dans cette partie de d’´etudier cette bissectrice et d’en donner une autre description.

Dans cette partie, il est conseill´e de ne pas faire intervenir les coordonn´ees des diff´erents points en pr´esence et de plutˆot utiliser le calcul vectoriel ^≪abstrait^≫ et ses diff´erents outils : relation de Chasles, produit scalaire...

1. Dans les questions 1.(a) `a 1.(e), on suppose l’hypoth`ese

(∗) EF =EG= 1

satisfaite.

1. Tous les angles consid´er´es dans ce probl`eme sont non orient´es et ont des mesures en radians comprises entre 0 etπ.

(a) Faire une figure sur laquelle on placera des pointsE, F,G non align´es et v´erifiant (∗) ainsi que la bissectriceD.

(b) SoitD^′ la droite passant parE et orthogonale `a la droite (F G), i.e.

D^′={M ∈ P : −−→

EM ⊥−−→

F G}. Montrer queD=D^′.

Indication : On pourra montrer que pour un point M quelconque du plan,M EF\ =M EG\ ´equivaut `a

−−→EM ⊥−−→

F G. Pour cela, on pourra utiliser la formule du cours liant le produit scalaire au cosinus et l’injectivit´e de la fonction f: [0;π]→R,x7→cos(x).

(c) SoitI le milieu du segment [F G]. Montrer que Iappartient `aD<sup>′</sup> et donc `aD.

Indication : Par d´efinition du milieu d’un segment, on a−→

IG=−−→

IF. On pourra utiliser cette identit´e et la relation de Chasles pour r´epondre `a la question pos´ee.

(d) SoitM un point du planP, soitMF son projet´e orthogonal sur (EF) et soitMG son projet´e ortho- gonal sur (EG).

i. Jusitifier qu’il existeλF ∈Rtel que−−−→

EMF =λF

−−→EF et qu’il existeλG∈Rtel que−−−→

EMG =λG

−−→EG.

ii. Montrer queM M_F² =EM²−λ²_F et que M M_G² =EM²−λ²_G.

Indication : Pour montrer la premi`ere ´egalit´e, on pourra remarquer que M M_F² =||−−−−→

M MF||²=−−−−→

M MF.−−−−→

M MF

et utiliser la relation de Chasles.

iii. Montrer que−−→

EM .−−→

EF =λF et −−→

EM .−−→

EG=λG. iv. D´eduire que (iii) que siM ∈ D^′, alorsλF =λG. (e) On introduit

E ={M ∈ P : d(M,(EF)) =d(M,(EG))}. i. D´eduire de (d) queD^′⊂ E.

ii. L’´egalit´eD^′=E est-elle vraie ?

Conclusion du 1. : Si E,F et Gsont trois points du plan non align´es tels que EF =EG= 1, alors D=D^′ ⊂ E, i.e.

{M ∈ P : M EF\ =M EG}\ ={M ∈ P : −−→

EM ⊥−−→

F G} ⊂ {M ∈ P : d(M,(EF)) =d(M,(EG))}.

2. On ne suppose plus `a pr´esent que l’hypoth`ese (∗) est satisfaite. Les points E,F et Gsont donc simple- ment des points non align´es du plan. On cherche, dans cette situation plus g´en´erale, `a obtenir des r´esultats analogues `a ceux de la question 1. (cf. encadr´e).

Soient F^′ et G^′ les points du plan d´efinis par

−−→EF^′ = 1

||−−→

EF||

−−→EF et −−→

EG^′= 1

||−−→

EG||

−−→EG.

(a) Montrer queEF^′=EG^′ = 1.

(b) Faire une figure sur laquelle on placera des points E, F, G non align´es, les points F^′, G^′ et la bissectrice

D={M ∈ P : M EF\ =M EG}\ de l’angleF EG.\

(c) Justifier les assertions suivantes.

i. (EF) = (EF^′) et (EG) = (EG^′).

ii. Pour tout pointM du planP,M EF\ =M EF\^′ et M EG\ =M EG\^′. (d) D´eduire de (c) et des r´esultats obtenus en 1. que

D={M ∈ P : −−→

EM ⊥−−−→

F^′G^′} ⊂ {M ∈ P : d(M,(EF)) =d(M,(EG))}.

Conclusion de la partie B. :Si E, F etGsont trois points du plan non align´es, alors la bissectrice Dde l’angle\F EGd´efinie par

D={M ∈ P : M EF\ =M EG}\ co¨ıncide avec la droiteD^′ passant parE, de vecteur normal−−−→

F^′G^′ : D^′={M ∈ P : −−→

EM ⊥−−−→

F^′G^′} o`uF^′ et G^′ sont les points du plan d´efinis par

−−→EF^′= 1

||−−→

EF||

−−→EF et −−→

EG^′= 1

||−−→

EG||

−−→EG.

De plus

D ⊂ {M ∈ P : d(M,(EF)) =d(M,(EG))}.

Partie C : ´Equation cart´esienne du cercleCins inscrit dans un triangle donn´e.

On consid`ere les points

A(2; 1) B(2; 5) C(5; 1) et on note

DA la bissectrice de l’angleBAC\; DB la bissectrice de l’angle\ABC; DC la bissectrice de l’angle\ACB.

1. Montrer que le triangleABC est rectangle.

2. (a) Soient B^′ etC^′ les points du plan tels que

−−→AB^′= 1

||−−→

AB||

−−→AB et −−→

AC^′= 1

||−→

AC||

−→AC.

Calculer les coordonn´ees deB^′ et de C^′.

(b) D´eduire de (a) et de la partie B une ´equation cart´esienne de la droiteDA.

3. (a) Soient A^′′et C^′′ les points du plan tels que

−−→BA^′′= 1

||−−→

BA||

−−→BA et −−→

BC^′′= 1

||−−→

BC||

−−→BC.

Calculer les coordonn´ees deA^′′ et deC^′′.

(b) D´eduire de (a) et de la partie B une ´equation cart´esienne de la droiteDB.

4. Montrer que les droitesDAet DB se coupent en un unique point Ω dont on donnera les coordonn´ees.

Indication : On pourra ramener la question pos´ee `a la r´esolution d’un syst`eme et utiliser, par exemple, les r´esultats obtenus dans la partie A.

5. (a) Soient A^′′′ etB^′′′ les points du plan tels que

−−−→CA^′′′= 1

||−→

CA||

−→CA et −−−→

CB^′′′= 1

||−−→

CB||

−−→CB.

Calculer les coordonn´ees deA^′′′ et deB^′′′.

(b) D´eduire de (a) et de la partie B une ´equation cart´esienne de la droiteDC. (c) V´erifier que Ω∈ DC.

6. D´eduire de 4. et de la partie B que d(Ω,(AB)) =d(Ω,(AC)) =d(Ω,(BC)).

D´efinition (cercle inscrit dans le triangleABC) : Le cercleCins incrit dans le triangleABC est le cercle de centre Ω, le point de concours des trois bissectrices du triangleABC, et de rayon

r=d(Ω,(AB)) =d(Ω,(AC)) =d(Ω,(BC)).

7. Donner une ´equation cart´esienne du cercleCins.

Remarque : On pourra v´erifier le r´esultat obtenu `a l’aide deGeogebra.

8. Justifier que le cercleCins est tangent aux trois cˆot´es du triangleABC.

Rappel : Un cercle est dit tangent `a une droite s’il coupe la droite en un unique point.

Partie D : ´Etude de la m´ediatrice d’un segment.

Soient E et F deux points distincts du planP. La m´ediatrice Mdu segment [EF] est l’ensemble de tous les pointsM du plan situ´es `a ´egale distance deE et F, i.e.

M[EF]={M ∈ P : EM =F M}.

SoitI le milieu du segment [EF] et soitDla droite passant parI et orthogonale `a (EF), i.e.

D={M ∈ P : −−→

IM ⊥−−→

EF}.

Montrer queM=D.

Indication : On pourra montrer que pour un point M quelconque du plan, EM =F M ´equivaut `a−−→

IM ⊥−−→

EF. Pour cela, on pourra penser `a utiliser le produit scalaire.

Partie E : ´Equation cart´esienne du cercle Ccir circonscrit `a un triangle.

Soientaet bdeux r´eels quelconques. On consid`ere les points A(1; 0) B(a;b).

On suppose que les pointsO (origine du rep`ere),AetB ne sont pas align´es.

D´efinition (cercle circonscrit au triangle OAB) : Le cercleCcir circonscrit au triangleOAB est l’unique cercle passant par les trois sommetsO, AetB du triangleOAB.

On noteM[OA] etM[OB] les m´ediatrices respectives des segments [OA] et [OB].

1. Montrer queb6= 0.

2. Donner une ´equation cart´esienne de chacune des droitesM[OA] etM[OB]. Indication : On pourra penser `a utiliser le r´esultat de la partieD.

3. Prouver que les droites M[OA] et M[OB] se coupent en un unique point Ω^′ dont on calculera les coor- donn´ees.

4. Justifier avec soin que Ω^′ est le centre du cercleCcir circonscrit au triangleOAB.

5. Donner une ´equation cart´esienne deCcir.