Feuille 8
Transformations lin´ eaires du plan
1Les feuilles d’exercices sont d´ecoup´ees en trois types d’exercice :
— Lesindispensables : `a savoir faire en autonomie.
— Lesexercices d’application : pour mieux maˆıtriser et comprendre le cours.
— Pour aller plus loin : exercices pr´esentant des d´eveloppements math´ematiques ou des ´etudes de mod´eli- sations de ph´enom`enes issues d’autres disciplines.
Indispensables
Exercice 1 (Projections et sym´eries orthogonales). Soit P2 l’ensemble des vecteurs du plan rapport´e `a une base orthonorm´ee (~i,~j). SoitDla droite vectorielle de vecteur directeurd~= 3~i+~j.
1. Quelle est l’image du vecteur x~i+y~j dans la projection orthogonale sur D. Faites un dessin.
2. Quelle est l’image du vecteur x~i+y~j dans la sym´etrie orthogonale par rapport `a D. Faites un dessin.
Exercice 2 (Projections et sym´etries quelconques). Soit P2 l’ensemble des vecteurs du plan rapport´e `a une base orthonorm´ee (~i,~j). On pose~u= 3~i+~j et~v=~i+ 2~j. SoientD(~u) la droite vectorielle de vecteur directeur~u etD(~v) la droite vectorielle de vecteur directeur~v.
1. Montrer que (~u, ~v) est une base deP2.
2. Quelle est l’image du vecteurx~i+y~j dans la projectionp1surD(3~i+~j) parall`element `aD(~i+2~j).
Dessiner l’image du vecteur~u= 4~i+ 4~j.
3. Quelle est l’image du vecteurx~i+y~j dans la projectionp2surD(~i+2~j) parall`element `aD(3~i+~j).
4. Quelle est l’image du vecteurx~i+y~j dans la sym´etrieσ par rapport `aD(3~i+~j) parall`element
`
a D(~i+ 2~j). Dessiner l’image du vecteur~u= 4~i+ 4~j.
Exercice 3. Soit P2 l’ensemble des vecteurs du plan et soit (~i,~j) une base de P2. Parmi les applications suivantes lesquelles sont lin´eaires ?
1. f :P2 → P2; x~i+y~j7−→3x~i+ (−7y+ 5x)~j 2. g:P2→ P2; x~i+y~j 7−→sin(xy)~i
3. h:P2→ P2; x~i+y~j 7−→(x+ 2y)~i+ (xy)~j 4. k:P2 → P2; x~i+y~j 7−→(3x+ 1)~i+ (−7y+ 5x)~j
Exercice 4. On consid`ere les applications lin´eaires suivantes deP2 dans lui-mˆeme.
f : P2 → P2
x~i+y~j 7→ y~i+x~j et
g : P2 → P2 x~i+y~j 7→ y~j
Donner les expressions de f+g, 2f −3g,f ◦g,g◦f,f2 =f ◦f,g2=g◦g.
Exercice 5. SoitA= 1 1
1 1
1. Calculer A2 en fonction de A et en d´eduireAn en fonction de A.
1. Version du 2 d´ecembre 2019
2. SoitP2 l’ensemble des vecteurs du plan et (~i,~j) une base deP2. Soitf l’application lin´eaire de P2 dans lui-mˆeme dont la matrice dans la base (~i,~j) estA. CalculerT(x~i+y~j) etTn(x~i+y~j).
Exercice 6. Soit P2 l’ensemble des vecteurs du plan rapport´e `a une base orthonorm´ee directe (~i,~j). Montrer que la transformation lin´eaireT dont la matrice dans la base (~i,~j) est
A=
√3 2 −1 1 2 2
√3 2
est une rotation dont on pr´ecisera l’angle.
Exercice 7. Soit B = 1 2
3 4
. Montrer que B est inversible et calculer B−1. V´erifier votre r´esultat.
Exercice 8. Soitaun r´eel. On consid`ere la matrice Aa =
a+ 1 a−1
a 2a
.
1. Pour quelles valeurs de ala matriceAa est-elle inversible ? 2. SiAa est inversible, calculer son inverse.
Exercice 9. On pose
A=
−1 2
−3 4
, P = 1 2
1 3
1. Montrer queP est inversible et calculer P−1.V´erifier votre r´esultat.
2. Calculer D=P−1AP.
3. Calculer Dn. En d´eduire An. On demande le calcul explicite de tous les coefficients de An. V´erifier votre r´esultat.
Exercice 10. On consid`ere le parall`elogramme d´efini par les vecteurs suivants (t∈[0,1]) : U =
1
−1
, Vt= t
−t2
1. Calculer l’aire du parall`elogramme
2. Pour quelle valeur de tobtient-on l’aire maximale ? Que vaut-elle ? Exercice 11. Soient a, b, cetdquatre r´eels.
1. On consid`ere le syst`eme
ax−by = α cx+dy = β
Montrer que si ad−bc 6= 0, ce syst`eme a une solution unique que l’on exprimera en fonction de la matrice
a b c d
.
2. R´esoudre les syst`emes suivants en utilisant les matrices
—
x−2y = 1
−2x+y = −1
—
3x+ 5y = 0 2y−x = 3
Applications
Exercice 12. Soient aetbdeux r´eels.
Partie I On consid`ere la matrice A=
−a b a −b
.
1. Calculer A2 en fonction de A et en d´eduireAn en fonction de A pour toutn∈N.
2. Montrer par r´ecurrence surn∈N que
∀n∈N, (A+I)n=I− 1
a+b[(1−a−b)n−1]A.
Partie II
On consid`ere la population d’un pays, divis´ee en une population rurale et une population urbaine. On note Rn et Un les populations rurales et urbaines `a l’ann´een, a le taux d’exode rural annuel el b le taux d’exode urbain annuel (suppos´es constants).
3. Montrer que cette situation conduit aux ´equationsRn+1 = (1−a)Rn+bUn etUn+1 =aRn+ (1−b)Un.
4. Ecrire ces ´equations sous forme matricielle.
5. Calculer Rn etUn pour tous les n∈N.
6. En prenant a = 0.1 an−1 et b = 0.05 an−1, quel est le comportement de Rn etUn en temps grand.
Exercice 13. On consid`ere une population d’animaux sauvages divis´ee en deux classes d’ˆage, (les jeunes et les adultes), et l’on appelleei(n) i= 1,2... les effectifs dans la ii`eme classe d’ˆage au temps n. Soientfi et mi le taux de natalit´e et de mortalit´e des individus de la classe i, et enfinp1 la proportion d’individus passant de la classe 1 `a la classe 2.
Partie I 1. Exprimer e1(n+ 1) en fonction dee1(n) et e2(n).
2. Exprimer e2(n+ 1) en fonction dee1(n) et e2(n).
3. Posons E(n) =
e1(n) e2(n)
. Ecrire la matrice A telle que E(n+ 1) =AE(n).
Partie II 2) On prend f1= 0, p1 = 1
2,m1 = 1
4,f2= 2 etm2= 3 4. 2) a) ExpliciterA.
2) b) On poseP =
2 2
−1 1
. Montrer queP−1AP =
−3/4 0
0 5/4
. 2) c) En d´eduireE(n) en fonction de net de E(0).
2) d) Calculer la limite du rapport e1(n)
e2(n) lorsquentend vers ∞ et montrer qu’elle ne d´epend pas deE(0).
Remarque : Ce mod`ele matriciel de taille 2 est tir´e de ”Math´ematiques et statistique pour les sciences de la nature”, G. Biau-J. Droniou- M. Herzlich.
Exercice 14. Le but de cet exercice est de red´emontrer le th´eor`eme de Thal`es en utilisant la lin´earit´e de la projection. Consid´erons deux droites D et D0. Soient A, B et C trois points de D. Soient A0, B0 etC0 les images deA, B etC dans la projection sur D0 parall`element `a la droiteD00. Montrer les relations
OA
OB = OA0
OB0 = AA0 BB0 OA
OC = OA0
OC0 = AA0 CC0
Pour aller plus loin
Exercice 15. Soient AetB deux matrices carr´ees inversibles.
1. Montrer que la matriceAB est inversible.
2. Exprimer (AB)−1 en fonction de A−1 etB−1.
Exercice 16. Sinetp sont deux entiers naturels tels quep≤n. On pose n
p
= n!
p!(n−p)!. 1. Montrer la relation
n+ 1 p
= n
p
+ n
p−1
.
2. Soit Aet B deux matrices telles queAB =BA. Montrer par r´ecurrence sur nque
∀n∈N, (A+B)n=
n
X
p=0
n p
ApBn−p.
3. Cette relation reste-t-elle vraie siAB et BAne sont pas ´egaux ?
4. Calculer la puissance ni`eme de T = a b
0 a
o`u aetb sont complexes.
Exercice 17. Soit P2 l’ensemble des vecteurs du plan.
Partie I
1. Soit B= (~e1, ~e2) une base de P2 etB0 = (~1, ~2) une autre base de P2. On pose
~1=a1~e1+a2~e2
~2=b1~e1+b2~e2. Tout vecteur ~u peut s’´ecrire dans les deux bases :
~
u=x1~e1+x2~e2 =x01~1+x02~2. On pose [~u]B =
x1
x2
(le vecteur colonne des coordonn´ees de~udans la baseB) et [~u]B0 = x01
x02
(le vecteur colonne des coordonn´ees de~u dans la base B0).
NotonsP =
a1 b1 a2 b2
. La matrice P s’appelle matrice de passage de la baseB `a la baseB0. D´eterminer la relation existant entre [~u]B, [~u]B0 etP.
2. Expliquez pourquoi la matrice P est inversible.
3. Soit f :P2 → P2 une application lin´eaire. Notons A la matrice de f dans la base B et N la matrice de f dans la base B0. D´eterminer la relation existant entre A, N etP. Cette relation s’appelle ”formule de changement de base”.
Partie II Soit f l’application lin´eaire donn´ee par
f :P2 −→ P2
x1~e1+x2~e2 7→ x2~e1+ (−2x1+ 3x2)~e2
4. Trouver un vecteur ~u1 ∈ P2\{0} tel que f(~u1) = ~u1 et un vecteur ~u2 ∈ P2\{0} tel que f(~u2) = 2~u2.
5. Justifier que C = (~u1, ~u2) forme une base de P2. Donner la matrice de passage de la base B `a la base C.
6. Donner la matrice de l’applicationf dans la base B puis dans la baseC et ´ecrire la formule de changement de bases entre les deux matrices obtenues.
Exercice 18. (utilise l’exercice pr´ec´edent) Soit Ala matrice donn´ee par
A=
5 −12 2 −5
Le but de l’exercice est de proposer une m´ethode pour calculerAn. Pour cela on va chercher une matrice plus simple,D, telle qu’on ait A=P DP−1, pourP une certaine matrice inversible.
Soit B= (~e1, ~e2) une base de P2 et soitf :P2 → P2 l’application lin´eaire dont la matrice dans la base Best A.
1. D´eterminerf(x1~e1+x2~e2).
2. Trouver une base C = (~u1, ~u2) form´ee de deux vecteurs de P2 v´erifiant f(~u1) = ~u1 et f(~u2) =−~u2.
3. Quelle est la matrice def dans la base C? Montrer qu’il existe une matrice diagonaleDet une matrice inversible P (qu’on explicitera) telles queA=P DP−1.
4. Calculer Dn et en d´eduire An. 5. V´erifier votre r´esultat.
