CORRECTION DU CONTR ˆOLE DU 09/10/18
Question de cours : Voir le cours.
Exercices :
1) Pourn≥1, on ´ecrit : un= 3n2−n+ cos(n)
n2−sin(n) = n2(3−1/n+ cos(n)/n2)
n2(1−sin(n)/n2) =3−1/n+ cos(n)/n2 1−sin(n)/n2 Or 1/n→n→+∞0,
cos(n) n2
≤n12 →n→+∞0 et
sin(n) n2
≤n12 →n→+∞0. Donc :
n→+∞lim un = 3
2) Pour n ≥ 0, un = (−1)nvn, o`u vn = 1+1√n. Comme (vn)n≥0 est une suite d´ecroissante `a termes positifs, le crit`ere des s´eries altern´ees permet de conclure que P
n≥0un est convergente.
3) La fonction f : x 7→ √x(1+x)1 est d´efinie et continue sur ]0,+∞[. On ´etudie s´epar´ement l’int´egrabilit´e de cette fonction au voisinage de 0 et au voisinage de +∞.
Au voisinage de 0, f(x)∼x→0+ √1
x. De plus, R1 0
√dx
x est une int´egrale de Rie- mann convergente car d’exposant 1/2 < 1. Comme f est positive, le crit`ere de comparaison des int´egrales donne la convergence deR1
0 f(x)dx.
Au voisinage de +∞,f(x)∼x→+∞ 1
x3/2. De plus,R+∞
1 dx
x3/2 est une int´egrale de Riemann convergente car d’exposant 3/2>1. Commef est positive, le crit`ere de comparaison des int´egrales donne la convergence deR+∞
1 f(x)dx.
On d´eduit de ce qui pr´ec`ede la convergence de l’int´egraleR+∞
0 f(x)dx.
4) Soit x ∈ [0,1[ fix´e. Comme xn →n→+∞ 0, il vient que fn(x) →n→+∞ 0. Si x = 1, on a fn(1) = 1/2 →n→+∞ 1/2. Par cons´equent, la suite de fonctions (fn)n≥0converge simplement sur [0,1] vers la fonctionf d´efinie par :
f(x) =
0, six∈[0,1[
1/2, six= 1
Les fonctionsfn´etant toutes continues pourn≥0, si il y avait convergence uni- forme de la suite (fn)n≥0versf sur le segment [0,1], on devrait avoir la continuit´e de f sur [0,1]. Or limx→1−f(x) = 0 6= 1/2 = f(1). Autrement dit, f n’est pas continue en 1 donc la convergence n’est pas uniforme sur [0,1].
On fixe 0< α < 1. Pour x∈[0, α], n≥0,|fn(x)−f(x)|= 1+xxnn ≤αn. Donc supx∈[0,α]|fn(x)| ≤ αn →n→+∞ 0, puisque 0 < α < 1. Donc (fn)n≥0 converge uniform´ement vers la fonction nulle sur [0, α].
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