Champs de vecteurs
1 Champs de vecteurs de R
21.1 D´efinition
D´efinition.SoitU une partie deR2. On appellechamp de vecteurd´efini surU une applicationV~ : U Ñ R2 :
@px, yq PU, ~Vpx, yq pPpx, yq, Qpx, yqq Repr´esentation graphique.
Propri´et´e. Si cette application est de classe C1, alors elle poss`ede en tout point une diff´erentielle, qui est un endomorphisme deR2 repr´esent´e dans la base canonique par la matrice jacobienne :
J
BP
Bx BP By BQ Bx BQ
By
1.2 Champ de gradient
Cadre. On s’int´eresse au cas particulier suivant : Sif PC2pU,Rq, alors sont gradientÝÝÑgradf
Bf
Bx,BBfy est un champ de vecteurs, dont la matrice jacobienne est :
J
B
2f Bx2
B2f ByBx B2f BxBy B2f
By2
Remarque.
Probl`eme. Est-ce que r´eciproquement, tout champ de vecteurs dont la matrice jacobienne est sym´etrique est-il un champ de gradient ?
R´eponse.
D´efinition. Soit U un ouvert de R2. On dit que U est ´etoil´e si et seulement si il existe A P U tel que
@M PU, rAMs U. Interpr´etation graphique.
Exemple. Les parties suivantes sont-elles ´etoil´ees ? (a) Une partie convexe
(b) R2rtp0,0qu
(c) R2, priv´e d’une demi-droite.
Th´eor`eme (de Poincar´e).
Soit V~ un champ de vecteurs de classeC1,V~px, yq pPpx, yq, Qpx, yqq.
Si sa matrice jacobienne est sym´etrique (c’est-`a-dire BBPy BBQx) sur U un ouvert ´etoil´e, alors V~ est un champ de gradient sur U, c’est-`a-direqu’il existe f PC2pU,Rqtelle que V~ ÝÝÑgradpfq, soit :
@px, yq PU, Ppx, yq Bf
Bx et Qpx, yq Bf By
D´efinition. On dit dans ce cas quef est un potentiel scalaire du champV~, et que le champV~ d´erive d’un potentiel scalaire.
Exemple. Le champ de vecteur d´efini sur R2rtp0,0qupar : V~px, yq
y
x2 y2, x x2 y2
d´erive-t-il d’un potentiel scalaire ?
1.3 Int´egrale curviligne, circulation d’un champ de vecteurs
D´efinition. Soit V~ un champ de vecteurs de classe C1 surU ouvert de R2. Soit Γ une courbe deU param´etr´ee parprt0, t1s, ~γq. On appellecirculation du champ V~ sur Γ l’int´egrale :
»
Γ
V~
»t1
t0
AV~p~γptqq~γ1ptqE dt
Remarque. Expression de ³
ΓV~ : Avec les notations usuelles V~px, yq pPpx, yq, Qpx, yqqetγptq pxptq, yptqq,
on a : »
Γ
V~
»t1
t0
Ppxptq, yptqqx1ptq Qpxptq, yptqqy1ptqdt
Propri´et´e. Cette int´egrale est ind´ependante du choix du param´etrage de Γ, au signe pr`es (sens de parcours) Notation. On ´etend les notations diff´erentielles en posant dx x1ptqdt et dy y1ptqdt, ce qui conduit `a
l’´ecriture : »
Γ
V~
»
Γ
Ppx, yqdx Qpx, yqdy
Remarque. Ce n’est qu’une notation commode pour parler de circulation d’un champ de vecteur sur Γ. `A la vue de cette notation, on param`etre imm´ediatementΓ et on revient `a la notation pr´ec´edente.
Exemple. Calculer la circulation³
Γydxxdy o`u Γ est le cercle unit´e parcouru dans le sens direct.
Exemple. On reprend l’exemple pr´ec´edent
V~px, yq
y
x2 y2, x x2 y2
On note :
(a) Γ1 le cercle de centreO et de rayon r;
(b) Γ2 le carr´e de centreO, de cot´es parall`eles aux axes de longueur 2 ; D´eterminer la circulation deV~ le long de Γi.
1.4 Circulation d’un champ de gradient Th´eor`eme.
Soit f : U Ñ R. La circulation sur Γ du champ de gradient de f ne d´epend que de la valeur de f aux extr´emit´es de Γ, et non de la courbe joignant ces deux points.
Corollaire. La circulation d’un champ de gradient sur une courbe ferm´ee est nulle.
Corollaire. Si V~ est un champ de vecteurs de classe C1 sur U ouvert ´etoil´e, dont la matrice jacobienne est sym´etrique, alors la circulation deV~ entre deux points ne d´epend pas du chemin restant dansU pour relier ces deux points.
En particulier, la circulation de V~ sur toute courbe ferm´ee incluse dans U est nulle.
Exemple. On reprend l’exemple pr´ec´edent
V~px, yq
y
x2 y2, x x2 y2
On note :
(a) Γ1 le cercle de centreO et de rayon r; (b) Γ3 le cercle de centreAp2,0q et de rayon 1.
Que dire de la circulation de V~ le long de Γi.
2 Formule de Green-Riemann
2.1 La formule
Th´eor`eme (Formule de Green-Riemann).
Soit U une partie born´ee deR2 d´elimit´ee par une courbe Γ simple, ferm´ee, de classeC1, parcourue dans le sens direct.
Soit V~ pP, Qq un champ de vecteur surU. Alors :
»
Γ
Pdx Qdy
¼
U
BQ Bx BP
By
dxdy
Remarque.
2.2 Application aux calculs d’aires
Propri´et´e. Soit U une partie born´ee deR2 d´elimit´ee par une courbe Γ simple, ferm´ee, de classeC1, parcourue dans le sens direct. Alors :
ApUq
»
Γ
ydx
»
Γ
xdy 1 2
»
Γ
ydx xdy Exemple. D´eterminer l’aire de l’ellipse.
Propri´et´e.En coordonn´ees polaires : SoitU une partie born´ee deR2d´elimit´ee par une courbe Γ simple, ferm´ee, de classe C1, parcourue dans le sens direct.
On suppose Γ param´etr´ee en coordonn´ees polaires parρρpθq. Alors : ApUq 1
2
»
Γ
ρ2dθ
Exemple. Aire de l’int´erieur de la cardio¨ıde.
46.1Calculerl’int´egralecurviligne: » Γpx2 yqdxpy2 xqdy surdiff´erentsarcsΓd’extr´emit´esAp1,1qetBp1,1q. champsvecteurs_1.tex 46.2Montrerquelesint´egralescurvilignessuivantesned´ependent quedesextr´emit´esdel’arcΓ.Lescalculerenfonctionsdescoordonn´ees desextr´emit´es: (a)³ Γpx2 y2 qdx2xydy (b)³ Γ2x ydxy2x2 y2dy champsvecteurs_2.tex 46.3SoitUtpx,yqt.q.x¥0,y¥0,x2 a2y2 b2¤1uet I¼ U
xydxdy (a)CalculerIdirectement; (b)CalculerIparunchangementdevariablesadapt´e; (c)CalculerIenutilisantlaformuledeGreen-Riemann.
champsvecteurs_3.tex 46.4SoitUtpx,yqt.q.x¥0,y¥0,x2 y2 ¤1uet I¼ Upxyqdxdy (a)CalculerIdirectement; (b)CalculerIparunchangementdevariablesadapt´e; (c)CalculerIenutilisantlaformuledeGreen-Riemann. champsvecteurs_4.tex 46.5Calculerl’int´egralecurvilignesuivante: » Γpxyq x2y2dxpxyq x2y2dy (a)lorsqueΓestlecercledecentreO,derayon1,parcourudansle sensdirect; (b)lorsqueΓestlecarr´edediagonaleAp1,1q,Cp1,1qparcouru danslesensdirect. (c)Commenterler´esultat. champsvecteurs_5.tex
