Terminale S1 DS 1 heure Lundi 3 janvier 2005
Dans tout le texte,edésigne le nombre réel tel que ln(e) = 1.
On considère la fonctionf définie sur]0; +∞[parf(x) = ln(x) +xe x2 .
On note(Γ)sa courbe représentative dans un repère orthonormal.unités graphiques 2 cm.
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire :
On considère la fonctiong définie sur]0; +∞[parg(x) =−2 ln(x)−xe+ 1.
1. Déterminer la limite degen 0.
On admettra que lim
x→+∞
ln(x)
x = 0En déduire la limite deg en+∞. 2. Etudier les variations deg.
3. Montrer que dans[0.5; 1]l’équationg(x) = 0admet une solution et une seule notéeα.
Donner un encadrement deαà10−1 près.
4. En déduire le signe deg(x)en fonction des valeurs dex.
Partie B Etude de f
1. Déterminer ls limites def aux bornes de son ensemble de définition.
2.Soitf0 la dérivée def. Vérifier quef0(x) =g(x) x3 Etudier les variations def. sur]0; +∞[
3. Montrer quef(α) = 1 +αe 2α2 .
4. Dresser le tableau des variations def. sur]0; +∞[ 5. Tracer la courbe(Γ).
