Terminale S2 DS 5 Janvier 2004 Exercice 1
Soitf la fonction définie sur[0; +∞[parf(x) = x2+x+ 1
x2 e−x1 pourx >0etf(0) = 0.
On noteC la courbe représentative def dans un repère orthonormal³
O;−→i ,−→j´
(unités graphiques 5 cm).
Partie A (3,5 points)
1. Démontrer quef est continue sur[0; +∞[. (On pourra utiliser, pournentier naturel non nul, lim
u→+∞une−u= 0).
2. Démontrer que la droite(∆)d’équationy= 1est asymptote àC. 3. Pourx >0,calculer f(x)−f(0)
x .Etudier la limite de cette expression quandxtend vers0.
Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Que peut-on en déduire pour la courbeC ?
4. Démontrer que, pour toutxde]0; +∞[on af0(x) =1−x x4 e−x1.
5. Etudier les variations de la fonctionf et dresser son tableau de variations.
Partie B (8,5 points)
On noteg la fonction définie sur]0; +∞[parg(x) =f(x)−xf0(x).
1. Montrer que dans]0; +∞[, les équationsg(x) = 0etx3+x2+ 2x−1 = 0sont équivalentes.
2. Démontrer que l’équationx3+x2+ 2x−1 = 0admet une seule racine réelleαdont on justifiera un encadrement à 10−2 près.
3. On poseA= f(α)
α .EncadrerA à2×10−1 près (justifier) et montrer queA=f0(α).
4. Pour tout réelb >0, on noteTb la tangente à C au point d’abscisseb.Montrer queTα a pour équationy=Ax.Tracer Tα puis la courbeC.
5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentesTb àC(en des points d’abscisse non nulle), seule Tα passe par l’origineO.
6. On admettra que Tα est au-desus deC sur]0; +∞[.
a. Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solutions de l’équationf(x) =m,suivant le réelm donné.
b. Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solutions de l’équationf(x) =mx,suivant le réel mdonné.
Exercice 2
(9 points)Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal(O;−→u ,−→v)(unités graphiques 4 cm), on considère les pointsAd’affixe zA= 1 etB d’affixezB= 2.
Soit un réelθappartenant à l’intervalle]0;π[.On noteM le point d’affixez= 1 +e2iθ. 1. Montrer que le pointM appartient au cercleC de centreAet de rayon 1.
2. Exprimer l’angle³−−→AB,−−→AM´
en fonction deθ.En déduire l’ensembleE des pointsM quandθ décrit l’intervalle]0;π[. 3. On appelleM0 l’image de M par la rotation de centreO et d’angle−2θet on note z0 l’affixe deM0. Montrer quez0 =z
puis queM0 appartient àC. 4. Dans toute la suite, on choisitθ= π
3. On appeller la rotation de centreO et d’angle −2π
3 etA0 l’image de Aparr.
a. Définir l’imageC0 deCparr.Placer sur une figureA, B,C, M,C0 puis le pointM0 image deM parr.
b. Montrer que le triangleAM Oest équilatéral.
c. Montrer queC etC0 se coupent enO etM0.
d. SoitP le symétrique deM par rapport àA.Montrer queM0 est le milieu de[A0P]
