Universit´e Pierre et Marie Curie Master 1, 4M025
Ann´ee 2014-2015 Calcul des variations: outils et m´ethodes
TD 6. Formulations variationnelles
Exercice 1.Soitf ∈L2(0,1). On cherche la solutionudu probl`eme aux limites
(P)
d4u
dx4 =f dans (0,1) u(0) =u(1) = 0 u0(0) =u0(1) = 0 1. Donner la d´efinition d’une solution faibleude (P).
2. D´emontrer l’existence d’une unique solution faible de (P).
3. Montrer que la solution faibleuappartient `aH4(0,1). Pour cela on d´emontrera que : (a) siw∈L2(0,1) etR1
0 wϕ00dx= 0 pour toute fonctionϕ∈ Cc∞(]0,1[), alorswest un polynˆome de degr´e 1 au plus.
(b) siw∈L2(0,1), f ∈L2(0,1) etR1
0 wϕ00dx=R1
0 f ϕ dx, alorsw∈H2(0,1) etw00=f.
4. Montrer que sif ∈ C0([0,1]), alorsu∈ C4([0,1]).
Exercice 2.Soitf etg deux fonctions 1-Lipschitziennes, c’est-`a-dire,
|f(x)−f(y)| ≤ |x−y|, |g(x)−g(y)| ≤ |x−y| ∀x, y∈R. On consid`ere le syst`eme
−u00+u=f(v) sur (a, b), (0.1)
−v00+v=g(u) sur (a, b), (0.2)
u(a) =v(a) =u(b) =v(b) = 0. (0.3)
1. D´efinir une solution faible (u, v) de (P). Montrer que (u, v) est une solution faible si et seulement si (u, v) est une solution classique.
2. On consid`ere l’applicationT :L2(a, b)2→L2(a, b)2telle que, `a chaque (u, v), on associe la solution (η, θ) du syst`eme
−η00+η=f(v) sur (a, b),
−θ00+θ=f(u) sur (a, b), η(a) =θ(a) =η(b) =θ(b) = 0.
Montrer queT est une application bien definie.
3. En consid´erantL2(a, b)2avec la normekukL2(a,b)+kvkL2(a,b), montrer queT est une contraction.
4. Conclure que le syst`eme (0.1),(0.2),(0.3) poss`ede une unique solution classique.
Exercice 3.On consid`ere le probl`eme suivant : trouverud´efinie sur [0,1] de
(P)
d4u
dx4 +u=f dans (0,1) u00(0) =α0, u00(1) =α1
u000(0) =β0, u000(1) =β1, o`u f ∈L2(0,1).
1
1. D´efinir une solution faibleude (P).
2. On pose
a(u, v) :=
Z 1 0
(u00(t)v00(t) +u(t)v(t))dt et
L(v) :=
Z 1 0
f(t)v(t)dt+α1v0(1)−α0v0(0) +β0v(0)−β1v(1).
Montrer quea est une forme bilin´eaire continue sur l’espace de HilbertH2(0,1) et que Lest une forme lin´eaire continue surH2(0,1).
3. Montrer qu’il existe une constanteC >0 telle que∀v∈H2(0,1), Z 1
0
v02(t)dt≤CZ 1 0
v002(t) +v2(t) dt
.
En d´eduire l’ellipticit´e deaet l’existence d’une solution faible.
4. Montrer queu∈H4(0,1) et queu∈ C4([0,1]) si f ∈ C0([0,1]).
Exercice 4. (Probl`eme de Perturbation Singuli`ere) Soient f ∈ L2(I) et ε > 0. On consid`ere uε∈H01(I) la solution faible de
−εu00ε+uε=f.
1. Montrer quekuεkL2(I)≤ kfkL2(I)et εku0εk2L2(I)≤ kfk2L2(I). 2. En d´eduire queuε* f dansL2(I), lorsqueε→0.
3. Conclure queuε→f dansL2(I), lorsqueε→0 (D´evelopperkuε−fk2L2(I)).
4. SiI born´e,f ∈Lp(I), 2≤p <∞, montrer queuε→f dansLp(I), lorsqueε→0.
5. Dans les cas f ≡1 et I = (0,1), calculer explicitement les fonctions uε. Que peut-on dire de la convergence ponctuelle de uε? Que peut-on dire de la convergence deuεdansH01(I) ?
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