L.S.Marsa Elriadh
Liste 11
M : Zribi4 ème Maths Exercices
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Exercice 1:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j . On considère les points A, B et C d'affixes respectives a=1, b= 3 i et c 1 i 3
2 2
. 1) a) écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres a, b et c.
b) représenter les points A, B et C dans le repère ( , , )O i j . 2) on pose d=b+c et on désigne par D le point d'affixe d.
a) montrer que OBCD est un carré.
b) déduire la forme trigonométrique de d.
3) soit l'application f de P dans P qui à tout point M(z) associe le point M'(z') tel que z'=2z-z².
a) déterminer les points invariants par f.
dans la suite on suppose que M est un point du cercle de centre O et de rayon1.
b) montrer que AM=MM'.
c) montrer que z' 1 z
est réel.
d) en déduire que les points A et M' sont symétrique par rapport à la tangente au cercle en M.
e) déduire une construction du point B' image de B par f.
Exercice 2:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j . on considère les points A(i) et B(2i).
Soit l'application f de P\{A} dans P\{A} qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que z'=iz 2
z i
. 1) Montrer que ( i,OM ' ) ( AM ,BM ) [ 2 ]
2
2) déterminer et construire les ensembles suivants:
E1={M(z); z' réel}; E2={M(z); z' est imaginaire pur}.
3) a) montrer que pour tout zi; (z'-i)(z-i)=1.
a) montrer que si M appartient au cercle de centre A et de rayon r, alors M' appartient au cercle ' dont on déterminera le centre et le rayon. Déterminer r pour que B '.
Exercice 3:
le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j ; on considère le point A(i).
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soit l'application f de P\{A} dans P\{A}, qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que z' 2 i
z i
. 1) déterminer les points invariants par f.
2) soit M le point d'affixe zi.
a) montrer que |z'-i|.|z-i|=2; en déduire l'image par f du cercle de centre A et de rayon 1.
b) Déterminer une mesure de l'angle ( AM , AM ' ).
c) M étant un point de , donner une construction du point M'.
Exercice 4:
le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j . on considère le point A d'affixe z=i-ie i ; ou ]0, [.
1) déterminer l'ensemble des point A lorsque décrit ]0, [.
2) Soient B et C les points d'affixes z1 z et z2 z²
z . a) écrire z1 et z2 sous forme exponentielle.
b) Vérifier que A et B sont distincts.
c) Montrer que AC=AB.
d) Déterminer en fonction de une mesure de l'angle ( AB,AC ). e) Déterminer pour que le triangle ABC soit équilatéral.
Exercice 5:
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j ; soit l'application :
f : P P
1 1
M ( z ) M '( z') / z' ( i )z ( 1 i ) 2 2
1) montrer que f est bijective et déterminer les points invariants par f.
2) Soit [ ,2 ] et z=e i . b) montrer que
i( )
4 2
z' 2 2 cos e 2
.
c) Ecrire suivant les valeurs de , z' sous la forme trigonométrique.
3) soit A(2i).
a) montrer que pour tout M A on a:
AM ' 1 AM et ( AM , AM ' ) [ 2 ] 2 4
.
b) Montrer que z' 2i z' z
est imaginaire pur; en déduire la nature du triangle AMM'.
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c) Le point M étant donné, donner une construction géométrique du point M'=f(M).
