Classe de seconde 3 30 avril 2010
Devoir de Math´ ematiques N
o11 (55 minutes)
Exercice 1 (7 points)
On donne f(x) = −x3+ 2x2 + 4x−4, et C sa courbe repr´esentative (voir repr´esentation ci-jointe).
Soitk la fonction d´efinie park(x) =−x+ 2.
1. Determiner la nature deket repr´esenter le grapheDdeksur le graphique ci-joint.
2. Montrer que pour toutx∈R,
f(x)−k(x) = (x−3)(x+ 2)(1−x) 3. Etudier la position relative deC et D.
4. D´eterminer les coordonn´ees des points d’intersection deC etD.
−2 −1 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5 6 7
Cf
Exercice 2 (5 points)
Soitf d´efinie parf(x) = 1
3 + 2(4−2x)2 surR.
1. D´eterminer les variations def sur [2; +∞[ en compl´etant le tableau d’enchainement des op´erations suivants et en justifiant correctement.
2 ≤ a ≤ b Justification
4−2a 4−2b
(4−2a)2 (4−2b)2
3 + 2(4−2a)2 3 + 2(4−2b)2
f(a) f(b)
2. De mˆeme sur ]−∞; 2] :
a ≤ b ≤ 2 Justification
4−2a 4−2b
(4−2a)2 (4−2b)2
3 + 2(4−2a)2 3 + 2(4−2b)2
f(a) f(b)
3. (a) Dresser le tableau de variation def.
(b) En d´eduire le maximum def surR. En quel point est-il atteint ? 4. Comparer sans calculatrice les nombresA= 1
3 + 2(4−2×2,127)2 etB= 1
3 + 2(4−2×2,138)2.
Exercice 3 (7 points)
On consid`ere le graphique suivant : on a un segment [AB] de longueur 6 etM un point du segment [AB]. On notex=AM. SoitCle demi-cercle de diam`etre [AB],C1le demi-cercle de diam`etre [AM],C2le demi-cercle de diam`etre [M B].
On noteBla surface form´ee par le demi-cercleCetA(x) la surface form´ee par les demi-cerclesC1 etC2.
1. (a) Quelle est l’aire d’un disque de diam`etre d ? (b) D´eterminerB.
2. Montrer queA(x) = π
4(x2−6x+ 18)
3. D´eterminer les valeurs dexpour lesquellesA(x) =1 2B.
4. Le but de cette question est de r´esoudre l’´equation (E) :A(x) =2 3B. (a) Montrer quex2−6x+ 6 = (x−3)2−3.
(b) Montrer que (E)⇐⇒x2−6x+ 6 = 0.
(c) R´esoudre (E).
6 x
A M B
C
C1
C2
Exercice 4 (1 point)
Placer sur le cercle trigonom´etrique suivant les pointsMi, associ´es aux r´eelsxi.
x1= −3π
4 + 2kπ,k∈Z x2= 3π
2 + 2kπ,k∈Z x3= π
3 + 2kπ,k∈Z x4= 93π
4 + 2kπ,k∈Z (vous justifierez par un calcul)
I J
O
