Classe de TS5 (sp´ecialit´e) 4 mai 2010
Devoir de Math´ ematiques N
o13 (2 heures)
Exercice 1 :
La dur´ee d’attente exprim´ee en minutes `a chaque caisse d’un supermarch´e peut ˆetre mod´elis´ee par une variable al´eatoireT qui suit une loi exponentielle de param`etre strictement positif λ.
1. (a) D´eterminer une expression exacte deλsachant quep(T 610) = 0,7.
On prendra, pour la suite de l’exercice, la valeur 0,12 comme valeur approch´ee deλ.
(b) Donner une expression exacte de la probabilit´e conditionnelle P(T >10)(T >15).
(c) Sachant qu’un client a d´ej`a attendu 10 minutes `a une caisse, d´eterminer la probabilit´e que son attente totale ne d´epasse pas 15 minutes.
On donnera une expression exacte, puis une valeur approch´ee `a 0,01 pr`es de la r´eponse.
2. On suppose que la dur´ee d’attente `a une caisse de ce supermarch´e est ind´ependante de celle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On d´esigne par Y la variable al´eatoire qui repr´esente le nombre de caisses pour lesquelles la dur´ee d’attente est sup´erieure `a 10 minutes.
(a) Donner la nature et les param`etres caract´eristiques deY.
(b) Le g´erant du supermarch´e ouvre des caisses suppl´ementaires si la dur´ee d’attente `a au moins 4 des 6 caisses est sup´erieure `a 10 minutes.
D´eterminer `a 0,01 pr`es la probabilit´e d’ouverture de nouvelles caisses.
Exercice 2 :
On lance un d´e t´etra´edrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cach´ee.
Pourk∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4), on notepila probabilit´e d’obtenr le nombreksur la face cach´ee.
Le d´e est d´es´equilibr´e de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre forment une progression arithm´etique.
1. Sachant que p4= 0,4, montrer que
p1= 0,1, p2= 0,2, p3= 0,3
2. On lance le d´e trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux `a deux ind´ependants.
(a) Quelle est la probabilit´e d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?
(b) Quelle est la probabilit´e d’obtenir trois nombres distincts rang´es dans l’ordre croissant ?
3. On lance 10 fois de suite le d´e. On suppose les lancers deux `a deux ind´ependants. On noteX la variable al´eatoire qui d´ecompte le nombre de fois o`u le chiffre 4 est obtenu.
(a) Pour 16i610, exprimer en fonction de ila probabilit´e de l’´ev`enement (X=i).
(b) Calculer l’esp´erance math´ematique deX. Interpr´eter le r´esultat obtenu.
(c) Calculer la probabilit´e de l’´ev`enement (X >1). On donnera une valeur arrondie au milli`eme.
4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le d´e, les lancers ´etant encore suppos´es ind´ependants deux `a deux.
On note Un la probabilit´e d’obtenir pour la premi`ere fois le nombre 4 aun-i`eme lancer.
Montrer que (Un) est une suite g´eom´etrique et qu’elle est convergente.
Exercice 3 :
Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal direct (O;−→u ,−→v) . On d´esigne par A et C les points d’affixes respectives 1 et 2i.
Sur le dessin joint en annexe (`a rendre avec la copie), le quadrilat`ere OABC est un rectangle et I d´esigne le milieu de [AB].
1. (a) Justifier le fait qu’il existe une unique similitude directesqui transforme O en I et A en C.
(b) D´eterminer l’´ecriture complexe des. En d´eduire les ´el´ements caract´eristiques deset, en particulier,
´etablir que l’affixe du centre Ω desvaut 1 + 3i 5 .
(c) V´erifier par un calcul que Ω est situ´e sur le cercle Γ de centre A passant par O.
2. Soitf l’application du plan complexe d’´ecriture complexe
z7−→ −3−4i
5 z+8 + 4i 5 .
(a) D´eterminer les images parf des points A et C. En d´eduire la nature pr´ecise def, puis d´emontrer que I est l’image de Ω par la sym´etrie orthogonale d’axe (AC).
(b) Construire le cercle Γ sur le dessin et placer ´egalement le point Ω en utilisant les informations g´eom´etriques pr´ec´edentes.
3. `A tout pointM d’imageM′ pars, on associe le pointM′′ d´efini par l’´egalit´e vectorielle−−−−→
M′M′′ =−−→
ΩM. (a) Quel est le point Ω′′associ´e `a Ω ?
(b) Construire avec soin le point A′′ en laissant les traits de construction.
(c) On suppose maintenant queM a pour affixez.
D´emontrer queM′′ a pour affixez′′= iz+4 + 2i 5 .
En d´eduire queM′′est l’image deM par une similitude dont on donnera les ´el´ements caract´eristiques.
(d) D´eterminer et repr´esenter sur le dessin l’ensemble Γ′′des pointsM′′ lorsqueM d´ecrit le cercle Γ.
O −→u
−
→v
A I C B
