BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC
SESSION 2020 – 2021
MATHÉMATIQUES
ÉPREUVE DU Mercredi 07 Avril 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures
E NSEIGNEMENT DE S PECIALITE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, en mode examen, conformément à la règlementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 6 pages
numérotées (rendre le sujet).
EXERCICE 1 5 pts
Les deux parties A et B sont indépendantes.
Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production 𝐴 et 𝐵.
L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 𝑐𝑚 et 1,1 𝑐𝑚.
PARTIE A
Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :
• 96 % de la production journalière est vendable.
• La machine 𝐴 fournit 60 % de la production journalière.
• La proportion de billes vendables parmi la production de la machine 𝐴 est 98 %.
On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les évènements suivants : 𝑨 : « la bille a été fabriquée par la machine 𝐴 » ;
𝑩 : « la bille a été fabriquée par la machine 𝐵 » ; 𝑽 : « la bille est vendable ».
1) Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine 𝐴.
2) Justifier que 𝑝(𝐵 ∩ 𝑉) = 0,372 et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine 𝐵.
3) Un technicien affirme que 70 % des billes non vendables proviennent de la machine 𝐵. A-t-il raison ?
PARTIE B
Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets.
La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière.
Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire.
1) Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.
a) Soit 𝑋 la variable aléatoire qui compte le nombre de billes noires dans un sachet.
Montrer que 𝑋 suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement 10 billes noires. On arrondira le résultat à 10−3 près.
c) Calculer 𝑝(10 ≤ 𝑋 ≤ 15).
2) Si l’entreprise souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99 %, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘⃗⃗).
On considère les points 𝐴(10 ; 0 ; 1), 𝐵(1 ; 7 ; 1) et 𝐶(0 ; 0 ; 5).
1) a) Démontrer que les droites (𝑂𝐴) et (𝑂𝐵) ne sont pas perpendiculaires.
b) Déterminer la mesure, en degré, de l’angle 𝐴𝑂𝐵̂, arrondie au dixième de degré près.
2) Vérifier que 7𝑥 + 9𝑦 − 70𝑧 = 0 est une équation cartésienne du plan (𝑂𝐴𝐵).
3) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (𝐶𝐴).
4) Soit 𝐷 le milieu du segment [𝑂𝐶]. Déterminer une équation du plan (𝑃) parallèle au plan (𝑂𝐴𝐵) passant par 𝐷.
5) Le plan (𝑃) coupe la droite (𝐶𝐵) en 𝐸 et la droite (𝐶𝐴) en 𝐹.
Déterminer les coordonnées du point 𝐹.
On admet que le point E a pour coordonnées (1 2 ;7
2 ; 3) 6) Démontrer que la droite (𝐸𝐹) est parallèle à la droite (𝐴𝐵).
EXERCICE 3 5 pts
Les deux parties A et B sont indépendantes.
On considère la fonction 𝑓 définie sur [0 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = ln (3𝑥 + 1
𝑥 + 1).
On admet que la fonction 𝑓 est définie sur [0 ; +∞[ et on note 𝑓′ sa fonction dérivée.
On noteC f la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère orthogonal.
PARTIE A
1) Déterminer 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞𝑓(𝑥) et en donner une interprétation graphique.
2)
a) Démontrer que, pour tout nombre réel 𝑥 positif ou nul, 𝑓′(𝑥) = 2
(𝑥 + 1)(3𝑥 + 1).
b) En déduire que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
PARTIE B
Soit (𝑢𝑛) la suite définie par :
𝑢0 = 3 et, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛).
1) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, 1
2≤ 𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛.
2) Démontrer que la suite (𝑢𝑛) converge vers une limite strictement positive.
L’objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de 𝑙.
On introduit pour cela la fonction 𝑔 définie sur [0 ; +∞[ par 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑥.
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction 𝑔 sur [0 ; +∞[ où 𝑥0 =−2 + √7
3 ≈ 0,215 et 𝑔(𝑥0) ≈ 0,088, en arrondissant à 10−3 près.
1) Démontrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution strictement positive.
On la note 𝛼.
2) En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite 𝑙 de la suite (𝑢𝑛).
EXERCICE 4 5 pts
PARTIE A Étude d’une fonction auxiliaire
Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ par :
𝑔(𝑥) = (𝑥 + 2)𝑒𝑥−4− 2.
1) Déterminer la limite de 𝑔 en +∞.
2) Démontrer que la limite de 𝑔 en −∞ vaut −2.
3) On admet que la fonction 𝑔 est dérivable sur ℝ et on note 𝑔′ sa dérivée.
Calculer 𝑔′(𝑥) pour tout réel 𝑥 puis dresser le tableau de variations de 𝑔.
4) Démontrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 sur ℝ.
5) En déduire le signe de la fonction 𝑔 sur ℝ.
6) A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude 10−3 de 𝛼.
PARTIE B Étude de la fonction 𝒇
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = 𝑥2− 𝑥2𝑒𝑥−4.
1) Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0 sur ℝ.
2) On admet que la fonction 𝑓 est dérivable sur ℝ et on note 𝑓′ sa fonction dérivée.
On admet par ailleurs que, pour tout réel 𝑥, 𝑓′(𝑥) = −𝑥𝑔(𝑥) où la fonction 𝑔 est celle définie à la partie 𝐀.
Étudier les variations de la fonction 𝑓 sur ℝ.
3) Démontrer que le maximum de la fonction 𝑓 sur [0 ; +∞[ est égal à : 𝛼3
𝛼 + 2.
