BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC
SESSION 2020 – 2021
MATHÉMATIQUES
ÉPREUVE DU Lundi 07 Décembre 2020
Durée de l’épreuve : 4 heures
E NSEIGNEMENT DE S PÉCIALITÉ
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, en mode examen, conformément à la règlementation en vigueur. METTRE SA CALCULATRICE EN MODE EXAMEN.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pages numérotées
(ne pas rendre le sujet).
EXERCICE 1 5 pts
Les deux parties sont indépendantes.
PARTIE A
Une urne contient six boules numérotées de 1 à 6.
1) On tire successivement six boules de l’urne, sans remise.
a) Combien y a-t-il de tirages au total ?
b) Combien y a-t-il de tirages tels que la troisième boule tirée porte le numéro 2 ?
2) Une boîte comporte six compartiments, numérotés de 1 à 6. On place les six boules, au hasard, une par compartiment. On dit qu’une boule est dans son compartiment si elle est placée dans celui qui porte le même numéro qu’elle.
Quelle est alors la probabilité pour que quatre boules exactement soient chacune dans son compartiment ?
On donnera le résultat sous forme de fractions irréductibles.
3) Soit k un entier naturel non nul. On effectue k tirages successifs d’une boule avec remise. Les tirages sont supposés équiprobables.
a) Prouver que la probabilité pk de tirer au moins une fois la boule qui porte le numéro 6 est :
pk=1−
(
56)
k.b) Déterminer, en justifiant, le plus petit réel k tel que pk>0,9 .
PARTIE B
Soit f la fonction définie sur ¿3;+∞ [ par :
f(x)=x2−4x+2 x−3 .
On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Soit d la droite représentative de la fonction g telle que, pour tout x∈R , g(x)=x−1 .
1) Montrer que d est une asymptote oblique à C f en +∞ .
Soit f la fonction définie sur par ℝ f(x)=ex et g la fonction définie sur R¿ par g(x)=¿
ex2 x .
PARTIE A
1) Justifier chaque donnée du tableau de variation de la fonction ci-dessous.
2) On veut montrer que pour tout réel x , ex2≥ x2+1.
Soit h la fonction définie sur par ℝ h(x)=ex2−x2−1.
a) Démontrer que pour tout réel x , h'(x)=2x
(
ex2−1)
. b) Étudier le signe de h '(x) sur .ℝc) Vérifier que h(0)=0 puis conclure quant à la question posée.
PARTIE B
1) Calculer les limites de g en 0 à gauche et à droite.
2) Utilise le résultat démontré dans la partie A pour calculer la limite de g en +∞ . 3) a) Montrer que pour tout réel x<0 , g(x)≤ x+¿ 1
x.
b) En déduire la limite de g en −∞ .
4) a) Montrer que pour tout réel x non nul, g '(x) a le même signe que 2x2−1 . b) Dresser le tableau de variation de g .
f
EXERCICE 3 5 pts
Stream est une plateforme informatique qui propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B. Dès que le joueur achève une partie, Stream lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :
• s’il vient de terminer une partie de type A, elle lui propose une nouvelle partie de type A avec une probabilité de 0,8 ;
• s’il vient de terminer une partie de type B, elle lui propose une nouvelle partie de type B avec une probabilité de 0,7.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note An et Bn les évènements « la n-ième partie est de type A » et « la n-ième partie est de type B ».
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on appelle an la probabilité de l’évènement An et bn la probabilité de l’évènement Bn .
1)
a) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
b) Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, an+1=0,5an+0,3 .
On note a la probabilité que le joueur choisisse une partie de type A lors de la première partie, où a est un réel appartenant à l’intervalle [0;1] . La suite
(
an)
est donc définie par a1=a et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : an+1=0,5an+0,3.2) Montrer que la suite (un) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par un=an−0,6 est géométrique.
3) En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : an=(a−0,6)×0,5n−1+0,6 . 4) Déterminer la limite de la suite (an) . Cette limite dépend-elle de la valeur de a ?
On considère la suite (un) définie pour tout entier n ≥0 par :
{
un+1=3−u0=5u10n+4PARTIE A
1) Déterminer la valeur exacte de u1 et de u2 .
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , un≥1 . 3) Démontrer que, pour tout entier naturel n ,
un+1−un=
(
1−un)(
un+2)
un+4 .
4) En déduire le sens de variation de la suite (un) . 5) Justifier que la suite (un) converge.
PARTIE B
On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par
vn=un−1 un+2.
1)
a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0 .
b) Exprimer vn en fonction de n .
En déduire que pour tout entier naturel n , vn≠1 . 2) Démontrer que pour tout entier naturel n ,
un=2vn+1 1−vn .
3) En déduire la limite de la suite (un) .
