BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC
SESSION 2018
MATHÉMATIQUES
Série S
ÉPREUVE DU Mardi 17 Avril 2018
Durée de l’épreuve : 4 heures (minimum 3 heures)
E NSEIGNEMENT O BLIGATOIRE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la règlementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 6 pages
numérotées (ne pas rendre le sujet).
EXERCICE 1 4 pts
On considère un cube ABCDEFGH . 1) a) Simplifier le vecteur ⃗AC+⃗AE .
b) En déduire que ⃗AG .⃗BD=0 . c) On admet que ⃗AG .⃗BE=0 .
Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE) . 2) L’espace est muni du repère orthonormé (A ;⃗AB ,⃗AD ,⃗AE) .
a) Démontrer qu’une équation cartésienne du plan (BDE) est x+y+z−1=0 .
b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection K de la droite (AG) et du plan (BDE) .
c) On admet que l’aire, en unité d’aire, du triangle BDE est égale à
√
32 . Calculer le volume de la pyramide BDEG .
EXERCICE 2 5 pts
Un biologiste souhaite étudier l’évolution de la population d’une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à 12 000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.
Partie A – un premier modèle.
Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an. L’évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite (vn) où vn représente le nombre d’individus, exprimé en milliers, en 2016 + n . On a donc v0=12 .
1) Déterminer la nature de la suite (vn) et donner l’expression de vn en fonction de n . 2) Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Le biologiste modélise ensuite l’évolution annuelle de la population par une suite (un) définie par u0=12et , pour tout n∈N¿, un+1=−1,1
605 un2+1,1un.
1) On considère la fonction g définie sur ℝ par : g(x)=−1,1
605 x2+1,1x .
a) Justifier que g est croissante sur [0;60] . b) Résoudre dans ℝ l’équation g(x)=x . 2) On remarquera que un+1=g(un) .
a) Calculer la valeur arrondie à 10−3 de u1 . Interpréter.
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 0≤un≤55 . c) Démontrer que la suite (un) est croissante.
d) En déduire la convergence de la suite (un) .
e) On admet que la limite l de la suite (un) vérifie g(l)=l . En déduire sa valeur et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.
3) Le biologiste souhaite déterminer le nombre d’années au bout duquel la population dépassera les 50 000 individus avec ce second modèle.
Il utilise l’algorithme suivant : n est un entier naturel et u un nombre réel.
Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il affiche en sortie le plus petit entier r tel que ur≥50 .
n⟵0 u ←12
Tant que … … … … u ←… … …… … … …
n ← … … … … Fin tant que
EXERCICE 3 6 pts
Les deux parties sont indépendantes.
Partie A
Soient les deux nombres complexes : z1=1−i et z2=−8−8i
√
3On pose :
1) Donner la forme algébrique de Z .
2) Écrire z1 et z2 sous forme exponentielle.
3) Écrire Z sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique (dans cet ordre).
4) En déduire que cos
(
512π)
=√
6−4√
2 . 5) On admet que :•sin
(
512π)
=√
6+4√
2 • pour tous réels a et b , cosacosb−sinasinb=cos(a+b)Résoudre l’équation suivante dans l’ensemble des réels ℝ :
(
√
6−√
2)cosx−(√
6+√
2)sinx=−2√
3.Partie B
Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O;u ,⃗ ⃗v) . Proposition 1
L’ensemble des points du plan d’affixe z tels que |z−4|=|z+2i| est une droite qui passe par le point A d’affixe 3i .
Proposition 2
Soit (E) l’équation (z−1)
(
z2−8z+25)
=0 où z appartient à l’ensemble C des nombres complexes. Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans C de l’équation (E) sont les sommets d’un triangle rectangle.Proposition 3
Z=z1 z2
.
3
EXERCICE 4 5 pts
Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière. Voici ce schéma :
Partie A – Modélisation
Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représentant la fonction f définie sur l’intervalle [1;8] par :
f(x)=(ax+b)e−xoù a et b sont deux entiers naturels .
La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.
1) On souhaite que la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1 soit horizontale.
Déterminer la valeur de l’entier b .
Déterminer la valeur de l’entier a . Partie B – Un aménagement pour les visiteurs
On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel x∈[1;8] par
f(x)=10x e−x .
Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.
1) Soit g la fonction définie sur [1;8] par :
g(x)=10(−x−1)e−x. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g .
2) Quel est le montant du devis de l’artiste ? Partie C – Une contrainte à vérifier
Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan. On considère un point M de la courbe C , d’abscisse différente de 1. On appelle α l’angle aigu formé par la tangente en M à C et l’axe des abscisses.
La figure suivante illustre la situation :
Les contraintes imposent que l’angle α soit inférieur à 55 degrés.
1) On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1;8] . On admet que, pour tout x de l’intervalle [1;8] , f'(x)=10(1−x)e−x .
Étudier les variations de la fonction f ' sur l’intervalle [1;8] .
2) Soit x un réel de l’intervalle ¿1;8¿ et soit M le point d’abscisse x de la courbe C . Justifier que tanα=
