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BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC
SESSION 2015 – 2016
MATHÉMATIQUES
Série S
ÉPREUVE DU Mardi 15 Décembre 2015
Durée de l’épreuve : 4 heures
E NSEIGNEMENT O BLIGATOIRE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la règlementation en vigueur.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées.
2 ]0 ;𝜋
2[.
EXERCICE 1 -ROC- 2 pts
Démontrer l’inégalité de Bernoulli :
pour 𝑛 ∈ ℕ, la propriété 𝐵(𝑛) suivante pour tout nombre réel 𝑥 > 0, on a (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥.
EXERCICE 2 -QCM- 5 pts
Pour les quatre premières questions, on désigne parC fi, la courbe représentative de la fonction fi. Aucune justification n’est attendue.
1) La fonction 𝑓1 est définie sur ℝ\{0} par
𝑓1(𝑥) =sin 𝑥 𝑥 . Quelle est l’affirmation qui est vraie ?
a) 𝑓1 n’a pas de limite en +∞.
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0𝑓1(𝑥) = +∞.
c) 𝑓1 est impaire.
d) 𝑓1 est monotone sur
2) La fonction 𝑓2 est définie sur ℝ\{–1 ; 1} par
𝑓2(𝑥) =−3𝑥2+ 2𝑥 + 1 𝑥2− 1 . Quelle est ou quelles sont les affirmations qui sont vraies ?
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1𝑓2(𝑥) = +∞.
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞𝑓2(𝑥) = +∞
c) La droite d’équation 𝑦 = −3 est asymptote à C f 2 en +∞.
3) La fonction 𝑓3 est définie sur ℝ par
𝑓3(𝑥) = 𝑥 + √𝑥2 + 16.
Quelle est ou quelles sont les affirmations qui sont vraies ? a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞𝑓3(𝑥) = 0.
b) Pour tout réel 𝑥,
𝑓′3(𝑥) = 1 + 2𝑥
√𝑥2+ 16.
c) La tangente à C f 3, au point d’abscisse 0 a pour équation 𝑦 = 𝑥 + 4.
3
4) Quelle est ou quelles sont les affirmations qui sont vraies ? a) L’équation 𝑥3− 3𝑥 + 1 = 0 a trois solutions dans ℝ.
b) L’équation √𝑥4+ 1 − 2 = 0 a quatre solutions dans ℝ.
c) Pour tout réel 𝑚, l’équation 2𝑥 + sin 𝑥 = 𝑚 a une solution dans ℝ.
5) Pour les deux questions suivantes, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de sa question et la lettre correspondant à l’affirmation exacte. Aucune justification n’est demandée.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les points 𝐴(1 ; −1 ; −1), 𝐵(1 ; 1 ; 1), 𝐶(0 ; 3 ; 1) et le plan P d’équation {
𝑥 = 𝑡′ 𝑦 = 𝑡′′
𝑧 = 2𝑡′+ 𝑡′′+ 5
avec (𝑡′; 𝑡′′) ∈ ℝ2.
• QUESTION 1
Soit D 1 la droite de vecteur directeur 𝑢⃗ (2 ; −1 ; 1) passant par 𝐴.
Une représentation paramétrique de la droite D 1 est :
• QUESTION 2
Soit D 2 la droite de représentation paramétrique {
𝑥 = 1 + 𝑡 𝑦 = −3 − 𝑡
𝑧 = 2 − 2𝑡
(𝑡 ∈ ℝ).
a) La droite D 2 et le plan P ne sont pas sécants.
b) La droite D 2 est incluse dans le plan P.
c) La droite D 2 et le plan P se coupent au point d) La droite D 2 et le plan P se coupent au point
𝐸 (1 3 ; −7
3 ;10 3).
𝐹 (4 3; −1
3;22 3).
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EXERCICE 3 5 pts
On considère un cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 donné en annexe page 7 (à rendre avec la copie).
On note 𝑀 le milieu du segment [𝐸𝐻], 𝑁 celui de [𝐹𝐶] et 𝑃 le point tel que
𝐻𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 4 𝐻𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
PARTIE A : Section du cube par le plan (𝑴𝑵𝑷).
1) Justifier que les droites (𝑀𝑃) et (𝐹𝐺) sont sécantes en un point 𝐿.
Construire le point 𝐿.
2) On admet que les droites (𝐿𝑁) et (𝐶𝐺) sont sécantes et on note 𝑇 leur point d’intersection.
On admet que les droites (𝐿𝑁) et (𝐵𝐹) sont sécantes et on note 𝑄 leur point d’intersection.
a) Construire les points 𝑇 et 𝑄 en laissant apparents les traits de construction.
b) Construire l’intersection des plans (𝑀𝑁𝑃) et (𝐴𝐵𝐹).
3) En déduire une construction de la section du cube par le plan (𝑀𝑁𝑃).
PARTIE B :
L’espace est rapporté au repère (𝐴 ; 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
1) Donner les coordonnées des points 𝑀, 𝑁 et 𝑃 dans ce repère.
2) Déterminer les coordonnées du point 𝐿.
3) On admet que le point 𝑇 a pour coordonnées
(1 ; 1 ;5 8).
Le triangle 𝑇𝑃𝑁 est-il rectangle en 𝑇 ?
EXERCICE 4 5 pts
Un volume constant de 2 200 𝑚3 d’eau est réparti entre deux bassins 𝐴 et 𝐵.
Le bassin 𝐴 refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique, on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
• au départ, le bassin 𝐴 contient 800 𝑚3 d’eau et le bassin 𝐵 contient 1 400 𝑚3 d’eau ;
• tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin 𝐵 au début de la journée est transféré vers le bassin 𝐴 ;
• tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin 𝐴 au début de la journée est transféré vers le bassin 𝐵.
5 Pour tout entier naturel 𝑛, on note :
• 𝑎𝑛 le volume d’eau, exprimé en 𝑚3, contenu dans le bassin 𝐴 à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;
• 𝑏𝑛 le volume d’eau, exprimé en 𝑚3, contenu dans le bassin 𝐵 à la fin du n-ième jour de fonctionnement.
On a donc 𝑎0 = 800 et 𝑏0 = 1 400.
1) Par quelle relation entre 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ? 2) Justifier que, pour tout entier naturel 𝑛,
𝑎𝑛+1 = 3
4 𝑎𝑛+ 330.
3) L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de 𝑛 à partir de laquelle 𝑎𝑛 est supérieur ou égal à 1 100.
Recopier et compléter cet algorithme en complétant les parties manquantes :
4) Pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑢𝑛 = 𝑎𝑛− 1 320.
a) Montrer que la suite (𝑢𝑛) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b) Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛,
𝑎𝑛 = 1 320 − 520 × (3 4)
𝑛
.
c) On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, à 2 𝑚3 près, le même volume d’eau.
Utiliser la calculatrice pour répondre à ce questionnement.
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EXERCICE 5 3 pts
C
est le cercle trigonométrique de centre 𝑂 et d’origine 𝐴 ; 𝐵 est le point du cercleC
associé à l’angle 𝑥 où 𝑥 ∈ ; 𝐻 est le pied de la hauteur issue de 𝐵 du triangle 𝐵𝑂𝐴.But de l’exercice : donner une valeur approchée du nombre 𝑥 pour lequel la longueur du chemin 𝐻 − 𝑂 − 𝐵 (segment [BO] et segment [OH]) et celle du chemin 𝐻 − 𝐴 − 𝐵 (arc 𝐴𝐵⏜ et segment [AH])) sont égales.
N.B : On admettra que la longueur de l’arc 𝐴𝐵⏜ est égal à 𝑥.
1) a) Exprimer la longueur 𝑙1 du chemin 𝐻 − 𝑂 − 𝐵 en fonction de 𝑥.
b) Exprimer la longueur 𝑙2 du chemin 𝐻 − 𝐴 − 𝐵 en fonction de 𝑥.
2) On considère la fonction 𝑓 définie sur par :
𝑓(𝑥) = 2 cos 𝑥 − 𝑥.
a) Etudier les variations de 𝑓.
b) Démontrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans l’intervalle c) A l’aide de votre calculatrice, donner une valeur approchée de 𝛼 à 10−2 près.
3) Conclure.
Nous vous souhaitons de Joyeuses fêtes de fin d’année…
Reposez-vous bien et bonnes vacances.
[0 ;𝜋 2]
[0 ;𝜋 2]
[0 ;𝜋 2]
7
FEUILLE ANNEXE
N
OM: P
RENOM: C
LASSE: TS
EXERCICE 3
