BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC

BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC

SESSION 2018 – 2019

MATHÉMATIQUES

Série S

ÉPREUVE DU Mardi 18 Décembre 2018

Durée de l’épreuve : 4 heures (minimum 3 heures)

E NSEIGNEMENT DE S ^PÉCIALITÉ

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, en mode examen, conformément à la règlementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pages

numérotées (ne pas rendre le sujet).

EXERCICE 1 : 6 pts

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé et on considère les droites D et ∆ qui admettent pour représentations paramétriques respectives :

{

^{xy=2−3=1+z=42t tt, t∈R et}

{

^{x=−5z=ty=2'+tt'4+3' , t'∈R}

On a aussi les points A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;2)et D(2;0;1) .

1) Affirmation 1 :

Les trois points A , B et C sont alignés.

2) Affirmation 2 :

Les quatre points A , B , C et D sont coplanaires.

3) Affirmation 3 :

La droite D passe par A .

4) Affirmation 4 :

La droite D a pour représentation paramétrique :

{

^{y=3,5z=−2−6x=−3+4,5kkk, k∈R .}

5) Affirmation 5 :

Les droites D et ∆ sont sécantes.

6) Affirmation 6 :

La droite D est parallèle au plan (ABC) .

EXERCICE 2 : 5 pts

Partie A

On considère l’équation (E):15x−26k=m où x et k désignent des nombres entiers relatifs et m est un paramètre entier non nul.

1) Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u ;v) tel que 15u−26v=1 . Trouver un tel couple en utilisant l’algorithme d’Euclide.

2) En déduire une solution particulière x (¿¿0;k₀)

¿

de l’équation (E) . 3) Montrer que (x ;k) est solution de l’équation (E) si et seulement si

15

(

^x−x0

)

⁻²⁶

(

^k−k0

)

⁼⁰ .

4) Montrer que les solutions de l’équation (E) sont exactement les couples (x ; k) d’entiers relatifs tels que :

{

k=15^x=26q^q+7+4^mmoù q∈Z . Partie B

On fait correspondre à chaque lettre de l’alphabet un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :

On définit un système de codage :

• à chaque lettre de l’alphabet, on associe l’entier x correspondant.

• on associe ensuite à x l’entier y qui est le reste de la division euclidienne de 15x+7 par 26 .

• on associe à y la lettre correspondante.

Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à _4d^'_où4 est transformé en 15 or 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P .

1) Coder le mot MATHS. (on pourra regrouper les informations sous la forme d’un tableau…) 2) Soit x le nombre associé à une lettre de l’alphabet à l’aide du tableau initial, et y le reste

de la division euclidienne de 15x+7 par 26 .

a) Montrer alors qu’il existe un entier relatif k tel que 15x−26k=y−7 .

c) En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.

3) Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B . Décoder le mot WHL .

4) Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.

EXERCICE 3 : 6 pts

Soit l’ensemble des réels.ℝ Partie A

Soit g la fonction définie et dérivable sur telle que, pour tout réel ℝ x , g(x)=−2x³+x²−1 . 1) a) Étudier les variations de la fonction g .

b) Déterminer les limites de la fonction g en −∞ et en +∞ .

2) Démontrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution sur , notée ℝ α et que α appartient à l’intervalle [−1;0] .

3) En déduire le signe de g(x) sur suivant les valeurs de ℝ x . Partie B

Soit f la fonction définie et dérivable sur telle que, pour tout réel ℝ x , f(x)=

(

1+x+x²+x³

)

e^−2x+1 . On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur .ℝ

1) Démontrer que _{x →−∞}^{lim f(x)=−∞} .

2) a) Démontrer que, pour tout x>1,1<x<x²<x³ .

b) En déduire que, pour x>1, 0<f(x)<4x³e^−2x+1 . c) On admet que, pour tout entier naturel n , lim

x →+∞xⁿe^−x=0.

Vérifier que pour tout réel x ,

4x³e^−2x+1=e

2(2x)³e^−2x, puismontrer que: lim

x→+∞4x³e^−2x+1=0.

d) On noteCf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ;i ,⃗ ⃗j) ^.

En utilisant la question précédente, déterminer la limite de f en +∞ et en donner une interprétation graphique.

3) Démontrer que, pour tout x de , ℝ f^'(x)=

(

−2x³+x²−1

)

e^−2x+1 . 4) A l’aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de f sur .ℝ

EXERCICE 4 : 3 pts

C

est le cercle trigonométrique de centre O et d’origine A ; B est le point du cercle

C

associé à l’angle x où x∈ ; H est le pied de la hauteur issue de B du triangle BOA .

But de l’exercice :

donner une valeur approchée du nombre x pour lequel la longueur du chemin H−O−B (segment [BO] et segment [OH]) et celle du chemin H−A−B (arc AB^⏜ et segment [AH]) sont égales.

N.B : On admettra que la longueur de l’arc AB^⏜ est égal à x .

1) a) Exprimer la longueur l₁ du chemin H−O−B en fonction de x .

[

^0;π2

]

b) Exprimer la longueur ^l2 du chemin H−A−B en fonction de x .

2) On considère la fonction f définie sur par : f(x)=2 cosx−x . a) Etudier les variations de f .

b) Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l’intervalle c) A l’aide de votre calculatrice, donner une valeur approchée de α à ₁₀⁻² près.

d) Conclure.

[

^0;π2

]

[

^0;π2

]