BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC

BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC

SESSION 2017 – 2018

MATHÉMATIQUES

Série S

ÉPREUVE DU Mardi 19 Décembre 2017

Durée de l’épreuve : 4 heures (minimum 3 heures)

E NSEIGNEMENT O ^BLIGATOIRE

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, en mode examen, conformément à la règlementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pages

Exercice 1 : 5 pts

On considère deux suites

(

^un

)

et

(

^vn

)

:

 La suite

(

^un

)

définie par ^u0=1 et pour tout entier naturel n : ^un+1=2u_n−n+3 .

 La suite

(

^vn

)

définie, pour tout entier naturel n , par v_n=2ⁿ .

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.

Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

Conjecturer les limites des suites

(

^un

)

et

(

^uvnn

)

Partie B : Etude de la suite ^un

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : u_n=3×2ⁿ+n−2

2. Déterminer la limite de la suite

(

^un

)

.

3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Etude de la suite

(

^uvnn

)

1. Démontrer que la suite

(

^uvnn

)

est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout n supérieur ou égal à 4, on a : O<¿ n 2^{n ≤}

1 n . Déterminer la limite de la suite

(

^uvnn

) ^.

Exercice 2 : 5 pts

On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-contre.

Les arêtes sont de longueur 1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé (D ;⃗DA ,⃗DC ,⃗DH) .

Partie A

1. Montrer que le vecteur ⃗DF est normal au plan (EBG) . 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG) .

3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG) . On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan

(AHC) a pour coordonnées

(

¹3;1 3;1

3

)

^.

Partie B

A tout réel x de l’intervalle [0;1] , on associe le point M du segment [DF] tel que

⃗DM=x⃗DF .

On s’intéresse à l’évolution de la mesure θ en radian de l’angle ^EMB lorsque le point M parcourt le segment [DF] . On a 0≤θ ≤ π .

1. Que vaut θ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ? 2. a. Justifier que les coordonnées du point M sont (x ; x ;x) .

b. Montrer que θ=¿

cos¿

3x²−4x+1

3x²−4x+2 . On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs ⃗ME et ⃗MB .

3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction f:x⟼ 3x²−4x+1 3x²−4x+2 .

Pour quelles positions du point M sur le segment [DF] : a. Le triangle MEB est-il rectangle en M ?

b. L’angle θ est-il maximal ?

Exercice 3 : 4 pts

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

On se place dans un repère orthonormé

(

O ;⃗i,⃗j ,⃗k

)

de l’espace et l’on considère la droite d dont une

représentation paramétrique est :

{

^{zx=1+t=3+y=22t, t∈R} ainsi que les droites D1 et D2 qui admettent pour représentations paramétriques respectives :

{

^{xy=2−3=1+z=42t tt,t∈R et}

{

^{x=−5zy=t=2'+tt'4+3' , t '∈R .}

Affirmation 1 :

On considère les points A , B et C avec A(−2;2;3) , B(0;1;2) et C(4;2;0) . On admet que les points A , B et C ne sont pas alignés.

La droite ^d est orthogonale au plan (ABC) .

Affirmation 2 :

On considère la droite ∆ passant par le point D(1;4;1) et de vecteur directeur ^⃗v(2;1;3). La droite d et la droite ∆ ne sont pas coplanaires.

Affirmation 3 :

Les droites D1 et D2 sont sécantes.

Affirmation 4 :

La droite D1 est parallèle au plan d’équation x+2y+z−3=0 .

Exercice 4 : 6 pts

Partie A

Soit la fonction définie sur ℝ par g(x)=−3x⁴+3x³+1 .

1. Déterminer les limites de la fonction g en −∞ et en +∞ . 2. Étudier les variations de la fonction g .

3.

a. Démontrer que l’équation g(x)=0 a exactement deux solutions dans ℝ.

b. Donner un encadrement d’amplitude 0,1 de chaque solution.

4. Déterminer le signe de g(x) selon les valeurs de x . Partie B

Soit f la fonction définie ℝ par 4x−3

1.

a. Démontrer que la courbe

C

admet une asymptote D parallèle à l’axe des abscisses.

b. Étudier la position de

C

par rapport à D.

2.

a. Démontrer que f^'(x)= 4g(x)

(

x⁴+1

)

²

b. Étudier les variations de la fonction f .

3. Soit h une fonction telle que pour tout réel x de l’intervalle , 2≤ h(x)≤ f(x) . Déterminer la limite de la fonction h en +∞ .

g étant la fonction définie dans la partie A.

3 ¿ 4;+∞¿

¿