TS MARINE 2016-2017 DEVOIRS DE MATHEMATIQUES SUJETS

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TS MARINE 2016-2017 DEVOIRS DE MATHEMATIQUES

SUJETS

DS1 27/09/2016 page 2 (étude de fonctions) DV 10/10/2016 page 7 (suites)

DS 08/11/2016 page 8 DV 17/11/2016 page 13 DV 02/12/2016 page 14 BB 11/01/2017 page 15 DV 30/01/2017 page 23 DS 14/02/2017 page 24 DV 20/03/2017 page 28 DS 04/04/2017page 29 DS 16/05/2017 page 33

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Rouge, Pervenche, Turquoise 27/09/2016 4 H UNE SEULE CALCU

LATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre que vous voulez

EXERCICE I : (4,5 points)

Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20% en un jour.

La société met en place le dispositif industriel suivant.

Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus.

L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.

On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite définie de la façon suivante :

= 1000 et, pour tout entier naturel , = 1,2 − 100 1. a. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.

On précisera en particulier ce que représente

1. b. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

1. c. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.

Recopier et compléter cet algorithme.

Variables : u et n sont des nombres u prend la valeur 1 000 n prend la valeur 0 Traitement : Tant que ... faire

u prend la valeur ...

n prend la valeur n +1 Fin Tant que

Sortie : Afficher ...

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , ≥ 1000 2. b. Démontrer que la suite est croissante.

3. On définit la suite par : pour tout entier naturel , = − 500

3. a. Démontrer que la suite est une suite géométrique. Préciser son 1^er terme.

3. b. Exprimer , puis en fonction de . 3. c. Déterminer la limite de la suite

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EXERCICE II : (6 points) Partie A : Lecture graphique

La courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur ] − ∞; 2 ∪ ]2 ; +∞ est donnée en annexe page 5/5.

Par lecture graphique, déterminer ′ 0 et ′ 3 . Partie B : Etude de la fonction

La fonction est définie sur ] − ∞; 2 ∪]2 ; +∞ par : = − 6 + 12

1° a) Calculer la dérivée. − 2

On montrera que ^! = ²₋₂⁻⁴₂ b) Etudier le signe de ^!

c) Déduire le sens de variation de la fonction

2° a) Déterminer les limites de la fonction aux bornes ouvertes de son ensemble de définition.

b) En déduire l’existence d’une asymptote que vous tracerez sur le graphique annexe 3° a) Dresser le tableau de variation de la fonction .

b) Déterminer un encadrement de pour ∈ 3 ; 5].

4° Déterminer une équation de la tangente $_% à au point & d’abscisse 1. Tracer cette tangente sur le graphique annexe

5° On donne une copie d’écran de calculatrice que l’on ne demande pas de justifier

☺ ^'

'() * = ′

Interpréter graphiquement l’information donnée sur la copie d’écran.

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EXERCICE III : (4,5 points)

1° On considère la fonction définie sur 0 ; ∞ par √ 1 a) Justifier que la fonction est bien définie sur 0 ; ∞ .

b) Justifier que est dérivable sur 0 ; ∞, puis déterminer ′ . c) Etudier le signe de ′ .

d) Calculer _{(→ 0},-. .

e) Dresser le tableau de variations de la fonction .

2° On considère la courbe d’équation 1 √ pour ∈ 0 ; ∞ . On place 2 1; 0 .

Soit 3 un point quelconque de , on note son abscisse. On veut déterminer la position du point 3 sur qui rend minimale la distance 23.

a) Démontrer que la distance 23 est donnée par 23 √ 1 pour ∈ 0 ; ∞ .

b) En réinvestissant les résultats obtenus dans la question 1, déterminer la position du point 3 pour laquelle la distance 23 est minimale.

On précisera les coordonnées du point 3, la valeur exacte de cette distance minimale et sa valeur arrondie à 10⁴ près.

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EXERCICE IV : (5 points)

Pour tout réel 5 strictement positif, on définit sur l’intervalle 0 ; ∞ la fonction 6₇ par : 6₇ ⁸ 2 ⁹ 35 2

8 1

On note ₇ la courbe représentative de la fonction 6₇ dans un repère du plan.

Partie A :

1. Démontrer que la droite : d’équation 1 1 est asymptote à la courbe ₇.

2. On a construit dans le repère ci-dessous les courbes _, ; _,; ; ; ; _,; et la droite :.

Emettre une conjecture sur le nombre de point(s) d’intersection de ₇ et de :, suivant les valeurs du réel 5. Partie B :

On considère la fonction <₇ définie sur 0 ; ∞ par <₇ 2 ⁹ 35 1.

1. Justifier que est l’abscisse d’un point d’intersection de ₇ et de : si et seulement si <₇ 0 2. Justifier toutes les données figurant dans le tableau de variation de la fonction <₇ , donné ci-dessous.

0 5 ∞

<₇

1 ∞

5⁹ 1 3. Dans cette question, on suppose 5 0,5.

3. a. Déterminer le minimum de la fonction < _,; sur 0 ; ∞ . 3. b. Que peut-on en déduire concernant l’intersection de _,; et :.

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Annexe exercice II (à rendre) _{NOM :}

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 10/10/2016 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

D’après sujet national Juin 2013

Soit la suite numérique définie sur par : 2 et pour tout entier naturel n, =2

3 +1

3 + 1.

1. a. Calculer , , ₉ >? ₈ .On donnera le détail des calculs et la valeur exacte de et , puis la valeur approchée à 10⁴ près de , , ₉ >? ₈

1. b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, ≤ + 3. 2. b. Démontrer que pour tout entier naturel n, − =₉ + 3 − . 2. c. En déduire une validation de la conjecture précédente.

3. On désigne par la suite définie sur par = − . 3. a. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison

9. 3. b. En déduire que pour tout entier naturel n, = 2 A₉B + . 3. c. Déterminer la limite de la suite .

4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose : C = D _E

EF EF

= + + ⋯ + ; $ =C 4. a. Calculer la valeur exacte de : 1 +₉+ A₉B + ⋯ + A₉B 4. b. Exprimer C en fonction de n.

4. c. Déterminer la limite de la suite $ .

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Rouge, Pervenche, Turquoise 08 /11/2016 4 H UNE SEULE CALCU

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Chacun traitera l’exercice II qui le concerne :

Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE

L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée.

Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre que vous voulez La page 5 est à rendre avec votre devoir.

EXERCICE I : (5 points) POUR TOUS

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé H ; IJ ; J . La figure page 5 sera complétée au fur et à mesure.

A tout point 3 d’affixe K du plan, on associe le point 3^! d’affixe K′ définie par : K^!= K² + 4K + 3. 1. a. On considère le point M d’affixe 2- . Déterminer l’affixe de son image M′.

1. b. On considère le point N d’affixe 3. Déterminer les affixes des antécédents de N.

1. c. Déterminer et représenter l’ensemble O des points 3 d’affixe K tels que : |K − 2-| = |K − 3|. 2. Un point 3 est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point 3′ associé.

Démontrer qu’il existe deux points invariants. Donner l’affixe de chacun de ces points sous forme algébrique.

3. Soit 2 le point d’affixe ^494Q√9 et & le point d’affixe ^{49 Q√9}. Montrer que H2& est un triangle équilatéral.

4. a. Pour 3 d’affixe K, on pose K = + -1 avec et 1 réels. On note 3′ d’affixe K′ son image.

Déterminer la forme algébrique de K′ et montrer que : R. K^! = 2 1 + 41

4. b. Déterminer et représenter l’ensemble O des points M d’affixe K, tels que le point 3′ associé soit sur l’axe des réels.

5. L’affirmation : « si M est sur l’axe des imaginaires purs, alors son image 3′ est sur l’axe des imaginaires purs » est-elle vraie ? Justifier.

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EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE On considère la fonction définie sur ]0 ; +∞ par = − 1 ⁹

On note sa courbe représentative dans un repère.

1. a. Calculer ′ et montrer que : ^! = ⁻¹²₃ ⁺² 1. b. Etudier le signe de ^!

2. Déterminer les limites de la fonction aux bornes ouvertes de son ensemble de définition et en déduire l’existence d’une asymptote.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction .

4. On considère la droite Δ d’équation 1 = − 3.

Etudier la position relative de la courbe et de la droite Δ. 5. On considère l’algorithme suivant

Entrée Affecter la valeur 1 à

Traitement Tant que − − 3 ≥ 0,5 Incrémenter la variable de 1 Fin Tant que

☺ cela signifie : Affecter à la valeur + 1

Sortie Afficher la valeur de 5. a. Faire fonctionner l’algorithme.

On complètera le tableau sur la page annexe à rendre. On fera autant de colonnes que nécessaire.

Valeur de 1

Valeur de − − 3 2

Test « tant que »

5. b. Préciser l’affichage final et interpréter cet affichage.

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EXERCICE III : (5 points) POUR TOUS

Les questions sont indépendantes.

1. Restitution organisée de connaissances Soit K et K′ deux nombres complexes quelconques.

On rappelle et on admet que : _{K × K′}UUUUUUU = K̅ × K′W

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : K̅ = KUUU

2. Les affirmations suivantes sont –elles vraies ou fausses ? Justifier votre choix Affirmation 1 : 1 + - est un réel.

Affirmation 2 : Si une fonction définie sur ]0 ; +∞ est décroissante sur ]0 ; +∞

alors :

lim_{(→ 0} = −∞

3. Dans chaque cas, retrouver la proposition vraie.

Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Sur votre copie, recopiez le n° et la proposition choisie.

3. a. On considère une fonction telle que, pour tout de ]0 ; +∞ : 3 − 1

≤ ≤ 3 + 1

lim_(→

([

= 3 lim_(→

([

= +∞ lim_{(→ 0} = 3 lim_{(→ 0} = +∞

3. b. La somme C =₉+ A₉B + ⋯ + A₉B est égale à :

\1 − 3 A₉B ] ⁹\1 − A₉B ] −⁹A₉B ⁹−⁹A₉B

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EXERCICE IV : (5 points) POUR TOUS Nouvelle Calédonie Novembre 2015

On considère deux suites de nombres réels ^ et 5 définies par ^ 300, 5 = 450 et, pour tout entier naturel ≥ 0

_ ^ =1

2 ^ + 100

5 =1

2 ^ +1

2 5 + 70 1. Calculer ^ et 5 .

2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d’afficher en sortie les valeurs de ^ et 5 pour une valeur entière de n saisie par l’utilisateur.

L’algorithme suivant est proposé :

Variables : n et k sont des entiers naturels D et A sont des réels

Initialisation : D prend la valeur 300 A prend la valeur 450 Saisir la valeur de n Traitement : Pour k variant de 1 à n

D prend la valeur ^a+ 100 A prend la valeur ^b+^a+ 70 Fin pour

Sortie : Afficher D

Afficher A

a. Quels nombres obtient-on en sortie de l’algorithme pour n = 1 ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1. ?

b. Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu’il affiche les résultats souhaités.

3. a. Pour tout entier naturel n, on pose > = ^ − 200 . Montrer que la suite > est géométrique.

b. En déduire l’expression de ^ en fonction de . c. La suite ^ est-elle convergente ? Justifier.

4. On admet que pour tout entier naturel n, 5 = 100 \1

2] + 110 \1

2] + 340

a. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 3, on a 2 ² ≥ + 1 ²

b. Montrer par récurrence que pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 2 ≥ ² c. En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 4,

0 ≤ 100 \1

2] ≤100 d. Étudier la convergence de la suite 5

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ANNEXE Exercice I

ANNEXE Exercice II

Valeur de 1 Valeur de 3 2 Test « tant que »

NOM :

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MATHEMATIQUES TS MARINE 18/11/2016 1 H Nom :

Question de cours (4 points) SANS CALCULATRICE

1° Tableau de variation complet de la fonction exponentielle 2° Donner quatre limites à connaître impérativement sur les fonctions exponentielles.

3° Donner quatre règles opératoires. Pour tout réel 5 et c :

4° Sans détailler, donner l’expression de ′ pour ∈

= > ⁽+ >⁴⁽+ 3>⁽ ^! =..

= >^{4 ,;(}− > ′ =..

= >⁴⁽^d ⁽ ′ =..

EXERCICE I : (8 points)

On considère la fonction définie et dérivable sur par = 4 − >⁽+ 2

1° Déterminer les limites aux bornes ouvertes de l’ensemble de définition et en déduire l’existence d’une asymptote à la courbe

2° a) Calculer ′ . On montrera que ^! = 3 − >⁽ 2° b) Etudier le signe de ′

3° Dresser le tableau de variation de la fonction

EXERCICE II : (8 points)

1° Montrer que pour tout de , on a : ^e

f4e^gf

e^f e^gf

=

^4e_e^gdf_gdf

2° a) Montrer que pour tout de , on a : > ⁽+ 3 >^{4 (}− 1 = 3>^{4 (}− > ⁽− 2 b) Etudier le signe de & = 3>^{4 (}− > ⁽− 2

3° On considère la fonction définie et dérivable sur par = −4 + 1 >^{4 (} Calculer ′ .

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 02/12/2016 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

D’après Nouvelle Calédonie Novembre 2013 Soit la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ par = >⁽+₍

1. Étude d’une fonction auxiliaire

1. a. Soit la fonction 6 dérivable, définie sur 0 ; +∞ par 6 = >⁽− 1.

Calculer 6′ et étudier son signe.

1. b. Calculer la limite de la fonction 6 en +∞.

1. c. Dresser le tableau de variation de la fonction 6

1. d. Démontrer qu’il existe un unique réel 5 appartenant à 0 ; +∞ tel que 6 5 = 0. 1. e. Donner un encadrement d’amplitude 0,001 du réel a.

1. f. Déterminer le signe de 6 sur 0 ; +∞ . 2. Étude de la fonction h

2. a. Déterminer les limites de la fonction en 0 et en +∞.

2. b. On note ^! la fonction dérivée de sur l’intervalle ]0 ; +∞ . Démontrer que pour tout réel strictement positif , ^! = ^{i (}₍_d . 2. c. En déduire le sens de variation de la fonction .

Dresser son tableau de variation sur l’intervalle ]0 ; +∞ .

2. d. Démontrer que la fonction admet pour minimum le nombre réel . =₇_d+₇ . 2. e. On considère la fonction ℎ définie sur ]0 ; +∞ par ℎ = ₍_d+₍

Montrer que ℎ est strictement décroissante sur ]0; +∞

2. f. Justifier que 3,43 < . < 3,45.

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Lycée Saint Thomas d’Aquin 11 janvier 2017

Calculatrice personnelle autorisée

(Chaque élève ne peut disposer que d’une seule calculatrice. Le prêt est interdit) Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/7 à 7/7. Seule, la page 7 est à rendre.

Ce sujet est composé de quatre exercices indépendants : Les exercices I, III et IV sont à traiter par tous les candidats.

Pour l’exercice II, chacun traitera celui qui le concerne :

Exercice II : spécialité ou Exercice II : non spécialité

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction définie sur par :

1 >⁴⁽

Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire k Soit 6 la fonction définie sur ℝ par 6 = + >⁽ 1. Etudier les variations de la fonction 6 .

2. Déterminer les limites de 6 en +∞ et en −∞.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction 6

4. Montrer que l’équation 6 = 0 admet une solution unique α dans . Justifier l’encadrement −0,57 < m < −0,56.

5. En déduire le signe de 6 (x).

Partie B - Étude de la fonction h 1. Déterminer la limite de en +∞.

2. Montrer que, pour tout de ℝ^{, on a :} = − >⁽+ + 1 >⁴⁽

Déterminer la limite de la fonction en −∞

3. On admet que la fonction est dérivable sur . 3. a. Montrer que ^! = −6 . >⁴⁽

3. b. Etudier le signe de ′

4. Dresser le tableau de variation de la fonction . 5. Montrer que m = −1 − m −_n

6. Etudier la position relative de la courbe représentative et de la droite : d’équation 1 = − . EXERCICE II : (5 points)

SPECIALITE

BAC BLANC DE MATHEMATIQUES : SERIE S 4 heures

TS JAUNE - TS MARINE - TS PERVENCHE - TS ROUGE - TS TURQUOISE - TS VERTE

Correction anonyme : n’écrivez pas votre nom ! Seulement votre numéro d’anonymat

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Cet exercice sera traité sur la même feuille

Les trois questions sont indépendantes Question 1

a. Démontrer que, pour tout entier naturel , 2⁹ ≡ 1 .p^ 7 . b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2011 par 7.

Question 2

Résoudre dans ℤ l’équation ² + 2 + 4 ≡ 0 .p^ ,p 6 .

Question 3

On considère l'algorithme suivant où O ? A_r^bB désigne la partie entière de ^b

r :

a. On fait tourner cet algorithme pour A = 12.

Recopier et compléter ce tableau avec autant de lignes que nécessaire.

s s ≤ √2 ? √2 ≈ 3,46 2

s O ? \2

s] 2

s − O ? \2 s] = 0?

Affichage

1 Oui 12 Oui ? et ?

2 Oui

b. Que donne cet algorithme dans le cas général ? 2 et s sont des entiers naturels non nuls Saisir A

s prend la valeur 1 Tant que v ≤ √w Si ^b

r− O ? A^b_rB = 0, alors afficher s et ^b

r

Fin Si

s prend la valeur s + 1 Fin Tant que

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NON SPECIALITE

Soit la fonction définie sur l’intervalle 0 ; +∞ par : = 6 − ₊₁⁵

Le but de cet exercice est d’étudier des suites définies par un premier terme positif ou nul et vérifiant pour tout entier naturel n : = .

1. Étude de propriétés de la fonction

1. a. Étudier le sens de variation de la fonction sur l’intervalle 0 ; +∞ .

1. b. Résoudre dans l’intervalle 0 ; +∞ l’équation = . On note m la solution.

1. c. Montrer que si x appartient à l’intervalle 0 ; m , alors appartient à l’intervalle 0 ; m .

De même, montrer que si x appartient à l’intervalle m ; +∞ alors appartient à l’intervalle m ; +∞ .

2. Étude de la suite pour = 0.

Dans cette question, on considère la suite définie par = 0 et pour tout entier naturel n : = = 6 − ⁵₊₁

2. a. Sur le graphique en annexe page 6, sont représentées les courbes d’équation : 1 = et 1 = . Placer le point 2 de coordonnées ; 0 , et, en utilisant ces courbes, construire à partir de 2 les points 2 , 2 , 2₉ , et 2₈ d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives , , ₉ et ₈.

Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite ? 2. b. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, on a : 0 ≤ ≤ ≤ m

2. c. En déduire que la suite est convergente.

2. d. On admet que la limite de la suite est solution de l’équation = . Déterminer cette limite.

3. Étude des suites avec ≥ 6.

Le sens de variation et la limite obtenus à la question 2 restent-ils identiques lorsque la suite a pour premier terme , avec ≥ 6 ?

Aucune démonstration n’est attendue. On se limitera à énoncer des conjectures.

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EXERCICE III : (5 points) Commun à tous les candidats Les questions sont indépendantes Partie A :

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.

Affirmation 1 :

x

9 est un argument de ) √3 -*^y Affirmation 2 :

Pour tout de , on pose : C 1 0,5 0,5 0,5⁹ ⋯ 0,5 La limite de la suite C est égale à 2.

Partie B :

Dans chaque cas, retrouver la proposition vraie.

Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte 0,75point ; une réponse fausse enlève 0,25 point ; l’absence de réponse n’est pas pénalisée. En cas de total négatif, la note de la partie B sera ramenée à 0.

Sur votre copie, pour chaque question, notez la lettre (a), (b), (c) ou (d) de la réponse choisie.

1. Dans le plan complexe, muni d’un repère H ; IJ ; J , on désigne par O l’ensemble des points 3 d’affixe K tels que : |K 4| |K 2-|

a. : O est un cercle passant par le point 2 d’affixe 3- b. : O est une droite passant par le point 2 d’affixe 3- c. : O est une droite passant par le point & d’affixe 3-

d. : O est la médiatrice du segment Rz] avec R et z d’affixes respectives 4 et 2-.

2. Le plan est muni d’un repère orthonormé.

On considère une fonction dérivable sur l’intervalle 3 ; 2].

On dispose des informations suivantes :

• 0 1

• La dérivée h′ de la fonction admet la courbe représentative ci-contre, notée {_h^|.

a. Pour tout réel x de l’intervalle 1 ; 2] , ^! @ 0. b. La fonction est croissante sur l’intervalle 3 ; 1]. c. Pour tout réel x de l’intervalle 3 ; 2], 1. d. Soit la courbe représentative de la fonction .

La tangente à la courbe au point d’abscisse 0 a pour équation 1 1.

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3. On considère la suite est définie par 50000 et pour tout entier naturel n par la relation = 0,95 + 3000

On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang n.

Retrouver lequel des quatre algorithmes convient.

Algorithme (a) Algorithme (b) Variables

~, R, s sont des nombres Début de l’algorithme Saisir la valeur de s

~ prend la valeur 50 000 Pour R variant de 1 à s

~ prend la valeur 0,95~ + 3 000 Afficher ~

Fin Pour Afficher ~ Fin algorithme

Variables

2, ~, s sont des nombres Début de l’algorithme Saisir la valeur de 2 s prend la valeur 0

~ prend la valeur 50 000 Tant que ~ < 2

s prend la valeur s + 1

~ prend la valeur 0,95~ + 3 000 Fin Tant que

Afficher s Fin algorithme

Algorithme (c) Algorithme (d)

Variables

~ prend la valeur 50 000 Pour R variant de 1 à s

~ prend la valeur 0,95~ + 3 000 Fin Pour

Afficher ~

Fin algorithme

Variables

~ prend la valeur 50 000 Pour R variant de 1 à s Afficher ~

~ prend la valeur 0,95~ + 3 000 Fin Pour

Afficher ~ Fin algorithme

4. On donne l’algorithme ci-dessous.

Variables : n : un nombre entier naturel Traitement : Affecter à n la valeur 0

Tant que 1,9 < 100

Affecter à n la valeur n +1 Fin Tant que

Sortie : Afficher n

La valeur affichée en sortie de cet algorithme est :

a. 7 b. 7,2 c. 8 d. 17

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EXERCICE IV : (5 points) Commun à tous les candidats On se place dans le plan complexe rapporté au repère H ; IJ ; J . La figure n’est pas demandée.

Soit la transformation qui à tout nombre complexe K non nul associe le nombre complexe K défini par :

K = K +1 K

On note 3 le point d’affixe K et 3′ le point d’affixe K . 1. On appelle A le point d’affixe :

5 = − √2 2 +-√2

2

a. Déterminer la forme exponentielle de 5. b. Déterminer la forme algébrique de 5 .

2. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation K = 1.

3. Soit M un point d’affixe K du cercle de centre H et de rayon 1.

3. a. Justifier que l’affixe K peut s’écrire sous la forme K = >^Q• avec € un nombre réel.

3. b. Montrer que K est un nombre réel.

4. a. On pose K = + -1 avec et 1 réels et ; 1 ≠ 0; 0 . Ecrire K sous forme algébrique.

On montrera que :

R. K =1 + 1 − 1 + 1

4. b. Décrire l’ensemble des points M d’affixe K tels que K soit un nombre réel.

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Annexe exercice II NON SPECIALITE

N° Anonymat :

N’inscrivez ni votre nom, ni votre classe !

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 30/01/2017 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (16 points) d’après Asie Juin 2013 Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième.

Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs.

Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.

10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.

On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : A : « la boîte provient du fournisseur A » ; B : « la boîte provient du fournisseur B » ; S : « la boîte présente des traces de pesticides ».

1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.

2. a. Quelle est la probabilité de l’événement & ∩ C̅ ?

2. b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0, 88.

3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.

Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?

4. Le grossiste paye 8€ une boîte provenant du fournisseur A et 6€ celle provenant du fournisseur B.

Une remise de 2€ par boîte est effectuée en cas de traces de pesticide.

On nomme D la variable aléatoire désignant la dépense pour 1 boîte de thé prélevée au hasard dans le stock.

4. a. Déterminer sous la forme d’un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire D.

4. b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire D et l’interpréter.

Partie B

Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise.

On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans traces de pesticides.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.

3. Calculer la probabilité qu’au maximum 1 boîte présente des traces de pesticides.

4. Déterminer O „ . Interpréter la valeur obtenue.

Retrouver l’affirmation vraie. Aucune justification n’est demandée. Ecrire votre choix et recopier la réponse choisie.

Chaque réponse juste rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’est pas pénalisée.

2 et & sont deux événements indépendants de probabilité non nulle.

Réponse (a) Réponse(b) Réponse (c)

1° … 2 ∪ & = … 2 + … & … 2 + … & − … 2 × … & … 2 × … &

2° …% 2̅ = …%U 2 1 − … 2 … 2̅ ∩ &

3° Si … 2 = 0,35 et … & = 0,6 , alors

… 2 ∩ & = 0,6 … 2 ∩ &U = 0,14 … 2̅ ∩ & = 1 − … 2 ∩ &

4° Si … 2 = 0,3

et 2 ∪ & = 0,65 , alors

… & = 0,35 … & = 0,46 … & = 0,5

(24)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Rouge, Pervenche, Turquoise 14 /02/2017 4 H UNE SEULE CALCU

Chacun traitera l’exercice II qui le concerne.

Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE

L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée.

EXERCICE I : (5 points) POUR TOUS

Le but de l’exercice est de démontrer l’inégalité suivante : Pour tout de †0 ;^x‡, on a : sin ≥ _x

On considère la fonction Š définie sur †0 ;^x‡, par : Š = sin −_x

1° Déterminer la dérivée Š′ et la dérivée seconde Š′′ de la fonction Š sur l’intervalle †0 ;^x‡.

2° Montrer que la fonction Š′ est strictement décroissante sur †0 ;^x‡. Dresser le tableau de variation de la fonction Š′.

3° Montrer qu’il existe un unique réel m de l’intervalle †0 ;^x‡, tel que Š^! m = 0. Donner à l’aide la calculatrice, une approximation de m à 10⁴⁹ près.

4° Déduire de ce qui précède le tableau de variations de la fonction Š ; puis que : pour tout de †0 ;^x‡, on a : sin ≥_x .

(25)

NON SPECIALITE

d’après Nouvelle Calédonie Mars 2012 On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

L’urne U1 contient trois boules rouges et une boule noire.

L’urne U2 contient trois boules rouges et deux boules noires.

Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urne U₁, sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U₂.

On considère les évènements suivants : A : « obtenir 1 en lançant le dé » B : « obtenir une boule noire ».

1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.

1. b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est ⁹_y.

1. c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé.

2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire.

Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

2. a. Montrer que la variable aléatoire „ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. b. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.

2. c. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

2. d. On donne le tableau suivant :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

… „ < ‹ ^{0,009 1} ^{0,063 7} ^{0,211 0} ^{0,446 7} ^{0,694 3} ^{0,872 5} ^{0,961 6} ^{0,992 2} ^{0,999 0} ^{0,999 9}

Soit N un entier compris entre 1 et 10.

On considère l’évènement : « la personne gagne au moins N parties ».

À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à ?

(26)

EXERCICE III : (5 points) POUR TOUS Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question et la réponse choisie.

Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

1. Soit K le nombre complexe d’affixe 1 + - ⁸. L’écriture exponentielle de K est : Œ ∶ √2>^Qx Ž ∶ 4>^Qx • ∶ √2>^Qx8 • ∶ 4>^Qx8

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct H ; IJ ; J .

L’ensemble des points M du plan d’affixe K = + -1 tels que |K − 1 + -| = |√3 − -| a pour équation : (a) : − 1 + 1 + 1 = 2 (b) : + 1 + 1 − 1 = 2 (c) : − 1 + 1 + 1 = 4 (d) : 1 = +^√94

3. Pour tout nombre complexe K, on considère K^!= - K̅ + 1 où K̅ est le conjugué de K Le conjugué KW^! de K’ est égal à

(a) : -K − 1 (b) : −-K − 1 (c) : -K + 1 (d) : −-K + 1

4. L’ensemble de solutions de l’inéquation − ln + 1 ≥ 0 est :

(a) : ] − ∞; >] (b) : ] 0 ; >] (c) : > ; +∞ (d) : ‡0 ;_e‡

5. Soit la fonction définie sur _ℝ par = . cos La fonction dérivée ′ est définie sur _ℝ par :

(a) : −sin (b) : ”p• (c) : cos + . sin (d) : cos − . sin

(27)

EXERCICE IV : (5 points) POUR TOUS d’après Amérique du Nord Juin 2012 Partie A. Restitution organisée des connaissances

On rappelle que lim_{–→ 0}^e_–^—= +∞. Démontrer que : lim_{(→ 0}^{˜™ (}₍ = 0 Partie B : On considère la fonction définie sur 1 ; +∞ par : = −ln

On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal H ; šJ ; ›J 1. Soit 6 la fonction définie sur 1 ; +∞ par 6 = − 1 + ln . Montrer que la fonction 6 est positive sur 1 ; +∞ .

2. a. Montrer que, pour tout x de 1 ; +∞ , ^! =⁶₂ 2. b. En déduire le sens de variation de f sur 1 ; +∞ . 2. c. Soit : la droite d’équation 1 = .

Étudier la position de la courbe par rapport à la droite : Déterminer lim_{(→ 0} −

3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement 3_E et s_E les points d’abscisse ‹ de et :.

La capture d’écran ci-dessous est donnée à titre indicatif.

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance 3_Es_E entre les points 3_E et s_E est donnée par 3_Es_E =^{˜™ E}_E .

3. b. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’il affiche le plus petit entier ‹ supérieur ou égal à 2 tel que la distance 3_Es_E soit inférieure ou égale à 10⁴ .

Variables : _‹ est un entier naturel Initialisation : Affecter à ‹……

Traitement : Tant que … Affecter à … Fin tant que Sortie : Afficher …

3. c. Donner sans justification la valeur affichée en sortie par l’algorithme.

(28)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 20/03/2017 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

D’après Pondichéry Avril 2011 Partie I

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; ∞ par ln 1 ₍. 1. Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.

2. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle ]0 ; ∞ . 3. En déduire le signe de lorsque x décrit l’intervalle ]0 ; ∞ .

4. Montrer que la fonction F définie sur ]0 ; ∞ par œ . ln ln est une primitive de sur cet intervalle.

5. Démontrer que la fonction F est strictement croissante sur l’intervalle 1 ; ∞ .

6. Montrer que l’équation œ 1 _e admet une unique solution dans l’intervalle 1 ; ∞ qu’on note m. On admettra : 1,9 @ m @ 2.

Partie II

Soit 6 et < les fonctions définies sur ]0 ; ∞ par : 6 ₍ et < ln 1

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes _i et _• représentatives des fonctions 6 et <.

1. 2 est le point d’intersection de la courbe _• et de l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point 2.

2. ž est le point d’intersection des courbes _i et _•. Justifier que les coordonnées du point ž sont 1 ; 1 . 3. On note l’aire du domaine délimité par les courbes _i et _• et les droites d’équations

e et 1 (domaine hachuré sur le graphique).

3. a. Exprimer l’aire à l’aide de la fonction définie dans la partie I.

3. b. Montrer que 1 _e.

4. Soit ? un nombre réel de l’intervalle ]1 ; ∞ . On note &_– l’aire du domaine délimité par les droites d’équations respectives 1, ? et les courbes _i et _• (domaine quadrillé sur le graphique).

On souhaite déterminer une valeur de ? telle que &_– 4. a. Montrer que &_– ?. ln ? ln ? .

4.b. Conclure.

(29)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Rouge, Pervenche, Turquoise 04 /04/2017 4 H UNE SEULE CALCU

Chacun traitera l’exercice II qui le concerne.

Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE

L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée.

EXERCICE I : (5 points) POUR TOUS Nouvelle Calédonie novembre 2014 L’espace est rapporté à un repère orthonormé )H ; šJ ; ›J ; ‹IJ *.

On donne les points 2 1 ; 0 ; – 1), & 1 ; 2 ; 3 , – 5 ; 5 ; 0 et : 11 ; 1 ; – 2 . Les points R et z sont les milieux respectifs des segments 2&] et :].

Le point M est défini par &MIIIIIIJ =₉ &IIIIIJ.

1. a. Déterminer les coordonnées des points R, z et M. 1. b. Démontrer que les points R, z et M définissent un plan.

1. c. Montrer que le vecteur IJ de coordonnées 3 ; 1 ; 4 est un vecteur normal au plan RzM . En déduire une équation cartésienne de ce plan.

2. Soit P le plan d’équation 3 + 1 + 4K – 8 = 0.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite &: .

2. b. Démontrer que le plan P et la droite &: sont sécants et donner les coordonnées de N, point d’intersection du plan P et de la droite &: .

2. c. Le point N est-il le symétrique du point : par rapport au point & ?

(30)

NON SPECIALITE

d’après sujet national septembre 2003

Un commerce possède un rayon « journaux » et un rayon « souvenirs ». À la fin d’une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon.

On constate que la caisse du rayon « journaux » contient 3 fois plus de pièces de 1 € que celle du rayon

«souvenirs ».

Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40% des pièces de 1 € dans la caisse du rayon « souvenirs » et 8% de celles du rayon

«journaux » portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira «face étrangère»).

1. Les pièces de 1 € issues des deux caisses sont rassemblées dans un sac.

On prélève au hasard une pièce du sac. On considère les évènements :

S « la pièce provient de la caisse souvenirs » et E« la pièce porte une face étrangère ».

On s’aidera d’un arbre pondéré.

1. a. Déterminer ž C >? ž O ; en déduire ž C ∩ O .

1. b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16.

1. c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu’elle provienne de la caisse «souvenirs».

2. Dans la suite, la probabilité qu’une pièce porte une face étrangère est égale à 0,16.

Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère.

Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces du sac.

On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une « face étrangère».

2. a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.

2. b. Calculer, à 0,001 près, la probabilité qu’exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

2. c. Calculer, à 0,001 près, la probabilité qu’au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

3. Le collectionneur prélève n pièces (n entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise.

Montrer que la probabilité qu’il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère est … = 1 − 0,84 Calculer le plus petit entier tel que … > 0,9.

(31)

EXERCICE III : (5 points) POUR TOUS

Les deux parties sont indépendantes

Partie A :

Pour chacune des deux propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct H ; IJ ; J . Proposition 1 :

Soit (E) l’équation K − 1 K − 8K + 25 = 0 où K appartient à l’ensemble ℂ des nombres complexes.

Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans C de l’équation (E) sont les sommets d’un triangle rectangle.

Proposition 2 :

Le complexe 1 + - ^£ est un réel.

Partie B : PROBLEME OUVERT Nouvelle Calédonie mars 2017 (3 points)

On considère la suite définie par

¤ = 0

= 1

2 − pour tout entier naturel ≥ 0 On obtient à l’aide d’un tableur les premiers termes de cette suite :

Prouver que la suite «_¬ converge.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

A B C

n u

_n

u

_n

(en valeurs exactes) (en valeurs approchées)

0 0 0

1 1/2 0,5

2 2/3 0,666666667

3 3/4 0,75

4 4/5 0,8

5 5/6 0,833333333

6 6/7 0,857142857

7 7/8 0,875

8 8/9 0,888888889

9 9/10 0,9

10 10/11 0,909090909

(32)

EXERCICE IV : (5 points) POUR TOUS Nouvelle Calédonie Mars 2017 On considère la fonction définie et dérivable sur 0 ; ∞ par >⁴⁽

et on note sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Partie A

1. Justifier toutes les informations du tableau de variations de donné ci-dessous.

0 1 ∞

e

0 0

2. Soit F la fonction définie et dérivable sur 0 ; ∞ par œ 1 >⁴⁽

Démontrer que la fonction F est une primitive de sur 0 ; ∞ .

Partie B

Soit 5 un nombre réel tel que 0 < 5 < 1. On considère la droite :₇ d’équation 1 5 et M le point d’intersection de la droite :₇ avec la courbe . On note _- l’abscisse du point M.

On note ® 5 l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c’est-à-dire du domaine situé sous la courbe au-dessus de la droite :₇ et entre les droites d’équation x = 0 et _-. Le but de cette partie est d’établir l’existence et l’unicité de la valeur de a telle que ® 5 0,5 , puis d’étudier un algorithme.

1. Prouver que la droite :₇ et la courbe ont un unique point d’intersection M distinct de l’origine.

(33)

On admet dans la suite de l’exercice que le point M a pour abscisse _- ln 5 et que la courbe est située au-dessus de la droite :₇sur l’intervalle 0 ; − ln 5 ].

2. Montrer que ® 5 = 5 ln 5 − 5 ln 5 + 1 − 5.

3. Soit la fonction ® définie sur ]0 ; 1] par ® = ln − ln + 1 −

On admet que ® est dérivable sur ]0 ; 1] et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.

0 1

®

1

0 Justifier qu’il existe un unique réel m ∈] 0 ; 1 tel que ® m = 0,5.

4. On considère l’algorithme présenté ci-dessous.

Variables : A, B et C sont des nombres ;

… est un entier naturel Initialisation : Demander la valeur de …

A prend la valeur 0 B prend la valeur 1 Traitement : Tant que B − A > 10^4¯

C prend la valeur (A+B)/2 Si H(C) > 0,5

Alors A prend la valeur de C Sinon B prend la valeur de C Fin de la boucle Si

Fin de la boucle Tant que

Sortie : Afficher A et B.

Que représentent les valeurs A et B affichées en sortie de cet algorithme ? 5. Donner un encadrement d’amplitude 0,01 de m.

(34)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Pervenche, Turquoise 16 /05/2017 4 H UNE SEULE CALCU

Chacun traitera l’exercice II qui le concerne.

Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE

L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée.

EXERCICE I : (4 points) POUR TOUS d’après Sujet national juin 2015 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct H ; IJ ; J

Unités 1cm

La figure sera réalisée sur papier millimétré ou feuille à petits carreaux.

1. On considère les points 2, & et d’affixes respectives : 5 = 4 + 4-√3 , c = 4 − 4-√3 et ” = 8- 1. a. Calculer le module et un argument du nombre 5.

1. b. Donner la forme exponentielle des nombres 5 et c.

1. c. Montrer que les points 2, & et sont sur un même cercle de centre H dont on déterminera le rayon.

1. d. Placer les points 2, & et dans le repère H ; IJ ; J .

Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 1. d. complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.

2. On considère les points 2′, &′ et ′ d’affixes respectives 5^! = 5 >^°±²^,c^! = c >^Q^±^² ^et”^! = ” >^Q^±^² 2. a. Montrer que : c^!= 8

2. b. Calculer le module et un argument du nombre 5′.

Pour la suite on admet que : 5^! = −4 + 4-√3 et ”^!= −4√3 + 4-

3. On admet que si 3 et s sont deux points du plan d’affixes respectives . et alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe ^³ et la longueur 3s est égale à | − .|.

3. a. On note ´, • et ? les affixes des milieux respectifs µ, C et $ des segments [2′&], [&′ ] et [ ′2].

Calculer ´ et •.

On admet que ? = 2 − 2√3 + -)2 + 2√3* et que C$ = 4√2.

3. b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle µC$ ? Justifier ce résultat.

(35)

NON SPECIALITE

National septembre 2016

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : ? = 5 × > ^,9–− 1

> ^,9–+ 1

1. Déterminer le sens de variation de la fonction .

2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.

On admet que t secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en .. •⁴ ) est égale, avant d’atteindre le sol, à ?

On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 .. •⁴ . Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en .. •⁴ ), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

? = 32,7 1 − >^{4 ,9–}

1. Quelle est la vitesse, exprimée en .. •⁴ , atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 .. •⁴ .

2. Résoudre l’équation ? = 30 .. •⁴ . Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.

3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes.

On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

^ $ = ¶ ? ^?

·

3. a. Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle [0 ; 20], ^ $ = 109 >^{4 ,9·} + 0,3$ − 1

3. b. Déterminer une valeur approchée à 1m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.

4. Déterminer un encadrement d’amplitude 0,1• du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres.

EXERCICE III : (3 points) POUR TOUS 2014 09 Antilles (3 points) On considère l’équation (E₁) : >⁽− = 0

où est un réel strictement positif et un entier naturel non nul.

1. Montrer que l’équation (E1) est équivalente à l’équation (E2) : ln − = 0 2. Pour quelle(s) valeur(s) de l’équation (E1) admet-elle deux solutions ?

(36)

EXERCICE IV : (3 points) POUR TOUS d’après 2014 09 Antilles

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes. Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l’affirmation exacte.

Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère : les points : 2 1 ; – 1 ; – 1 , & 1 ; 1 ; 1 , 0 ; 3 ; 1

et le plan ž d’équation : 2 + 1 – K + 5 = 0.

Question 1

Soit : la droite de vecteur directeur IJ ¸ 2

−11 ¹ passant par 2. Une représentation paramétrique de la droite : est :

a. º = 2 + ? 1 = −1 − ?

K = 1 − ? ? ∈ ℝ b. º = −1 + 2?

1 = 1 − ?

K = 1 + ? ? ∈ ℝ

c. º = 5 + 4?

1 = −3 − 2?

K = 1 + 2? ? ∈ ℝ d. º = 4 − 2?

1 = −2 + ?

K = 3 − 4? ? ∈ ℝ

Question 2

Soit : la droite de représentation paramétrique º = 1 + ? 1 = −3 − ?

K = 2 − 2? ? ∈ ℝ a. La droite : et le plan ž ne sont pas sécants

b. La droite : est incluse dans le plan ž.

c. La droite : et le plan ž se coupent au point O A₉; −^£₉; ₉B d. La droite : et le plan ž se coupent au point œ A⁸₉; −₉; ₉B Question 3

Une mesure de l’angle &2» arrondie au dixième de degré est égale à :

a. 22,2° b. 0,4° c. 67,8° d. 1,2°

(37)

EXERCICE V : (5 points) POUR TOUS Amérique du sud novembre 2016 Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à ¼½^4¾.

On étudie un modèle de climatiseur d’automobile composé d’un module mécanique et d’un module électronique.

Si un module subit une panne, il est changé.

Partie A : Étude des pannes du module mécanique

Une enseigne d’entretien automobile a constaté, au moyen d’une étude statistique, que la durée de

fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi normale d’espérance μ = 50 et d’écart-type σ :

1. Déterminer l’arrondi à 10⁴⁸ de σ sachant que le service statistique indique que ž : ≥ 48 = 0,7977. Pour la suite de cet exercice, on prendra ¿ = 2,4

2. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre 45 mois et 52 mois.

3. Déterminer la probabilité que le module mécanique d’un climatiseur ayant fonctionné depuis 48 mois fonctionne encore au moins 6 mois.

Partie B : Étude des pannes d’origine électronique

Sur le même modèle de climatiseur, l’enseigne d’entretien automobile a constaté que la durée de

fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

1. Déterminer la valeur exacte de λ, sachant que le service statistique indique que ž 0 ≤ $ ≤ 24 = 0,03 Pour la suite de cet exercice, on prendra À = 0,00127 .

2. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre 24 et 48mois.

3. a. Démontrer que, pour tous réels t et h positifs, on a :

ž_·Á– $ ≥ ? + ℎ = ž $ ≥ ℎ c’est-à-dire que la variable aléatoire T est sans vieillissement.

3. b. Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis 36 mois. Déterminer la probabilité qu’il fonctionne encore les 12 mois suivants.

Partie C : Pannes d’origine mécanique et électronique

On admet que les évènements : ≥ 48 et $ ≥ 48 sont indépendants.

Déterminer la probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant 48 mois.

Partie D : Cas particulier d’un garage de l’enseigne

Un garage de l’enseigne a étudié les fiches d’entretien de 300 climatiseurs de plus de 4 ans. Il constate que 246 d’entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis 4 ans.

Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l’enseigne, à savoir que ž : ≥ 48 = 0,7977 ? Justifier la réponse.