Bac Blanc – Série S - Session 2008

Mathématiques – Bac blanc - 2008 Page 1 sur 3

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Bac Blanc – Série S - Session 2008

Enseignement de spécialité Durée de l’épreuve : 4 heures

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur sa copie.

La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies.

Avant de commencer à composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 3 pages.

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Exercice 1 D’après Nouvelle Calédonie – novembre 2007 et Amérique de Nord juin 2005 5 points Partie A

Pour chacune des 8 questions, une seule des propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question, la lettre correspondant à la réponse.

Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte justifiée rapporte 0,5 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Dans cette partie, le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct d’origine O.

1- Une solution de l’équation 2z+Òz=9+i est : a. 3 b. i c. 3+i 2- Soit z un nombre complexe,

|

z+i

|

est égal à : a.

| |

z +3 b.

|

z−1

|

c.

|

iÒz+1

|

3- Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ.

Un argument de -1+i 3

Òz est : a. –π

3 +θ b. 2π

3 +θ c. 2π

3 −θ 4- Soit n un entier naturel. Le complexe

(

³⁺ⁱ

)

ⁿ est un imaginaire pur si et seulement si :

a. n=3 b. n=6k+3 avec k un entier relatif c. n=6k avec k un entier relatif 5- Soient A et B deux points d’affixes respectives i et -1. L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant

|

z−i

|

=

|

z+1

|

est : a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB] c. la droite perpendiculaire à (AB) passant par O.

6- Soit Ω le point d’affixe 1−i. L’ensemble des points M d’affixe z=x+iy vérifiant

|

z−1+i

|

=

|

3−4i

|

a pour équation : a. y=-x+1 b. (x−1)²+y²= 5 c. z=1−i+5e^iθ

(

θ☻Ë

)

7- Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec

(

^ÄAB;ÄAC

)

^=π

2 est : a. 1−4i b. -3i c. 7+4i

8- L’ensemble des solutions dans Ê de l’équation z−2

z−1 =z est a. {1−i} b. l’ensemble vide c. {1−i;1+i}

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Partie B

Une seule des propositions est exacte. Dans cette partie, on demande de justifier la réponse.

Dans le plan complexe, on donne le point D d’affixe i. L’écriture complexe de la rotation de centre D et d’angle –π 3 est:

a. z′=



1 

2−^{i 3}

2 z− 3 2 +1

2i b. z′=

 -¹ 

2+^{i 3}

2 z− 3

2 +1 2i c. z′=



1 

2−^{i 3}

2 z− 3 2 −1

2i d. z′=



1 

2−^{i 3}

2 z+ 3 2 +1

2i

Exercice 2 D’après Antilles Guyane – juin 2006 3 points

1. Restitution organisée des connaissances Pré-requis :

- la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+õ[ et sa fonction dérivée est la fonction inverse (x→1 x) - ln(1)=0

Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x , ln(ax)=lna+ln(x).

Indication : On pourra étudier les variations de la fonctions f définie sur ]0;+õ[ par f(x)=ln(ax)−ln(x) 2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que ln



1

b =-ln(b) et que ln



a

b =ln(a)−ln(b) pour tous réels strictement positifs a et b.

3. On donne 0,69Âln2Â0,70 et 1,09Âln3Â1,10.

En déduire des encadrements de ln6, ln



1 6 et ln



3 8 .

Exercice 3 D’après Nouvelle Calédonie – mai 2007 5 points

Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l’alphabet, on commence par associer un entier n de l’ensemble Ω={0;1;2;…;24;25} selon le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

a et b étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier n de Ω, le reste de la division euclidienne de (an+b) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante.

Exemple : pour coder la lettre P avec a = 2 et b = 3, on procède de la manière suivante : étape 1 : on lui associe l’entier n = 15.

étape 2 : le reste de la division de 2×15+3 = 33 par 26 est 7.

étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.

1. Que dire alors du codage obtenu lorsque l’on prend a = 0 ?

2. Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l’on choisit a = 13.

3. Dans toute la suite de l’exercice, on prend a = 5 et b = 2.

a. On considère deux lettres de l’alphabet associées respectivement aux entiers n et p.

Montrer que si 5n+2 et 5p+2 ont le même reste dans la division par 26 alors n−p est un multiple de 6.

En déduire que n = p.

b. Coder le mot AMI.

4. On se propose de décoder la lettre E.

a. Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l’élément n de Ω tel que 5n−26y=2, où y est un entier.

b. On considère l’équation 5x−26y=2, avec x et y entiers relatifs.

i. Donner une solution particulière de l’équation 5x −26y = 2.

ii. Résoudre alors l’équation 5x −26y = 2.

iii. En déduire qu’il existe un unique couple (x;y) solution de l’équation précédente, avec 0ÂxÂ25.

c. Décoder alors la lettre E.

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Exercice 4 D’après Amérique du Sud – novembre 2004 7 points

Soit f la fonction définie sur [0;+õ[ par f(x)=xe^-x.

On note Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal

(

^{O; Åi; Åj}

)

(unité graphique : 10 cm).

Partie A 1.

a. Déterminer la limite de f en +õ.

b. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

c. Construire Γ dans le repère

(

O; Åi; Åj

)

. 2.

a. Montrer que pour tout réel m de





 0;1

e , l’équation f(x)=m admet deux solutions.

b. Dans le cas où m=1

4, on nomme α et β les solutions (avec α<β). Déterminer un encadrement d’amplitude 10^-2 de α.

c. Résoudre l’équation f(x)=m dans les cas où m=0 et m=1 e

Partie B

1. On considère la suite

( )

^un définie sur É par



u0=α

pour tout entier naturel n,u_n+1=une^-un où α est le réel défini à la question A.2.b.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n>0.

b. Montrer que la suite

( )

^un est décroissante.

c. La suite

( )

^un est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.

2. On considère la suite

( )

^wn définie sur É par w_n=lnu_n

a. Montrer que, pour tout n entier naturel, on a : un=wn−w_n+1. b. On pose S_n=u₀+u₁+…+u_n. Montrer que S_n=w₀−w_n+1. c. En déduire lim

n↔+õSn.

3. On considère la suite

( )

^vn définie sur É par son premier terme v0 (v0>0) et, pour tout entier naturel n, v_n+1=vne^-vn.

Existe-t-il une valeur de v0 différente de α telle que, pour tout nÃ1, on ait un=vn ? Si oui, préciser laquelle.