SESSION 2018 – 2019
MATHÉMATIQUES
Série S
ÉPREUVE DU Jeudi 04 Avril 2019
Durée de l’épreuve : 4 heures (minimum 3 heures)
E NSEIGNEMENT O BLIGATOIRE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, en mode examen, conformément à la règlementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 6 pages
numérotées (ne pas rendre le sujet).
EXERCICE 1 : 5 pts
Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
● Pour ces deux premières questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte et justifiée rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’enlève pas de point. Si la réponse n’est pas justifiée, elle ne rapporte pas de point.
1) Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A(2;5;−1), B(3;2;1) et C(1;3;−2) . Le triangle ABC est :
a) Rectangle et non isocèle.
b) Isocèle et non rectangle.
c) Rectangle et isocèle.
d) Equilatéral.
2) Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan P d’équation 2x−y+3z−1=0 et le point A(2;5;−1) . Une représentation paramétrique de la droite d , perpendiculaire au plan P et passant par A est :
a)
{
zx=2+2=−1y=5+t+3ttb)
{
y=−1+5x=2+2z=3−tttc)
{
xz=5−3y=3+=6−2ttt{
zx=1=−2+y=4−+23ttt● Pour ces trois dernières questions, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
3) Affirmation 1 : Dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation z−´z+2−4i=0
admet une solution unique.
4) Affirmation 2 :
∫
0 ln 3 exex+2dx=−ln
(
35)
.EXERCICE 2 : 5 pts
EXERCICE 3 : 5 pts
On souhaite stériliser une boîte de conserve.
Pour cela, on la prend à la température ambiante T0=25°C et on la place dans un four à température constante TF=100° C .
La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A : Modélisation discrète.
Pour n entier naturel, on note Tn la température en degré Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T0=25 .
Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :
1) Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.
2) Démontrer que, pour tout entier naturel n , on a Tn=100−75×0,85n .
● On demande la valeur d’un entier n .
● T⟵25
Pour i allant de 1 à n faire T⟵0,85×T+15
Fin Pour
Dans cette partie, t désigne un réel positif.
On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f(t) (exprimé en degré Celsius) avec :
f(t)=100−75e
−ln5 10 × t
.
1)
a) Étudier le sens de variations de f sur ¿ 0;+∞¿
¿ . b) Justifier que si t ≥10 alors f(t)≥85 .
2) Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.
On note A (0) le domaine délimité par les droites d’équations t=10 , t=θ , y=85 et la courbe représentativeC f de f .
On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ , si l’aire, exprimée en unité d’aire du domaine A (0) est supérieure à 80.
a) Justifier, à l’aide du graphique donné ci-dessus que l’on a A (25)>80 .
b) Justifier que, pour θ ≥10 , on a :
¿15(θ−10)−75
∫
10 θ
e
−ln 5 10 × t
dt
c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?
EXERCICE 4 : 5 pts
1) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue z : z2−8z+64=0.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;u ,⃗ ⃗v) .
2) On considère les points A , B et C d’affixes respectives a=4+4i
√
3,b=4−4i√
3 etc=8i .
a) Calculer le module et un argument du nombre a . b) Donner la forme exponentielle des nombres a et b .
c) Montrer que les points A , B et C sont sur un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.
d) Placer les points A , B et C dans le repère (O;u ,⃗ ⃗v) .
Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de 2) d) complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.
3) On considère les points A', B ' et C ' d’affixes respectives a'=a ei π3, b'=b ei π3et c'=c ei π3.
a) Montrer que b'=8 .
b) Calculer le module et un argument de a ' .
Pour la suite, on admet que a'=−4+4i
√
3 et c'=−4√
3+4i . A(0)
[
A'B]
,[B'C] et [C'A] .Calculer r et s . On admet que t=2−2
√
3+i(2+2√
3) .b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier cette conjecture.
