BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC
SESSION 2018 – 2019
MATHÉMATIQUES
Série S
ÉPREUVE DU Mardi 18 Décembre 2018
Durée de l’épreuve : 4 heures (minimum 3 heures)
E NSEIGNEMENT O BLIGATOIRE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, en mode examen, conformément à la règlementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pages
numérotées (ne pas rendre le sujet).
EXERCICE 1 : 6 pts
Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé et on considère les droites D et ∆ qui admettent pour représentations paramétriques respectives :
{
xy=2−3=1+z=42t tt, t∈R et{
x=−5z=ty=2'+tt'4+3' , t'∈ROn a aussi les points A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;2)et D(2;0;1) .
1) Affirmation 1 :
Les trois points A , B et C sont alignés.
2) Affirmation 2 :
Les quatre points A , B , C et D sont coplanaires.
3) Affirmation 3 :
La droite D passe par A .
4) Affirmation 4 :
La droite D a pour représentation paramétrique :
{
y=3,5z=−2−6x=−3+4,5kkk, k∈R .5) Affirmation 5 :
Les droites D et ∆ sont sécantes.
6) Affirmation 6 :
La droite D est parallèle au plan (ABC) .
EXERCICE 2 : 5 pts
On considère deux suites (un) et (vn) :
• la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n : un+1=2un−n+3 ;
• la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n , par vn=2n . Partie A : Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur. Une copie d’écran est donnée ci-dessous.
1) Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers les bas les termes des deux suites ?
2) Pour les termes de rang 10,11,12 et 13 , Florent obtient les résultats suivants :
Conjecturer les limites des suites (un) et
(
uvnn)
.Partie B : Étude de suite (un)
1) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : un=3×2n+n−2. 2) Déterminer la limite de la suite (un) .
3) Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million. (utiliser la calculatrice) Partie C : Étude de la suite
(
uvnn)
.1) Démontrer que la suite
(
uvnn)
est décroissante à partir du rang 3.2) On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0< n 2n≤1
n .
Déterminer la limite de la suite
(
uvnn)
.EXERCICE 3 : 6 pts
Soit l’ensemble des réels.ℝ Partie A
Soit g la fonction définie et dérivable sur telle que, pour tout réel ℝ x , g(x)=−2x3+x2−1 . 1) a) Étudier les variations de la fonction g .
b) Déterminer les limites de la fonction g en −∞ et en +∞ .
2) Démontrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution sur , notée ℝ α et que α appartient à l’intervalle [−1;0] .
3) En déduire le signe de g(x) sur suivant les valeurs de ℝ x . Partie B
Soit f la fonction définie et dérivable sur telle que, pour tout réel ℝ x , f(x)=
(
1+x+x2+x3)
e−2x+1 . On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur .ℝ1) Démontrer que x →−∞lim f(x)=−∞ .
2) a) Démontrer que, pour tout x>1,1<x<x2<x3 .
b) En déduire que, pour x>1, 0<f(x)<4x3e−2x+1 . c) On admet que, pour tout entier naturel n , lim
x →+∞xne−x=0.
Vérifier que pour tout réel x ,
4x3e−2x+1=e
2(2x)3e−2x, puismontrer que: lim
x→+∞4x3e−2x+1=0.
d) On noteCf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ;i ,⃗ ⃗j) .
En utilisant la question précédente, déterminer la limite de f en +∞ et en donner une interprétation graphique.
3) Démontrer que, pour tout x de , ℝ f'(x)=
(
−2x3+x2−1)
e−2x+1 . 4) A l’aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de f sur .ℝEXERCICE 4 : 3 pts
C
est le cercle trigonométrique de centre O et d’origine A ; B est le point du cercleC
associé à l’angle x où x∈ ; H est le pied de la hauteur issue de B du triangle BOA .But de l’exercice :
donner une valeur approchée du nombre x pour lequel la longueur du chemin H−O−B (segment [BO] et segment [OH]) et celle du chemin H−A−B (arc AB⏜ et segment [AH]) sont égales.
N.B : On admettra que la longueur de l’arc AB⏜ est égal à x .
1) a) Exprimer la longueur l1 du chemin H−O−B en fonction de x .
[
0;π2]
b) Exprimer la longueur l2 du chemin H−A−B en fonction de x .
2) On considère la fonction f définie sur par : f(x)=2 cosx−x . a) Etudier les variations de f .
b) Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l’intervalle c) A l’aide de votre calculatrice, donner une valeur approchée de α à 10−2 près.
d) Conclure.
