BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC

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BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC

SESSION 2018 – 2019

MATHÉMATIQUES

Série S

ÉPREUVE DU Jeudi 04 Avril 2019

Durée de l’épreuve : 4 heures (minimum 3 heures)

E NSEIGNEMENT DE S ^PECIALITE

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, en mode examen, conformément à la règlementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 7 pages

numérotées (ne pas rendre le sujet).

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EXERCICE 1 : 5 pts

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

● Pour ces deux premières questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte et justifiée rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’enlève pas de point. Si la réponse n’est pas justifiée, elle ne rapporte pas de point.

1) Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points 𝐴(2 ; 5 ; −1), 𝐵(3 ; 2 ; 1) et 𝐶(1 ; 3 ; −2). Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est :

a) Rectangle et non isocèle.

b) Isocèle et non rectangle.

c) Rectangle et isocèle.

d) Equilatéral.

2) Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan P d’équation 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0 et le point 𝐴(2 ; 5 ; −1). Une représentation paramétrique de la droite 𝑑, perpendiculaire au plan P et passant par 𝐴 est :

a) {

𝑥 = 2 + 2𝑡 𝑦 = 5 + 𝑡 𝑧 = −1 + 3𝑡 b) {

𝑥 = 2 + 2𝑡 𝑦 = −1 + 5𝑡 𝑧 = 3 − 𝑡

c) {

𝑥 = 6 − 2𝑡 𝑦 = 3 + 𝑡 𝑧 = 5 − 3𝑡 d) {

𝑥 = 1 + 2𝑡 𝑦 = 4 − 𝑡 𝑧 = −2 + 3𝑡

● Pour ces trois dernières questions, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

3) Affirmation 1 : Dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation 𝑧 − 𝑧 ̅ + 2 − 4𝑖 = 0

admet une solution unique.

4) Affirmation 2 :

ln (√𝑒⁷) +ln(𝑒⁹)

ln(𝑒²)= 𝑒^{𝑙𝑛2+𝑙𝑛3} 𝑒^{(𝑙𝑛3−𝑙𝑛4)}.

5) Affirmation 3 :

𝑒^𝑥

𝑙𝑛3 3

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EXERCICE 3 : 5 pts

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante 𝑇₀ = 25°𝐶 et on la place dans un four à température constante 𝑇_𝐹 = 100°𝐶.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85°C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : Modélisation discrète.

Pour 𝑛 entier naturel, on note 𝑇_𝑛 la température en degré Celsius de la boîte au bout de 𝑛 minutes. On a donc 𝑇₀ = 25.

Pour 𝑛 non nul, la valeur 𝑇_𝑛 est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :

1) Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.

2) Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛, on a 𝑇_𝑛 = 100 − 75 × 0,85^𝑛. 3) Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-t-elle ?

● On demande la valeur d’un entier 𝑛.

● 𝑇 ⟵ 25

Pour 𝑖 allant de 1 à 𝑛 faire 𝑇 ⟵ 0,85 × 𝑇 + 15 Fin Pour

● On affiche alors la valeur de 𝑇.

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Dans cette partie, 𝑡 désigne un réel positif.

On suppose désormais qu’à l’instant 𝑡 (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par 𝑓(𝑡) (exprimé en degré Celsius) avec :

𝑓(𝑡) = 100 − 75𝑒⁻^{ln 5}¹⁰^×𝑡. 1)

a) Étudier le sens de variations de 𝑓 sur [0 ; +∞[.

b) Justifier que si 𝑡 ≥ 10 alors 𝑓(𝑡) ≥ 85.

2) Soit 𝜃 un réel supérieur ou égal à 10.

On note A (0) le domaine délimité par les droites d’équations 𝑡 = 10, 𝑡 = 𝜃, 𝑦 = 85 et la courbe représentativeC f de 𝑓.

On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps 𝜃, si l’aire, exprimée en unité d’aire du domaine A (0) est supérieure à 80.

a) Justifier, à l’aide du graphique donné ci-dessus que l’on a A (25) > 80.

b) Justifier que, pour 𝜃 ≥ 10, on a :

= 15(𝜃 − 10) − 75 ∫ 𝑒⁻^{ln 5}¹⁰^×𝑡𝑑𝑡

𝜃

10

c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ? A (0)

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EXERCICE 4 : 5 pts

PARTIE A

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘⃗⃗), on considère les points : 𝐴(1 ; 5 ; −2), 𝐵(7 ; −1 ; 3) et 𝐶(−2 ; 7 ; −2) et on note P le plan (𝐴𝐵𝐶).

On cherche une équation cartésienne du plan P sous la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 73, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels.

On note 𝑋 et 𝑌 les matrices colonnes : 𝑋 = ( 𝑎 𝑏 𝑐

) et 𝑌 = ( 1 1 1

).

1) Montrer que 𝑋 vérifie la relation : 𝑀𝑋 = 73𝑌, où 𝑀 est la matrice 𝑀 = (

1 5 −2

7 −1 3

−2 7 −2

).

2) Soit 𝑁 la matrice : 𝑁 = (

19 4 −13

−8 6 17

−47 17 36

).

A l’aide d’une calculatrice, on a calculé les produits 𝑀 × 𝑁 et 𝑁 × 𝑀, et on a obtenu les copies d’écran suivantes :

A l’aide de ces informations, justifier que la matrice 𝑀 est inversible et exprimer sa matrice inverse 𝑀⁻¹ en fonction de la matrice 𝑁.

3) Montrer alors que : 𝑋 = 𝑁𝑌.

En déduire que le plan P admet pour équation cartésienne : 10𝑥 + 15𝑦 + 6𝑧 = 73.

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L’objectif de cette partie est l’étude des points à coordonnées entières du plan P ayant pour équation cartésienne : 10𝑥 + 15𝑦 + 6𝑧 = 73.

1) Soit 𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) un point appartenant au plan P et au plan d’équation 𝑧 = 3. On suppose que les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 appartiennent à l’ensemble ℤ des entiers relatifs.

a) Montrer que les entiers 𝑥 et 𝑦 sont solutions de l’équation (𝐸) ∶ 2𝑥 + 3𝑦 = 11.

b) Justifier que le couple (7 ; −1) est une solution particulière de (𝐸) puis résoudre l’équation (𝐸) pour 𝑥 et 𝑦 appartenant à ℤ.

c) Montrer qu’il existe exactement deux points appartenant au plan P et au plan d’équation 𝑧 = 3 et dont les coordonnées appartiennent à l’ensemble ℕ des entiers naturels.

Déterminer les coordonnées de ces deux points.

2) Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points 𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) du plan P dont les coordonnées sont des entiers naturels.

Soient 𝑥, 𝑦 et 𝑧 des entiers naturels tels ques 10𝑥 + 15𝑦 + 6𝑧 = 73.

a) Montrer que 𝑦 est impair.

b) Montrer que : 𝑥 ≡ 1 (3). On admet que 𝑧 ≡ 3 (5).

c) On pose alors :

𝑥 = 1 + 3𝑝, 𝑦 = 1 + 2𝑞 et 𝑧 = 3 + 5𝑟,

où 𝑝, 𝑞 et 𝑟 sont des entiers naturels. Montrer que le point 𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) appartient au plan P si et seulement si 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = 1.

d) En déduire qu’il existe exactement trois points du plan P dont les coordonnées sont des entiers naturels.

Déterminer les coordonnées de ces points.

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