Résultats ou indices

AP - Nombres complexes (compléments) - TS

Exercice 1: ?

On considère le polynômePdéfini par :

P(z) =z⁴−6z³+24z²−18z+63.

1. CalculerP i√ 3

etP −_i√ 3

puis montrer qu’il existe un polynômeQdu second degré à coeffi- cients réels, que l’on déterminera, tel que, pour toutz∈_{C, on ait}P(z) = z²+3

Q(z). 2. Résoudre dansCl’équationP(z) =0.

3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal O, −→

u , −→ v

, les points A, B, C, D d’affixes respectivesz_A=_i√

3, z_B=−_i√

3, z_C=₃+_2i√

3 etz_D=z_C, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.

Exercice 2: ?

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :

a=2+2i, b=−√

3+i, c=1+i√

3, d=−1+

√3

2 i et e=−1+2+√ 3

i.

1. Affirmation 1: les points A, B et C sont alignés.

2. Affirmation 2: les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.

Exercice 3: ?

1. Déterminer l’ensemble des points Mdu plan complexe dont l’affixez_M vérifie|z_M−i+1|=3.

2. Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe zM vérifie |zM−i+1| =

|z_M−i|.

Exercice 4: ?

Dans le plan complexe rapporté à un repère O, −→

u , −→ v

on appelle A, B,Cles points d’affixes respec- tivesz_A=₁+_2i,z_B =_1, z_C=3i, et on considère la transformation f qui a tout point Md’affixe zfait correspondre le pointMd’affixe

z⁰= (3+4i)z+5z 6

1. Déterminer les affixes des points A⁰, B⁰,C⁰images de A,B,Cpar f. Placer ces 6 points.

2. On pose z = x+iy (x et y réels). Déterminer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire dez⁰.

3. Démontrer que l’ensemble des points invariants par f (c’est-à-dire tels quez⁰=z) est la droite∆ d’équationy=^x

2. Tracer∆. Que remarque-t-on ?

4. Démontrer que, pour tout pointMdu plan, le point M⁰est sur la droite∆.

5. Montrer que, pour tout complexez, z⁰−_z

z_A = ^z+z

6 +iz−_z

3 . En déduire que z⁰−_z

z_A est réel.

6. Que peut-on en déduire pour les droites(MM⁰)et (OA)?

7. Comment peut-on construire M⁰connaissantM(on distinguera suivant queMappartient ou non à∆) ?

Exercice 5: ?

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, −→

u , −→ v

.

On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z (z6=− 1) associe le point M⁰ d’affixe z⁰ telle que :

z⁰=−iz−2 z+₁ ^.

Soient A, B et C les points d’affixes respectivesa=−1, b=2i etc=−i.

1. Soit C⁰l’image du point C par f. Donner l’affixec⁰du point C⁰sous forme algébrique.

2. Calculer l’affixeddu point D ayant pour image par f le point D⁰d’affixed⁰=¹ 2.

3. Pour tout nombre complexezdifférent de - 1, on note ple module dez+1 (c’est-à-dire|z+1|=p) et p⁰le module dez⁰+i (c’est-à-dire|z⁰+i|=p⁰).

a. Démontrer que, pour tout nombre complexezdifférent de - 1, on a :pp⁰=√ 5.

b. Si le point Mappartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alorsM⁰= f(M) appartient à un cercle (Γ⁰), dont on précisera le centre et le rayon.

4. Pour tout nombre complexezdifférent de - 1, on considère le nombre complexeω=^z−2i z+1. a. Montrer quez⁰=−iω.

b. Déterminer l’ensemble (F) des pointsMd’affixeztelle quez⁰soit un réel non nul.

c. Vérifier que le point D appartient aux ensembles (Γ) et (F).

5. Représenter les ensembles (Γ), (F) et (Γ⁰) en prenant 4 cm pour unité graphique.

Exercice 6: ?

On considère l’application f qui à tout nombre complexezdifférent de 1, associe le nombre complexe f(z) =²−iz

1−z. L’exercice étudie quelques propriétés de f.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, −→

u , −→ v

d’unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions1et2.

Aest le point d’affixe 1 etBcelui d’affixe−2i.

1. On posez=x+iyavecxetyréels.

Écrire f(z)sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des pointsMd’affixeztels que f(z)soit un réel et représenter cet ensemble.

2. On posez⁰= f(z).

a. Vérifier que i n’a pas d’antécédent par f et exprimer, pour z⁰ différent de i,zen fonction de z⁰.

b. Mest le point d’affixez(zdifférent de 1) et M⁰celui d’affixez⁰(z⁰différent de i).

Montrer queOM= ^M0C

M⁰D oùCet Dsont les points d’affixes respectives 2 et i.

c. Montrer que, lorsque le point Mdécrit le cercle de centreOet de rayon 1 privé du point A, son imageM⁰appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement.

Exercice 7: ?

On définit, pour tout entier natureln, les nombres complexeszpar

{ ^z0

= 16 z_n+1 = ¹+i

2 zn pour tout entier natureln

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origineOon considère les points An d’affixeszn. 1. Calculerz1, z2,z3.

2. Placer dans le repère les points A0, A₁et A2.

3. Démontrer que le triangleOA₀A₁est isocèle rectangle enA₁.

Résultats ou indices

Ex.1:1. P i√ 3

=P −i√ 3

=0, Q(z) =z²−6z+21.2.−i√ 3,i√

3,3−2i√

3 et 3+2i√

3.Réponse don- née.

Ex.2:1.Vraie.2.Fausse.

Ex.3:1.Cercle de centre(−1; 1)et de rayon 32.Droite, médiatrice de A(−1; 1)etB(0; 1), donc d’équa- tionx=−_{0, 5.}

Ex.4:1.0,4+2i

3 ,−2−i.2.Partie réelle : 4x−2y

3 . Partie imaginaire : 2x−y

3 3.Réponse donnée.A⁰,B⁰et C⁰semblent appartenir à cette droite.4.Réponse donnée.5.Réponse donnée.6.Elles sont parallèles.7.

SiMn’appartient pas à ∆, M⁰ est le point d’intersection de la droite∆ et de la droite parallèle à(OA) passant parM, sinon,M=M⁰.

Ex.5:1. −3−3i

2 2.−1+2i3.a.Réponse donnée.3.b.Réponse donnée.4.a.Réponse donnée.4.b.Cercle de centre(−¹

2; 1)et de rayon

√5

2 , privé des pointsAet B(dénominateur(x+1)²+y²non nul).

Ex.6:1. f(z) = ²−_2x+y (1−x)²+y²+^x

2−_x+2y+y²

(1−x)²+y² i,Mappartient au cercle de centreE(¹

2;−1)et de rayon

√5

2 privé du pointA.2.a.z=²−z⁰

i−z⁰ 2.b.Réponse donnée.2.c.La médiatrice de[CD] Ex.7:1.8+8i, 8i,−4+4i.3.Réponse donnée.