BAC BLANC 2018. MATHEMATIQUES. TERMINALE S.

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BAC BLANC 2018.

MATHEMATIQUES.

TERMINALE S.

Durée : 4 heures.

Le sujet comporte cinq exercices.

UTILISER UNE COPIE PAR EXERCICE.

Les exercices 1, 2 et 3 doivent être traités par tous les élèves.

L’exercice 5 ne doit être traité que par les élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité maths.

L’exercice 4 ne doit être traité que par les

élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité

maths.

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EXERCICE 1. Pour tous les candidats.

points

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B.

L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm, sinon cette bille est déclarée invendable. Les Parties I et II sont indépendantes.

Partie I :Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :

 96% de la production journalière est vendable

 La machine A fournit 60% de la production journalière

 La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98%

On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné et on définit les évènements suivants : A : « la bille a été fabriquée par la machine A »

B : « la bille a été fabriquée par la machine B » V : « La bille est vendable ».

1) Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2) Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.

3) Justifier que P(B∩V) = 0,372

4) En déduire la probabilité que la bille soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B.

5) Un technicien affirme que «70% des billes non vendables proviennent de la machine A ».

A-t-il raison ?

Partie II : Les billes vendables sont teintes de façon équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune, ou rouge, puis conditionnées en sachets de 40 billes. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet de 40 billes s’apparente à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière. On considère la variable aléatoire X qui, au prélèvement d’un sac de 40 billes, associe le nombre de billes noires contenues dans ce sac.

1) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2) On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet contienne exactement 10 billes noires. On arrondira le résultat au millième.

3) Quelle est la probabilité de compter plus de 12 billes noires ? On arrondira le résultat au millième.

4) Calculer l’espérance de X et interpréter le résultat.

EXERCICE 2. Pour tous les candidats.

points

On considère les nombres complexes z_n définis pour tout entier n positif ou nul par la donnée de z₀où z₀ est différent de 0 et de 1, et de la relation de récurrence : _n ₁ 1 ¹

n

z ^   z . 1)

a) Dans cette question on suppose quez₀ 2.. Déterminer les nombresz z₁, ₂, z₃, z₄, z₅, z₆. b) Dans cette question z₀ i. Donner la forme algébrique des nombres complexesz z₁, ₂, z₃.en

prenant soin de justifier vos calculs. Puis vous donnerez les expressions algébrique de

4, 5, 6

z z z sans justification.

c) Dans cette question on revient au cas général où z₀est un complexe donné quelconque. Que peut-on conjecturer sur les valeurs prises par z_3n selon les valeurs de l’entier naturel n ? Montrez votre conjecture par récurrence sur n.

2) Déterminer z₂₀₁₆ dans le cas où z₀  1 i

3) Existe-t-il des valeurs de z₀pour lesquelles z₀ z₁ ? Que peut-on dire de la suite z_ndans ce cas ?

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EXERCICE 3. Pour tous les candidats.

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EXERCICE 4. Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.

5 points

Les deux parties A et B sont indépendantes.

Partie A :

Le plan complexe est rapport à un repère orthonormé



^{O u v}^{; ;}^{r r}



. On considère la droite (D) d’équation 7x3y 1 0 . On définit la suite

 

A_n de points de coordonnées



x y_n; _n



vérifiant, pour tout entier naturel n :

0 0

1 2 x y

 

  ^et

1

13 3

2

35 8

2

n n n

x x y

y x y



   



   



1) On note M la matrice

13 3 2 35 8

2 M

 

 

  

 

 

 

et on pose _n ⁿ

n

X x y

   

 

a) Montrer que pour tout entier naturel n on a X_n_₁M X _n b) Exprimer, pour tout entier naturel n, X_n en fonction de Mⁿ 2) On considère la matrice 2 3

5 7

P   

   

a) Montrez que la matrice P est inversible et donner son inverse P^¹

b) Montrez que P MP^¹ est une matrice diagonale D que l’on précisera, en prenant soin de détailler les calculs.

c) Pour tout entier naturel n, exprimerDⁿsans justification.

d) Montrez par récurrence que, pour tout entier naturel n, Mⁿ PD Pⁿ ^¹

3) On admet que, pour tout entier naturel n,

15 6

14 6

2 2

35 14

35 15

2 2

n n

n

n n

M

   

 

  

   

 

 

. En déduire une expression de x_n et

ynen fonction de n.

4) Montrer que, pour tout entier naturel n le point A_n appartient à (D).

5) Conclure sur le comportement de la suite

 

An lorsque n tend vers l’infini.

Partie B :

On considère x et y deux entiers relatifs qui vérifient le système (S) :

 

3 1 mod 6

3 mod 6 x y

x y

  

  



1) Montrez que ⁴^x^^{4 mod 6}

 

2) A l’aide d’un tableau, montrez que ⁴^x^^{4 mod 6}

 

est équivalent à ^x^^{1 mod 6}

 

^ou^x^^{4 mod 6}

 

3) En déduire les couples

 

x y; solutions du système (S)

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Nom/prénom : ……….. TS …..

EXERCICE 5. Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.

5 points

Cet exercice se fait directement sur cette feuille qui est à rendre avec la copie.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires SEF et SFG.

• Les plans (SOA) et (SOC) sont perpendiculaires.

• Les plans (SOC) et (EAB) sont parallèles, de même que les plans (SOA) et (GCB).

• Les arêtes [UV) et [EF] des toits sont parallèles.

Le point K appartient au segment [SE], le plan (UVK) sépare la véranda en deux zones, l’une éclairée et l’autre ombragée. Le plan (UVK) coupe la véranda selon la ligne polygonale KMNP qui est la limite ombre- soleil.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1) Le segment [KM] est parallèle au segment [UV].

2) Le segment [NP] est parallèle au segment [UK].

………

……….

………

……….

………

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Partie B

On considère un cube ABCDEFCH donné ci-dessous. On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que HP=Ä 1

4HG. Ä

Partie A : Section du cube par le plan (MNP)

1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L. Construire le point L.

2. On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d’intersection.

On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d’intersection.

a. Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction.

b. Construire l’intersection des plans (MNP) et (ABF) sans justifier.

3. En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).

On ne demande pas de justifier.

……….

………