EN TGRH (2h) .
L’ordre des exercices n’a pas d’importance.
La clarté de la rédaction et des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. La calculatrice est autorisée.
I ( 6 points)
Un propriétaire propose à partir du 1er janvier 2000 un appartement dont le loyer annuel initial est 6 000 €.
Il envisage deux types d'augmentation :
1°) Dans le premier cas, le loyer annuel augmenterait chaque année de 200 €.
On désigne par Pn le montant annuel du loyer pour l'année (2000 + n). On a donc P0 = 6 000.
a. Calculer Pl et P2.
b. Quelle est la nature de la suite (Pn ).
c. Exprimer Pn en fonction de n.
d. Quel serait le montant annuel du loyer en 2015, arrondi à l'euro près ? e. Calculer le montant total des loyers versés de 2000 à 2015 compris.
2°) Dans le deuxième cas, le loyer annuel augmenterait de chaque année de 3 %.
On désigne par Qn le montant annuel du loyer pour l'année (2000 + n). On a donc Q0 = 6 000.
a. Calculer Q1 etQ2.
b. Quelle est la nature de la suite (Qn ).
c. Exprimer Qn en fonction de n.
d. Quel serait le montant annuel du loyer en 2015, arrondi à l'euro près ? e. Calculer le montant total des loyers versés de 2000 à 2015 compris.
II ( 5 points)
Pour chacune des trois questions de ce questionnaire à choix multiple (QCM), une seule des trois propositions est exacte .Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte, -0,5 si la réponse est fausse, zéro sinon. Aucune justification n'est demandée.
1°) Un prix T.T.C. est de 129,90 € avec une T.V.A. à 19,6 %. Le prix H.T.arrondi au centime est de : a. 155,36 €; b. 104,40 €; c. 108,61 €.
2°) Le prix d'un produit augmente de 8 %, puis diminue de 7 %. Finalement la variation est : a. une augmentation de 0,44 % ; b. une diminution de 1 % ; c. une augmentation de 1 %.
3°) Si 3 400 a pour indice 100, quel est l'indice de4318 ?
a. 79 ; b. 127 ; c. 27 %.
4°) Le volume d'un ballon publicitaire a augmenté de 60 % sous l’effet de la chaleur.
Pour retrouver son volume initial il doit maintenant diminuer de : a. 40 % ; b. 37,5 % ; c. 60 %.
5°) Entre le 01/01/2000 et le 01/01/2005 le coût de la vie a augmenté de 17%. Cela correspond à une hausse annuelle moyenne arrondie au centième, de :
a. 3,4 % ; b. 3 % ; c.3,19 %.
III ( 6 points)
En 1990, une entreprise de fabrication de jouets a été créée. Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du pourcentage des salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise.
Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre x d'années écoulées depuis 1990 et le pourcentage y de salariés à temps partiel correspondant.
Années 1992 1994 1995 1998 1999 2001 2002 2003
x 2 4 5 8 9 11 12 13
y (en %) 8,9 10,2 10,5 12,2 12,3 13,2 13,8 14,9
1°) Dans un repère orthonormal (O ;i j,
) d'unité graphique 1 cm, représenter le nuage des points M de coordonnées (x ; y).
2°) Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique précédent.
3°) Déterminer les coordonnées du point moyen G1 du nuage formé des quatre premiers points et placer ce point sur le graphique.
4°) Déterminer les coordonnées du point moyen G2 du nuage formé des quatre dernier points et placer ce point sur le graphique.
5°) Montrer que l’équation réduite de la droite (G1G2) est y = 0.48x + 8.17, où les coefficients ont été arrondis au centième. La droite (G1G2) s’appelle la droite de Mayer.
6°) Le point G appartient-il à (G1G2) ?
7°) Tracer cette droite sur le graphique précédent.
8°) En utilisant l’ajustement affine précédent, quel sera le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise en 2007 ?
9°) En utilisant l’ajustement affine précédent, déterminer en quelle année le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés sera d’au moins 20 % ?
10°) Avec votre calculette trouver l’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y en x. On donnera les résultats à 0,01près. Comparer avec 5°).
IV ( 3 points)
2 1 ( ) 3 2 f x x
x
= +
−
2
( ) 4 1 g x x
= x +
3 2 1
( ) 5 4
h x = x − x −3
BAC BLANC DE MATHEMATIQUES, TGRH
I ( 6 points)
1a. D’après l’énoncé P1= +P0 200=6200 et P2= +P1 200=6400.
1b. Pour passer d’un terme au suivant on ajoute toujours 200€, donc la suite est arithmétique de raison 200 et de premier terme 6000.
1c. On sait alors que Pn =P0+nr cad Pn =6000+200n.
1d. Comme Pn correspond à 2000+n, c’est P15 qui correspond à 2015. On a P15 =6000 15 200+ × =9000€.
1e. On cherche à déterminer 0 1 ... 15 1 16 6000 9000 120 000€
2 2
er dernier
P + + +P P =nbre de termes× + = × + = .
2a. Pour augmenter un nombre de 3% on le multiplie par 1 + 3
100 = 1.03.
Ainsi, Q0 =1.03 6000× =6180, Q1=1.03 6180× =6365.4
2b. Pour passer d’un terme au suivant on multiplie toujours 1.03, donc la suite est géométrique de raison 1.03 et de premier terme 6000.
2c. On a alors Qn =Q0×qn cad Qn =6000 1.03× n.
2d. En 2015, le loyer sera de Q15 =6000 1.03× 15≈9348€ (arrondi à l’euro).
2e. On cherche à déterminer
16
0 1 15
1 1 1.03
... 1 6000 120941
1 1 1.03
nbre de terme
Q Q Q er terme q
q
− −
+ + + = × = ≈
− − €.
II ( 5 points)
1°) Un prix T.T.C. est de 129,90 € avec une T.V.A. à 19,6 %. Le prix H.T.arrondi au centime est de : a. 155,36 €; b. 104,40 €; c. 108,61 €.
Comme PTTC =1.196PHT on a 108.61€
1.196
TTC HT
P = P ≈ .
2°) Le prix d'un produit augmente de 8 %, puis diminue de 7 %. Finalement la variation est : a. une augmentation de 0,44 % ; b. une diminution de 1 % ; c. une augmentation de 1 %.
Le coefficient multiplicateur global est de 1.08 0.93 1.0044× = qui correspond a une hausse de 0.44%.
3°) Si 3 400 a pour indice 100, quel est l'indice de4318 ?
a. 79 ; b. 127 ; c. 27 %.
On a donc 4318 100 127
I= 3400× = .
4°) Le volume d'un ballon publicitaire a augmenté de 60 % sous l’effet de la chaleur.
Pour retrouver son volume initial il doit maintenant diminuer de : a. 40 % ; b. 37,5 % ; c. 60 %.
On a 1.6 1
f i i 1.6 i
V = V ⇒V = V or 1 0.625
1.6= donc Vi =0.625Vi et multiplier par 0.625 revient à appliquer une baisse de 1-0.625 = 37.5 %
5°) Entre le 01/01/2000 et le 01/01/2005 le coût de la vie a augmenté de 17%. Cela correspond à une hausse annuelle moyenne arrondie au centième, de :
a. 3,4 % ; b. 3 % ; c.3,19 %.
On a
1
5 5
(1+tm) =1.17⇒tm =1.17 − ≈1 3.19%. 3400 4318
100 I
III ( 6 points)
Années 1992 1994 1995 1998 1999 2001 2002 2003
x 2 4 5 8 9 11 12 13
y (en %) 8,9 10,2 10,5 12,2 12,3 13,2 13,8 14,9
1°) Voir figure jointe..
2°) Le point moyen a pour coordonnées la moyenne des abscisse et la moyenne des ordonnées. On a donc
(
8;12)
G .
3°) De même, on a G1
(
4.75;10.45)
. 4°) Et on a G2(
11.25;13.55)
.5°) La droite est non verticale donc son équation est du type y = ax + b.
> 2 1
2 1
13.55 10.45 11.25 4.75 0.48
G G
G G
y y
a x x
− −
= = ≈
− − .
> on a donc y = 0.48x + b et comme G1
(
4.75;10.45)
est sur la droite, ses coordonnées vérifient l’équation d’où 10.45=0.48 4.75× +b⇒b=10.45 0.48 4.75− × =8.17> ainsi, l’équation réduite de la droite (G1G2) est y = 0.48x + 8.17, où les coefficients ont été arrondis au centième.
6°) Remplaçons l’abscisse de G dans l’équation : 0.48 8 8.17× + =12.01≠yG donc il semble que non.
Cependant, les erreurs d’arrondis nous ont peut être trompés…
7°) Voir figure..
8°) 2007 correspond à x = 17 donc y=0.48 17 8.17× + ≈16.33 et on peut estimer à 16.33% le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise en 2007.
9°) On veut résoudre l’inéquation y≥20⇔0.48x+8.17≥20⇔0.48x≥11.83⇔ ≥x 24.6 soit x = 25.
Dès 2015, le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés sera d’au moins 20 %.
10°) Avec la calculette trouver l’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y en x est de y = 0.5x + 8.01, ce qui est cohérent avec la méthode de Mayer.
IV ( 3 points)
Il s’agit d’utiliser la formule u ' u v v u' 2 '
v v
−
=
pour f et g.
2 1 ( ) 3 2 f x x
x
= +
− : 2 1 ' 2
3 2 ' 3
u x u
v x v
= + =
⇒
= − =
donc
( ) ( )
( )
2( )
22 3 2 3 2 1 7
'( )
3 2 3 2
x x
f x
x x
− − + −
= =
− − .
2
( ) 4 1 g x x
= x
+ :
2 ' 2
' 4 4 1
u x
u x v x v
=
=
⇒
= + =
donc
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 4 1 4 4 2
'( )
4 1 4 1
x x x x x
g x
x x
+ − +
= =
+ + .
3 2 1
( ) 5 4
h x = x − x −3 : on a directement h x'( )=15x2−8x.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 1
5 6
x y
G1
G2
