Bac blanc n°2 Terminale S

Bac blanc n°2 Terminale S

Durée : 4 heures 09/04/2008

La clarté des réponses, la justification des résultats et la qualité de la rédaction entreront pour une part importante dans la note. Les élèves non spécialistes traiteront l’exercice 3 – les nombres

complexes – et les spécialistes l’exercice 3 – les similitudes indirectes - . Chaque exercice sera commencé sur une nouvelle page.

Vos professeurs attentionnés vous souhaitent bon courage.

Exercice 1 – La géométrie dans l’espace – 5 points

Soit ABCD un tétraèdre tel que (AB) et (CD) soient orthogonales et BC = BD.

A

B

C

D

A'

On note A’ le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ACD Partie A

1. a. Démontrer que (CD) est perpendiculaire au plan (ABA’).

b. Que représente (BA’) dans le triangle BCD ? Que peut-on en déduire pour A’ ? c. En déduire la nature du triangle ACD. Que peut-on dire du plan (ABA’) ?

2. Démontrer que : ^{CD. CA}

(

^+DB

)

^=0.

3. Soit G le barycentre du système de points pondérés {(A ; −1) ; (B ; 2) ; (C ; 1) ; (D ; 1)}.

Démontrer que G appartient au plan (ABA’).

4. a. Démontrer que pour tout point M de l’espace ^2MB-MC-MD =^{2 'A B} .

b. Caractériser l’ensemble (

E

) des points M de l’espace tels que :

(

-MA+2MB+MC+MD . 2MB-MC-MD

) (

)

=0

. c. Caractériser l’ensemble (

F

) des points M de l’espace tels que :

2 -MA+2MB+MC+MD =3 2MB - MC - MD

. Partie B

Soit (O ; , , )i j k

un repère orthonormal de l’espace (unité graphique : 1 cm).

On donne les points : A(1 ; 3 ; −2), B(1 ; 1 ; 0), C(4 ; 0 ; −2) et D(2 ; 4 ; 2).

1. Déterminer les coordonnées de A’ milieu de [CD].

2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABA’).

3. Déterminer la distance du point C au plan (ABA’).

4. Déterminer les coordonnées du point G (Partie A. 3.)

Question bonus : Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble (

F

). (Partie A 4. c.) Exercice 2 – Probabilités – 3 points

Cet exercice est un QCM constitué de cinq questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant à la réponse choisie.

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Durée : 4 heures 09/04/2008

Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.

40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.

1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est : a. 0,4 b. 0,75 c. ¹

150.

2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :

a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4

3. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :

a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3

4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :

a. 0,9 b. 0,7 c. 0,475

5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est : a. ⁴

150 b. ¹²

19 c. 0,3

Question bonus : Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque. La probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est : a. 1

−

(0,25)²⁰ b. 20

×

0,75 c. 0,75

×

(0,25)²⁰ Exercice 3 – Les nombres complexes – 5 points

1. Résoudre ℂ dans l’équation : 4 ² 12z − z+153=0.

2. Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ;O u v, ), d’unité graphique 1 cm, on considère les points A, B, C et P d’affixes respectives 3

2 6

zA = + i, 3 2 6

zB = − i, 1

3 4

zC = − − i, z_P = +3 2i et le vecteur w

d’affixe 5

1 2 zw = − + i.

a) Déterminer l’affixe zQ du point Q, image du point B dans la translation t de vecteur w

. b) Déterminer l’affixe zR du point R, image du point P par l’homothétie h de centre C et

de rapport 1

−3.

c) Déterminer l’affixe z_S du point S, image du point P par la rotation r de centre A et d’angle

2

−π .

Placer les points P, Q, R et S.

3. a) Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.

b) Calculer ^{R Q}

P Q

z z

z z

−

− .

En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.

c) Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté Γ. On calculera l’affixe de son centre Ω et son rayon ρ.

4. La droite (AP) est-elle tangente au cercleΓ ?

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Durée : 4 heures 09/04/2008

Exercice 3 – Les similitudes indirectes – 5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O u v; , ). On prendra sur la figure 1 cm pour unité graphique.

On désigne par

A

,

B

et

C

les points d’affixes respectives− +1 i, 3+2i et i 2.

1. On considère la transformation

f

du plan dans lui-même qui à tout point

M

d’affixe

z

associe le point M ‘ =

f

(

M

) d’affixe

z

‘ définie par :

' 1 1 (1 2)

2

z = +i z− +i + _. a. Calculer les affixes des points A ‘ =

f

(

A

) et

C

’ ‘ =

f

(

C

).

b. En déduire la nature de

f

et caractériser cette transformation.

c. Placer les points

A

,

B

et

C

puis construire le point

B ‘

=

f

(

B

).

2. a. Donner l’écriture complexe de l’homothétie

h

de centre

A

et de rapport ². b. Montrer que la composée ^{g=f h} a pour écriture complexe ^z''= +^{(1 i z)} − +^{1 3i}

3. a. Soit

M

0 le point d’affixe 2−4i. Déterminer l’affixe du point M0′′ =g M( 0) puis vérifier que les vecteurs ^AB et AM0′′

sont orthogonaux.

b. On considère un point

M

d’affixe

z

. On suppose que la partie réelle

x

et la partie imaginaire

y

de

z

sont des entiers. Démontrer que les vecteurs ^AB et ^AM′′

sont orthogonaux si, et seulement si, 5x+3y= −2.

c. Résoudre dans ^ℤ2 l’équation 5x+3y= −2.

d. En déduire les points

M,

dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l’intervalle [ 6 ; 6]− , tels que AB

et AM′′

sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure.

Exercice 4 – Fonctions, intégrales et suites – 8 points

On s’intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d’une

entreprise. Les fonctions

f

associées définies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent vérifier les conditions suivantes :

(1)

f

(0)

=

0 et

f

(1)

=

1 ;

(2)

f

est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] ;

(3) Pour tout réel

x

appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

f

(

x

) ≤

x

. I. Étude d’un modèle

On appelle

g

la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par

g

(

x

)

= xe

^x−1. 1. Prouver que

g

vérifie les conditions (1) et (2).

2. Montrer que ^{g x( )− =x x}_e

(

^ex−e

)

et en déduire que

g

vérifie la condition (3).

(Tracer à la calculatrice les droites d’équations

y = x

et

x =

1 et la courbe représentative de

g )

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II. Un calcul d’indice

Pour une fonction

f

vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice

I

f

égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites d’équations

y = x

,

x =

1 et la courbe représentative de

f

.

1. Justifier que ¹

[ ]

0 f ( )

I =

∫

x−f x dx^.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice

I

g, associé à

g

. 3. On s’intéresse aux fonctions

f

n, définies sur l’intervalle [0 ; 1] par ^{( ) 2}

1

n n

f x x

= x

+ où

n

est un entier naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de leur indice

I

n lorsque

n

tend vers l’infini.

a. On pose ¹

[ ]

0

n n( )

I =

∫

x−f x dx ^{et un =}

∫

₀^{1f x dxn( )} . Prouver que ¹

n 2 n

I = −u . b. Comparer

1

1 tn

t

+

+ ^et 1 tn

+t sur l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (

u

n) est décroissante.

c. Prouver que pour tout réel

t

appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

1

0 1

n n

t t

t

≤ + ≤ + . d. En déduire que pour tout entier naturel

n

≥ 2, ^{0 2}

n 1

u n

≤ ≤ + . e. Déterminer alors la limite de

I

n quand

n

tend vers l’infini.

Bonne continuation…