Correction BAC BLANC Exercice 1

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Correction BAC BLANC

Exercice 1

^{4 points}

1. d. 0,75.

2. c. P(X 62)≈0,012.

3. b. 26 Z2

0 f(x) dx63.

4. a. I=e²+2.

Exercice 2

(D’après sujet bac Centre étranger juin 2015)

1. Au premier janvier 2016, on a perdu 15 % des vélos, soit : 200× µ

1− 15 100

¶

=200×0,85, mais on rajoute 42 nouveaux vélos mis en service, soit : 200×0,85+42=212.

2. Cette démarche restant la même si nous passons d’une annéenà une annéen+1, on perd toujours 15 % des vélos, soit encore :un×0,85 auquel on rajoute 42 nouveaux vélos, soit encore :u_n×0,85+42=u_n+1.

Ainsi :u_n+1=0,85un+42 avecu₀=200, nombre de vélos au départ.

3. a. On obtient :U=238 etN=4.

U 200 212 222 231 238

N 0 1 2 3 4

ConditionN<4 Vrai Vrai Vrai Vrai Faux

b. En 2019, nous aurons 238 vélos.

4. a. Nous avons : v_n+1 = u_n+1−280

= 0,85un+42−280

= 0,85vn+280−238

= 0,85(vn+280)−238 caru_n=v_n+280

= 0,85vn+238−238

= 0,85vn

(vn) est donc bien géométrique de raisonq=0,85 et de premier terme :v₀=u₀−280= 200−280= −80.

b. Le terme général d’une suite géométrique de premier termev₀vaut :v_n=v₀×qⁿ. Soit encore :v_n= −80×0,85ⁿ.

c. Or :un=vn+280.

Ainsi :u_n= −80×0,85ⁿ+280.

d. lim

n→+∞0,85ⁿ=0 car il est de la forme lim

n→+∞qⁿavec 0<q<1 donc lim

n→+∞80×0,85ⁿ=0 et finalement lim

n→+∞

−80×0,85ⁿ+280=280 Donc : lim

n→+∞u_n=280.

Le nombre de vélos sera très proche de 280 quand le nombre d’années écoulées sera grand.

5. Au 31 décembre 2019 cinq années se sont écoulées, il faudra donc calculer le nombre de vélos pournvariant de 0 à 4 avecu₄≈238.

On a :u0+ · · · +u4≈200+212+222+231+238=1103 vélos.

Le coût unitaire d’un vélo est de 300€, le coût total est donc de : 1103×300=330900€.

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Exercice 3

(D’après sujet bac métropole juin 2016)

Partie A

1. Une chanson est choisie au hasard et de façon équiprobable donc :p(R)= 960

3200=0,3.

2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français donc : p_R(F)= 35

100 =0,35.

3. D’après l’arbre on a :p(R∩F)=p(R)×pR(F)=0,3×0,35=0,105

La probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français vaut 0,105.

4. D’après la formule des probabilités totales :

p(F)=p(R∩F)+p(R∩F) donc :p(F∩R)=p(F)−p(R∩F)

Or 38,5 % des chansons sont interprétées en français doncp(F)=0,385.

doncp(F∩R)=0,385−0,105=0,28 5. p_R(F)= p(F∩R)

p(R) = 0,28 1−0,3=0,4

40 % des chansons qui ne sont pas dans la catégorie rock sont interprétées en français.

Partie B

1. À la calculatrice, on trouvep(156X 645)≈0,866donc la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes vaut environ 0,866.

2. À la calculatrice, on trouvep(X >₆₀₎^≈_0,001donc la probabilité que cette écoute dure plus d’une heure vaut environ 0,001.

3. À la calculatrice, on trouve quep(X 6_a)⁼0,8 lorsquea ≈38 cela signifie que 80 % des chansons durent au plus 38 minutes.

Exercice 4

D’après sujet bac Liban mai 2014)

Partie A

1. a. Lorsqueu est une fonction dérivable sur un intervalle, la dérivée de la fonctione^usur cet intervalle estu^′e^u. On a donc f^′(x)=1−e⁻^x⁺^0,5

b. On a :

f^′(x)=0⇐⇒1−e⁻^x⁺^0,5=0⇐⇒e⁻^x⁺^0,5=1⇐⇒e⁻^x⁺^0,5=e¹⇐⇒ −x+0,5=0⇐⇒x=0,5.

La Dérivée s’annule lorsquex=0,5.

c. On a :

f^′(x)>0⇐⇒1−e⁻^x⁺^0,5>0⇐⇒e⁻^x⁺^0,5<1⇐⇒ −x+0,5<0⇐⇒x>0,5.

f^′est donc positive sur [0 ; 0,5] et négative sur [0,5 ; 5].

d. On en déduit le tableau de variation suivant :

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x 0 0,5 5

f^′(x) −−− 0 +++

1+e^0,5 6+e⁻^4,5

f

2,5 2. a. Par lecture graphique :

26α6_2,5.

b. Les solutions de l’inéquation f(x)<1,5xsont les abscisses des points deC qui sont en dessous de la droite∆. On lit :f(x)<1,5x ⇐⇒ x∈[α; 5].

Partie B Application

1. a. On utilise la valeur pour laquelle le minimum de la fonctionf est atteint. Il faut produire 50 cartes pour que le coût d’utilisation de la machine soit minimal.

b. Le bénéfice obtenu est la différence entre la recette et les coûts d’utilisation donc B(x)=1,5x−f(x)=1,5x−(x+1+e⁻^x⁺^0,5=0,5x−1−e⁻^x⁺^0,5. 2. a. On a :

B^′(x)=1,5−f^′(x)=1,5−1+e⁻^x⁺^0,5=0,5+e⁻^x⁺^0,5.

Une exponentielle est toujours positive, doncB^′est strictement positive sur [0 ; 5] donc B est strictement croissante sur [0 ; 5].

b. B(0)= −1−e^0,5<0≈ −2,6 etB(5)=1,5−e⁻^4,5≈1,5>0.

La fonctionBest continue et strictement croissante sur [0 ; 5] et 0 se trouve entreB(0) et B(1) . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationB(x)=0 a une et une seule solutionβ.

D’après la calculatriceB(2,32)≈ −0,002<0 etB(2,33)≈0,0046>0 donc 2,32<β<2,33.

3. L’entreprise réalise un bénéfice lorsqu’elle produite 233 de cartes ou plus.

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