2009-2010, DS01

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php DS 01 : Terminale STG CF

1 DS 01 Terminale STG CF

2 heures – calculatrice autorisée – Barême donné à titre indicatif Rédaction et présentation rentreront en compte dans la notation de la copie.

EXERCICE 1 (12 pts)

Le tableau ci-dessous présente la part en pourcentage des dépenses des ménages français consacrée à l’alimentation et celle consacrée aux services de santé.

Par exemple, dans le tableau précédent, les dépenses alimentaires en 1970, représentent 26% des dépenses des ménages français.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A.

1. a. Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points d’abscisse le rang de l’année et d’ordonnée la part en pourcentage des produits alimentaires en prenant pour unités graphiques : 1 cm pour 5 unités sur l’axe des abscisses, 0,5 cm pour une unité sur l’axe des ordonnées.

b. Justifier qu’une approximation affine est envisageable.

c. L’aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droite D qui passe par les points A(0 ;31,31) et ₁ B(30 ;18,77).

Prouver que D a pour équation ₁ y= −0, 418x+31, 31 et construire la droite D dans le repère précédent. ₁ d. En utilisant l’ajustement précédent, estimer graphiquement la part en pourcentage des dépenses alimentaires des ménages français en 2005.

2. a. Sur le même graphique que précédemment, construire le nuage de points d’abscisse le rang de l’année et d’ordonnée la part en pourcentage des services de santé.

b. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et placer ce point sur le graphique. ₂

c. L’aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droite D passant par ₂ G et admettant comme coefficient ₂ directeur 0,123. Déterminer une équation de D et la tracer. ₂

3. a. Déterminer graphiquement le point d’intersection de D et ₁ D . ₂

b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection de D et ₁ D à 0,1 près. ₂

c. Quelles prévisions fondées sur les ajustements précédents, l’abscisse de ce point d’intersection permet-elle de réaliser ?

Partie B.

1. Déterminer une équation de la droite des moindres carrés permettant d’exprimer la part des produits alimentaires en fonction du rang de l’année.

2. Reprendre alors la question A1d.

Années 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Rang de l’année 0 5 10 15 20 25 30 35

Part des produits alimentaires (en %)

33,3 29,6 26 23,5 21,4 20,7 19,2 18,2

Part des services de santé (en %) 6 6,1 6,9 7,8 7,7 8,4 9,5 10,3

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2

Exercice 02 (8 points)

En 1990, une entreprise de fabrication de jouets a été créée. Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du pourcentage des salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise.

Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre x d'années écoulées depuis 1990 et le pourcentage y de salariés à temps partiel correspondant.

Années 1992 1994 1995 1998 1999 2001 2002 2003

x 2 4 5 8 9 11 12 13

y (en %) 8,9 10,2 10,5 12,2 12,3 13,2 13,8 14,9

1. Dans un repère orthonormal (O ;i j,

) d'unité graphique 1 cm, représenter le nuage des points M de coordonnées (x ; y).

2a. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique précédent.

2b. Déterminer les coordonnées du point moyen G₁ du nuage formé des quatre premiers points et placer ce point sur le graphique.

2c. Déterminer les coordonnées du point moyen G₂ du nuage formé des quatre dernier points et placer ce point sur le graphique.

3. Déterminer l’équation de la droite (G₁G₂). La droite (G₁G₂) s’appelle la droite de Mayer.

4. Vérifier que le point G appartient à (G1G2).

5. Tracer cette droite sur le graphique précédent.

6. En utilisant l’ajustement affine précédent, quel sera le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise en 2007 ?

BONUS

7. En utilisant l’ajustement affine précédent, déterminer en quelle année le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés sera d’au moins 20 % ?

8. Avec votre calculette trouver l’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y en x. On donnera les résultats à 0,01près. Comparer avec 7.

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3 DS 01 - Corrigé

EXERCICE 1

1a. Voir graphique ci-dessous

1b. Les points du nuage étant tous à peu prés alignés, une approximation affine est envisageable.

1c. Deux méthodes sont possibles :

> Méthode 1 : A partir de A et B, on retrouve une équation de la droite, comme si on ne nous la donnait pas.

> Méthode 2 : on utilise l’équation qu’on nous propose.

Le point A(0 ;31,31) est sur D₁ car ses coordonnées vérifient l’équation de D₁. Si x = 0 : −0, 418 0× +31, 31=31, 31.

De même, Si x = 30 : −0, 418 30 31, 31× + = =... 18, 77 donc B(30 ;18,77) est lui aussi sur D₁.

Comme il existe une seule droite qui passe par deux points donnés, D₁ est la droite (AB) et l’équation proposée est la bonne.

1d. 2005 = 1960 + 45 donc l’année 2005 correspond au rang 45.

Graphiquement, on peut estimer que la part des dépenses alimentaires sera environ de 12,5%.

2a. Voir graphique ci-dessous.

2b. Les coordonnées du point moyen G₂ de ce nuage de 8 points sont données par la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées : on trouve G2

(

17,5; 7,8375

)

.

2c. Cherchons l’équation affine de la droite D₂ passant par G₂ et admettant comme coefficient directeur 0,123.

Elle est du type y = 0,123x + b. Comme les coordonnées de G₂ vérifient cette équation, nous avons 7,8375 = 0,123 * 17,5 + b donc b = 7,8375 - 0,123 * 17,5 = 5,685.

Ainsi D₂:y=0,123x+5, 685 : pour la tracer, on utilise le fait qu’elle passe par G₂ et C(0 ; 5,685).

3a. Graphiquement le point d’intersection de D₁ et D₂ a pour coordonnées environ (47 ; 11,5).

3b. Par le calcul, on doit résoudre le système suivant : 0, 418 31,31 0, 418 31, 31

0,123 5, 685 0, 418 31,31 0,123 5, 685

0, 418 47, 4 31, 31 11,5 0, 418 31, 31

25, 625 47, 4 0, 418 0,123 5, 685 31, 31

0,541

y x y x

y x x x

y x y

x x x

= − + = − +

 

⇔

 

= + − + = +

 

= − × + ≈

= − + 

 

⇔ ⇔ −

= ≈

− − = −

  −

.

On obtient donc le point de coordonnées (47,4 ; 11, 5), ce qui est cohérent avec la lecture graphique.

3c. Le rang 47,4 correspond à l’année « 2007,4 » soit le mois de Mars 2007.

Ainsi, courant 2007, selon notre ajustement, on peut prévoir que la part des dépenses alimentaires sera identique à la part des dépenses pour les services de santé (environ 11,5% des dépenses du ménage).

Années 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Rang de l’année 0 5 10 15 20 25 30 35

Part des produits alimentaires (en %)

33,3 29,6 26 23,5 21,4 20,7 19,2 18,2

Part des services de santé (en %) 6 6,1 6,9 7,8 7,7 8,4 9,5 10,3

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4 Partie B

1. Par la méthode des moindres carrés, on trouve comme droite d’ajustement D : y= −0.418x+31.31 (cad la droite D₁).

2. Pour x = 45, on trouve y= −0.418 45 31.31 12.5× + ≈ ce qui correspond à la lecture graphique du A1d.

Exercice II

Années 1992 1994 1995 1998 1999 2001 2002 2003

x 2 4 5 8 9 11 12 13

y (en %) 8,9 10,2 10,5 12,2 12,3 13,2 13,8 14,9

1. Voir figure jointe.

2a. Le point moyen a pour coordonnées la moyenne des abscisse et la moyenne des ordonnées. On a donc ^G

(

^8;12

)

^.

2b. De même, on a G1

(

4.75;10.45

)

. 2c. Et on a G2

(

11.25;13.55

)

. 3. La droite est non verticale donc son équation est du type y = ax + b, avec :

> ² ¹

2 1

13.55 10.45 11.25 4.75 0.48

G G

y y

a x x

− −

= = ≈

− − .

> d’où y = 0.48x + b et comme G1

(

4.75;10.45

)

est sur la droite, ses coordonnées vérifient l’équation d’où 10.45=0.48 4.75× +b⇒b=10.45 0.48 4.75− × =8.17

> ainsi, l’équation réduite de la droite (G₁G₂) est y = 0.48x + 8.17, où les coefficients ont été arrondis au centième.

4. Remplaçons l’abscisse de G dans l’équation : 0.48 8 8.17× + =12.01≠ y_G donc il semble que non.

Cependant, les erreurs d’arrondis nous ont peut être trompés… G est le point moyen du nuage donc par construction ,c’est le milieu de [G G ] donc il est bien sur la droite (₁ ₂ G G ) ! ₁ ₂

6. 2007 correspond à x = 17 donc y=0.48 17 8.17× + ≈16.33 et on peut estimer à 16.33% le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise en 2007.

7. On veut résoudre l’inéquation y≥20⇔0.48x+8.17≥20⇔0.48x≥11.83⇔ ≥x 24.6 soit x = 25.

Dès 2015, le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés sera d’au moins 20 %.

8. Avec la calculette l’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y en x est donnée par y = 0.5x + 8.01, ce qui est cohérent avec la méthode de Mayer.