2009-2010, DS01

2^nde 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7 DEVOIR SURVEILLE n° 1 25/09/09 Durée : 2 heures

Calculatrice INTERDITE

Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation

Exercice 1 : (3 points)

Répondre aux questions suivantes en justifiant les réponses vraies à l’aide d’une définition ou d’un raisonnement, et les réponses fausses à l’aide d’un contre-exemple.

1) –3 est-il un nombre décimal ? 2)

9

25

3) ^{14 22}

3 − 6 est-il un entier relatif ?

4) L’opposé d’un entier relatif est-il un entier naturel ? 5) L’inverse d’un nombre décimal est-il un nombre décimal ? 6) ( 3+

2

2

Exercice 2 : (1 point)

Pour les nombres suivants, indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel il appartient.

Justifier les réponses brièvement.

51022,66 ; - 6

25 ; 7 ;

1 2

1 1 2

1

− +

−

Exercice 3 : (3 points)

Ecrire sous la forme d’une fraction irréductible les nombres suivants :

a) 7 1 5

24+16−12 b) 2 4 5 3 2 4 5 3 +

− c)

1 2

1 3 1 3

 

+  − 

 

Exercice 4 : (3 points)

Simplifier et donner le résultat sous la forme d’un produit ou d’un quotient de puissances d’exposants positifs des nombres 2, 3, 5, 7.

A = 49 (50 7)²×32

× ^{; B=}

3 2 3

2 4

(2 ) (3 8) ( 9) 16

× ×

− × ^{; C}

=

5

1

-

5 1

Exercice 6 :(5 points)

1) Comparer les nombres suivants : a) 7

2 et 8 3

b) π et ⁵¹¹ 209 c) 5

2+x

et 10 2 7+ x

avec xentier naturel

d) x 1 x

− et 1 x

x+ ^avec x entier naturel non nul.

2) Résoudre les équations et inéquations suivantes : a) 2 -

3 +5 x = 6

b) 2x - 7

2x > 7

c) -3(x+ 5) ≤ 2 x- 6

Exercice 7 (1 point) :

La vitesse de la lumière, que nous noterons c, est estimée à ^{3 10}× ^{8m s. −1}.

1) Sachant que qu’un rayon issu du soleil mets environ 8 minutes pour atteindre la terre, déterminer la distance Terre-Soleil. Le résultat sera exprimé en écriture scientifique en mètres.

Questions bonus :

2) Une année-lumière est la distance que parcourt la lumière en un an (365 jours). Déterminer l’écriture scientifique, en kilomètres, d’une année-lumière.

3) Sachant que le big-bang aurait eu lieu il y 14 milliards d’années, déterminer le rayon de l’univers exprimé en kilomètres.

Corrigé DS 01 - Seconde Exercice 1

1. − ∈3 ℤ donc − ∈3 ID : vrai.

2. ^{25 25 5}

9 = 9 = ∈9 ℚ car quotient de deux entiers relatifs : vrai.

3. ^{14 22 28 22 6} 1

3 − 6 = 6 − 6 = = ∈ ⊂6 ℕ ℤ : vrai.

4. Prenons x = 3 qui est un entier relatif : l’opposé de x est –3 qui n’est pas un entier naturel. La proposition

« L’opposé d’un entier relatif est un naturel » est donc fausse.

5. Prenons x = 3 qui est un nombre décimal: l’inverse de x est ¹

3 qui n’est pas un décimal. La proposition « L’inverse d’un décimal est un décimal» est donc fausse.

6.

(

)(

)

Exercice 2

> 51022,66 : ID est le plus petit ensemble qui le contienne car ce nombre n’est pas un relatif mais il admet un nombre fini de chiffres après la virgule.

> - 6

25 = ⁵

−6 : ℚ est le plus petit ensemble qui le contienne car ce nombre n’est pas un décimal (même exprimé sous forme de fraction irréductible, il admet un puissance de 3 dans son dénominateur) mais il est quotient de deux entiers.

> 7 ; ℝ est le plus petit ensemble qui le contienne 7 n’est pas un carré parfait.

>

(

) (

) (

)( ) ( )

1 1 2

2

2 1− 2 1= 2 1 − 2 1 2 1 = 2 1=

− + + −

− + −

−

+ est donc un entier naturel.

Exercice 3

a.

7 1 5

24 16 12

7 5 1

24 12 16 7 10 1 24 24 16

3 1 24 16 1 1 8 16 + −

= − +

= − +

= − +

= − +

b.

2 4 6 20 26

5 3 15 15 15 26

2 4 6 20 14 15

5 3 15 15 15

+ +

= = = −

− − −

×15 13

14 = − 7 c.

2 2

1 2 4 4 7

1 3 1 1 3 1 3 1

9

3 3 3 3

   

+  −  = +   = + × = + =

   

Exercice 4 A =

2 4 2 5 3

2 2 4 2 4

49 7 2 2 7 2 2

(50 7)² 32 (2 5 7)² 2 5 7 5

× × ×

× = = =

× × × × ×

B=

( )

3 2 3 6 3 3 6 3 9

4

2 4 2 2 4 4 16

(2 ) (3 8) 2 (3 2 ) 2 3 2 1

( 9) 16 ( 3 ) 2 3 2 2 3

× × = × × = × × =

− × − × × ×

C

=

5

1

-

5 1

64 64 64

5 1 4

5 5 5

= − =

Exercice 5

1.

A= 12+ 27+ 48= 3 4× + 3 9× + 3 16× =2 3+3 3+4 3=9 3 B =

(

) ( )

2)

C= ^{2 3 2 3 5}

(

)

(

)

3 5 15

3 5 3 5 5

+ +

+ = + × = =

×

D=

^{3 7} ₇

₂

^{3 7} ₇

₂

⁷ ₇

² ₂

^{3 7} ( _{7 4}

⁷

² )

^{3 7} ( ₃ ⁷

² )

⁷ ( ⁷

² )

Exercice 6

1a. ^{2 3 16 21 5} 0

7 8 56 21

− = − = − < donc ^{2 3} 7<8 1b. π ≈3 alors que ^{511 500} 2.5

209≈200≈ donc ⁵¹¹ π > 209

1c. ^{2 7 2 4 2 (7 2 ) 3} 0

5 10 10 10

x x x x

+ − + = + − + =− < donc ^{2 7 2}

5 10

x x

+ < +

1d.

( )( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1 1 0

x x x x

x x

x x x x x x

− + − ×

− − = = − <

+ + + car x est positif donc 1

1

x x

x− < x

+ pour tout entier naturel x.

2a. 2 - 3 +5

x = 6 ^{⇔ − + =6}

(

)

2b. 2x - 7

2x > 7 ¹⁴ 7 7 ^{7 49}

7 x x 14 x 14

⇔ > ⇔ > × ⇔ >

2c. -3(x+ 5) ≤ 2

x- 6 3 15 6 3 9 ⁷ 9 9 ^{2 18}

2 2 2 7 7

x x x

x x x − x −

⇔ − − ≤ − ⇔ − − ≤ ⇔− ≤ ⇔ ≥ × ⇔ ≥

Exercice 7

La vitesse de la lumière, que nous noterons c, est estimée à 3 10× ⁸m s. ⁻¹.

1. 8 minutes font 8 60× =480secondes : en une seconde, la lumière parcourt 3 10 m× ⁸ donc en 480, elle en parcourt

8 9 9

3 10 480 3 48 10 144 10

d= × × = × × = × soit d=1, 44 10× ¹¹ mètres.

Questions bonus (avec calculette) :

2. En un an, il s’écoule combien de secondes ? 365 24 60 60× × × secondes !

En une seconde, la lumière parcourt 3 10 m× ⁸ donc en 1 an, elle en parcourt : 365 24 60 60 3 10× × × × × ⁸ ce qui donne 9.4608 10× 12kms (la valeur exacte précédente est gardée en mémoire dans la calculatrice à l’aide de la touche sto→) 3. Sachant que le big-bang aurait eu lieu il y 14 milliards d’années, il faut donc multiplier le résultat précédent par 14 10× 9 !

On obtient alors un rayon d’environ 1.3 10× ²³kms…