A Ajustement affine

Chapitre 15 : Résumé Statistique.

I Statistique descriptive univariée

SoitX une série statistique en modalitétx₁, x₂, ..., x_pud’effectif totaln. Les effectifs de chaque modalité seront notén_i et les fréquencefi “ni

n :

x_i x₁ x₂ ... x_p n_i n₁ n₂ ... n_p

p

ÿ

j“1

n_j“n et

p

ÿ

j“1

f_j“1 Proposition 1(Effectif total)

@jPJ1, pK, n^c_j “

j

ÿ

k“1

n_k, et f_j^c“

c

ÿ

k“1

f_k

donc n^c₁ďn^c₂ď ¨ ¨ ¨ ďn^c_p“n et f₁^cďf₂^cď ¨ ¨ ¨ ďf_p^c“1 Proposition 2(effectifs et fréquences cumulés croissants)

On appelle mode de la série statistiquex toute modalité dexdont l’effectif est maximal parmi les effectifs de toutes les modalités.

Lorsque les modes correspondent à des classes on appelle alors classe modale la classe dont l’effectif est maximal.

Définition 1(mode)

Si les modalitéspa₁,¨ ¨ ¨, a_pqsont ponctuelles alors

¯ x“ 1

n

p

ÿ

j“1

njaj“

p

ÿ

j“1

fjaj

Proposition 3(moyenne)

Soit xet y deux séries statistiques quantitatives dont les modalités sont à valeurs dans le même ensemble et d’effectifs respectifsnet m.

— Soitpa, bq PR²et soitula série statistique définie par

@iPJ1, nK, ui“axi`b Alors ¯u“a¯x`b

— Soitz la série statistique obtenue en concaténant les sériesxet y (on donc z“ px1,¨ ¨ ¨ , xn, y1,¨ ¨ ¨ , ymq).

Alors

¯

z“ n¯x`m¯y n`m Proposition 4(Transformation affine d’une série statistique)

On appelle médiane d’une série statistique de taillentout réelmtel que CardptiPJ1, nK, xiďmuq ě n

2 et CardptiPJ1, nK, xi ěmuq ě n 2

En pratique on prend souvent comme médiane la valeur d’une modalité. Dans ce cas, un individu dont le caractère correspond à la médiane est dit être un individu médian.

Définition 2(Médiane)

Soitxune série statistique de taillendont les modalités sont données dans l’ordre croissanta1ăa2ă ¨ ¨ ¨ ăan.

— Sinest impair alorsan`1 2

est une médiane.

— Sinest pair alors tout nombre de l’intervalleraⁿ

2, aⁿ

2`1sest une médiane.

Proposition 5(Médiane)

Soitxune série statistique de taillenà valeurs réelles. On appelle premier quartile de la sériextout réelQ₁tel que

CardptiPJ1, nK, x_iďQ₁uq ě n

4 et CardptiPJ1, nK, x_iěQ₁uq ě 3n 4 De même on appelle troisième quartile de la sériextout réelQ₃ tel que

CardptiPJ1, nK, xiďQ3uq ě 3n

4 et CardptiPJ1, nK, xiěQ3uq ě n 4 La médiane de la sériexest aussi appelée deuxième quartile.

Définition 3(Quantiles)

Soitxune série statistique de taillenà valeurs réelles. On appelle

— écart interquartile la différenceQ₃´Q₁.

— intervalle interquartile l’intervallerQ₁, Q₃s Définition 4(Écart inter-quartile)

Vx“ 1 n

p

ÿ

j“1

njpaj´xq¯ ²“

p

ÿ

j“1

fjpaj´xq¯ ²“x¯²´x¯²

On définit l’écart-type d’une série statistique quantitative réelle, notéσx comme la racine carré de la variance σ_x“a

Vx

Définition-Proposition 6(Variance et écart-type)

Soitxune série statistique quantitative réelle,pa, bq PRety la série statistiquey“ax`b. On a alors Proposition 7

II Statistique descriptive bivariée

SoitpX, Yqune série statistique bivariée :

xi x₁ x₂ ... xp

yi y1 y2 ... yp

On définit

¯ x“ 1

n

n

ÿ

k“1

x_k et y¯“ 1 n

n

ÿ

k“1

y_k Le point de coordonnéesp¯x,yq¯ est appelé point moyen du nuage.

Définition 5

On définit

Vx“ 1 n

n

ÿ

k“1

pxk´xq¯ ²“x¯²´x¯² Idem pourY.

Définition 6(Variance)

On définit la covariance dexet dey noté Covpx, yqouσ_x,y par Covpx, yq “ 1

n

n

ÿ

k“1

pxk´xqpy¯ k´yq “¯ xy´¯x¯y Définition 7

Exemple :

LorsqueVx‰0 etVy ‰0, on définit le coefficient de covariance notéρ_x,y our_x,y par ρ_x,y “Covpx, yq

aVxVy

“ σ_x,y σxσy

rho_x,yP r´1,1s Définition 8

A Ajustement affine

L’idée de l’ajustement affine est la suivante : On dispose de séries de données (souvent expérimentales) x et y et on soupçonne qu’il existe une relation les liant de la formey“ax`b.

Remarque1. Parfois on sait que la relation existe et on veut déterminera etb

On veut alors chercher la droite d’équationy“ax`bqui passe « le mieux »par notre nuage de points.

Le problème est : Comment définir « le mieux » ?

On retient le critère suivant : la somme des carrés des écarts verticaux entre les valeurs yi observés et celles prédites axi`b doit être minimale : c’est la méthode des moindres carrés.

Ainsi, on veutpa, bq PR² rendant minimale la somme Spa, bq “

n

ÿ

k“1

paxk`b´ykq²

Soitpx, yqune série statistique double constituée d’une suite de couplesppx_k, y_kqq1ďkďn. La droite de régression par la méthode des moindres carrés dey enxa pour équation :

y“ σ_x,y

σ_x² px´xq `¯ y¯ Théorème 8

Démonstration. Avec les hypothèses ci-dessus :

On remplace b pary´ax. On peut remarquer que cela signifie que la droite de régression passe par le point moyen de coordonnéespx, yq.

fpaq “Spa, y´axq “

n

ÿ

k“1

rapx_k´xq ´ py_k´yqs²“a²

n

ÿ

k“1

px_k´xq²´2a

n

ÿ

k“1

px_k´xqpy_k´yq `

n

ÿ

k“1

py_k´yq²

On procède à l’étude de la fonctionf.

f¹paq “2a

n

ÿ

k“1

px_k´xq²´2

n

ÿ

k“1

px_k´xqpy_k´yq ôa“

n

ř

k“1

px_k´xqpy_k´yq

n

ř

k“1

pxk´xq²

“ σ_x,y σ_x²

On a donc déterminer le coefficient directeur de la droite de régression qui passe par le point moyen donc y“ σ_x,y

σ_x² px´xq `¯ y¯

Remarque 2. — Cette droite passe par le point moyen du nuage de coordonnées p¯x,yq¯

— Selon la forme du nuage, nos connaissances et notre intuition on considérera parfois les échantillons lnpxq,x², etc

— Pourquoi parle-t-on de « régression linéaire » ? La réponse est une erreur de traduction. Le mathématicien anglais Sir Galton étudiait les tailles des fils pyj en fonction de la taille de leur père pxj et a noté un « retour à la moyenne » : Les grands individus ont en moyenne des enfants plus petits qu’eux et les petits individus ont des enfants plus grand qu’eux.

En anglais le terme pour « retour à la moyenne »est « regression to the mean », ce terme a ensuite été mal transposé au français.

— Cette méthode nous permet d’établir un lien de corrélation entre xety. C’est une erreur fondamentale de logique que de confondre lien de corrélation et lien de causalité. Par exemple la régression linéaire suivante entre taux d’équipement en téléviseurs de la population (en %) et taux de malades mentaux (nombre pour mille habitants) sur des données de Grande Bretagne ou encore l’article du Monde en fin de chapitre.

Comment évaluer la « justesse »d’un ajustement ? La réponse n’est pas simple. Pour y répondre on définit un nouvel indicateur statistique : le coefficient de détermination.

On définit le coefficient de déterminationr² par

r²“

n

ÿ

k“1

paxk`b´yq¯ ²

n

ÿ

k“1

pyk´yq¯ ²

“1´ Spa, bq

n

ÿ

k“1

pyk´yq¯ ² où

a“σx,y

σ²_x b“y¯´σx,y

σ²_x x¯ Définition 9

Le coefficient de détermination est le carré du coefficient de corrélation, c’est-à-dire r²“ρ²_x,y “Covpx, yq²

VxVy

Théorème 9

Démonstration.

r²“

n

ÿ

k“1

pax_k`b´yq¯ ²

n

ÿ

k“1

py_k´yq¯ ²

“

n

ÿ

k“1

ˆσx,y

σ_x² xk`y¯´σx,y

σ_x² x¯´y¯

˙2

nσ_y²

“ 1 n

ˆσx,y

σ²_x

˙2 n

ÿ

k“1

pxk´xq¯ ² σ²_y

“ σ_x,y² σ_x² σ_x⁴σ²_y

“ σ_x,y² σ_x²σ_y²

“ρ²_x,y

On a

0ďr²ď1

r²“1 correspond à une adéquation parfaite tandis quer² proche de 0 indique une faible liaison linéaire ce qui peut signifier qu’il n’y a pas de lien entrexety ou bien quexet y sont liés par une relation non-affine.

Proposition 10