BAC BLANC 2015. MATHEMATIQUES. TERMINALE S.

BAC BLANC 2015.

MATHEMATIQUES.

TERMINALE S.

Durée : 4 heures.

Le sujet comporte cinq exercices.

UTILISER UNE COPIE PAR EXERCICE.

Les exercices 1, 2 et 3 doivent être traités par tous les élèves.

L’exercice 4 ne doit être traité que par les élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité maths.

L’exercice 5 ne doit être traité que par les

élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité

maths.

EXERCICE 1. Pour tous les candidats.

A. Restitution organisée de connaissances :

Deux événements A et B sont indépendants si P( A B) P (A ) P (B ). Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants, alors les événements A et B sont indépendants.

B. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.

On appelle A l’événement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’événement «l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».

On suppose que les événements A et F sont indépendants, que P (A ) 0,02 et P( F) 0,01.

1. Calculer la probabilité que l appareil présente un défaut d apparence et un défaut de fonctionnement.

2. Montrer que la probabilité que l appareil présente un défaut est 0,0298.

3. Sachant que l appareil présente un défaut d apparence, quelle est la probabilité qu il présente aussi un défaut de fonctionnement ?

4. On prélève au hasard 100 appareils dans la production. Le nombre d appareils est suffisamment important pour qu on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. on considère la variable aléatoire X qui à un prélèvement de 100 appareils associe le nombre d appareils défectueux.

a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Déterminer la probabilité de l événement : "au moins un des appareils prélevés est défectueux". Arrondir au centième.

c. Déterminer la probabilité de l événement : "au moins deux des appareils prélevés est défectueux". Arrondir au centième.

d. Calculer l espérance de X et interpréter le résultat.

EXERCICE 2. Pour tous les candidats.

Le plan complexe est rapporté à un repère ( O u v ) . A tout point M d affixe z du plan, on associe le point M d affixe z définie par z z² 4z 3.

1. Un point M est dit invariant lorsqu il est confondu avec le point M associé, c'est-à-dire lorsque z z . Démontrer qu il existe deux points invariants. Donner l affixe de chacun de ces points sous forme algébrique.

Rappel : dans un repère orthonormal, si A ( ^x

^y

) ^{et B} ( ^x

^y

) sont deux points, alors AB ( ^x

x

)

( ^y

y

)

.

2. Soit A le point d affixe 3 i 3

2 et B le point d affixe 3 i 3

2 . Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

3. Déterminer l ensemble E des points M d affixe z x i y, où x et y sont réels tels que le point M associé soit sur l axe des réels.

4. Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l ensemble E.

EXERCICE 3. Pour tous les candidats.

On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f (x ) e

et . g( x) 1 e

.

Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C

et C

, sont fournies ci-dessous.

Partie A

Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer au mieux ces tangentes sur la figure.

Partie B

Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes.

On note D l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe C

au point A d’abscisse a et tangente à la courbe C

au point B d’abscisse b.

1.

a. En utilisant le fait que D est la tangente à la courbe C

au point A, exprimer en fonction de a le coefficient directeur de D.

b. En utilisant le fait que D est la tangente à la courbe C

au point B, exprimer en fonction de b le coefficient directeur de D.

c. En déduire que b a .

2. En déterminant de deux façons l ordonnée à l origine de la droite D, démontrer que le réel a est solution de l’équation 2( x 1) e

1 0.

Partie C

On considère la fonction définie sur par ( x) 2(x 1)e

1.

1.

a. Calculer les limites de la fonction en et en + . b. Calculer la dérivée de la fonction , puis étudier son signe.

c. Dresser le tableau de variation de la fonction sur . Préciser la valeur de (0).

2.

a. Démontrer que l’équation ( x) 0 admet exactement deux solutions dans .

b. On note la solution négative de l’équation ( x ) 0 et la solution positive de cette équation. À l’aide d’une calculatrice, donner les valeurs de et arrondies au centième.

Partie D

Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B.

On note E le point de la courbe C

d’abscisse a et F le point de la courbe C

d’abscisse – a (a est le nombre réel défini dans la partie C).

1. Démontrer que la droite (EF ) est tangente à la courbe C

au point E.

2. Démontrer que (EF ) est tangente à C

au point F.

EXERCICE 4. (5 points). Réservé aux candidats n ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.

Partie A

On considère la suite ( ) ^u

définie par : u

2 et, pour tout entier nature n : u

1 3 u

3 u

. On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u

> 1.

2.

a. Établir que, pour tout entier naturel n, on a : u

u

( ^{1 u}

) ( ^{1 u}

)

3 u

.

b. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u

. En déduire que la suite ( ) ^u

converge.

Partie B

On considère la suite ( ) ^u

définie par : u

2 et, pour tout entier nature n : u

1 0,5u

0,5 u

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. On considère l’algorithme suivant :

Entrée Soit un entier naturel non nul n Initialisation Affecter à u la valeur 2

Traitement et sortie POUR i allant de 1 à n

Affecter à u la valeur 1 0,5u 0,5 u Afficher u

FIN POUR

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n 3. Les valeurs de u seront arrondies au millième.

i 1 2 3

u

2. Pour n 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

i

u

Conjecturer le comportement de la suite ( ) ^u

à l’infini.

3. On considère la suite ( ) ^v

définie, pour tout entier naturel n, par : v

u

1 u

1 . a. Démontrer que la suite ( ) ^v

est géométrique de raison 1

3 . b. Calculer v

puis exprimer v

en fonction de n .

4.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : v

≠ 1.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u

1 v

1 v

.

c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u

.

EXERCICE 5. (5 points). Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.

PartieA

On considère l’algorithme suivant :

Variables a, b, c sont des entiers naturels Initialisation

Affecter à c la valeur 0 Demander la valeur de a Demander la valeur de b

Traitement

Tant que a b

Affecter à c la valeur c+1 Affecter à a la valeur a – b Fin de tant que

Sortie Afficher c

Afficher a

1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 13 et b = 4 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.

2. Que permet de calculer cet algorithme ? PartieB

À chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape 1 : À la lettre que l’on veut coder, on associe le nombre m correspondant dans le tableau.

Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m+5 par 26 et on le note p.

Étape 3 : Au nombre p, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1. Coder la lettre U.

2. Modifier l’algorithme de la partie A pour qu’à une valeur de m entrée par l’utilisateur, il affiche la valeur de p, calculée à l’aide du procédé de codage précédent.

Partie C

1. Trouver un nombre entier x tel que 9 x  1[26].

2. Démontrer l’équivalence : 9m 5  p [26]  m  3p 15[26].

3. Décoder alors la lettre B. Justifier.