BAC BLANC de MATHEMATIQUES série ES
5 avril 2018
Pour les élèves ayant choisi la spécialité MATHEMATIQUES
L’exercice 3 devra être rédigé sur une copie distincte du reste du devoir.
L’attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction,la clarté et la précision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé, mais l’échange entre les élèves est interdit.
Exercice 1
4 pointsCet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte1point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point
1. La durée (en minutes) de la traversée entre un continent et une île est modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [30; 50].
La probabilité que la traversée entre le continent et l’île dure au moins 35 minutes est :
a. 0,25 b. 0,35 c. 0,70 d. 0,75
2. SoitX une variable aléatoire qui suit la loi binomialeB(10;0,6).
La probabilité qui admet pour valeur approchée 0,012 est :
a. P(X =2) b. P(X >2) c. P(X 62) d. P(X <2)
3. Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentativeCf d’une fonction f définie sur l’intervalle [−1; 5].
1 2 3 4 5
−1 1 2
Cf
a. 36 Z2
0 f(x) dx64 b. 26
Z2
0 f(x) dx63 c. 16
Z2
0 f(x) dx62 d.
Z2
0 f(x) dx=f(2)−f(0) 4. On considère l’intégraleI=
Z1
0 2e2x+3 dx
a. I=e2+2 b. I=e2+3 c. I=2e2+3 d. I=2e2−2
Exercice 2
5 pointsDepuis le 1erjanvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicy- cl’Aime est chargée de l’exploitation et de l’entretien du parc de vélos.
La commune disposait de 200 vélos au 1erjanvier 2015.
La société estime que, chaque année, 15 % des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.
On modélise cette situation par une suite (un) oùun représente le nombre de vélos de cette commune au 1erjanvier de l’année 2015+n.
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1. Déterminer le nombre de vélos au 1erjanvier 2016.
2. Justifier que la suite (un) est définie paru0=200 et, pour tout entier natureln, par : un+1=0,85un+42.
3. On donne l’algorithme suivant : N←−0 U←−200 Tant queN<4
U←−0,85×U+42 N←−N+1
Fin tant que
a. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l’unité. Quel nombre obtient-on à l’arrêt de l’algorithme?
U 200
N 0 1 2 3 4
ConditionN<4 Vrai
b. Interpréter la valeur du nombreU obtenue à l’issue de l’exécution de cet algorithme.
4. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturelnparvn=un−280.
a. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,85 et de premier terme v0= −80.
b. Pour tout entier natureln, exprimervnen fonction den.
c. En déduire que, pour tout entier natureln, on aun= −80×0,85n+280.
d. Calculer la limite de la suite (un) et interpréter ce résultat.
5. La société Bicycl’Aime facture chaque année à la commune 300€par vélo en circulation au 1erjanvier.
Déterminer le coût total pour la période du 1erjanvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite (un) étant exprimé avec un nombre entier.
Exercice 3 A rédiger sur une copie distincte
5 pointsSarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu’elle a sélectionnés.
Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes :
B
R H
G
V
L
M D
J
B : Le lagon bleu. H : Rocher Hvitserkur. M : Lac de Mývatn.
D : Chute d’eau de Dettifoss. J : Lagune glacière de Jokulsárlón. R : Capitale Reykjavik.
G : Geyser de Geysir. L : Massif du Landmannalaugar. V : Ville de Vik.
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1. Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.
a. Déterminer l’ordre du graphe.
b. Déterminer si le graphe est connexe.
c. Déterminer si le graphe est complet.
2. Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.
3. On appelleMla matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l’ordre alphabétique. On donne ci-dessous une partie de la matriceM ainsi que la matriceM4:
M=
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ... ... ... 1 1 1 0 0 1 ... ... ... 1 0 0 0 0 0 ... ... ... 0 1 1 1 0 0
M4=
12 3 16 8 14 13 15 2 10 3 5 5 6 9 11 6 3 12 16 5 24 11 23 21 26 5 20 8 6 11 10 13 14 9 3 14 14 9 23 13 28 29 29 8 30 13 11 21 14 29 38 32 15 40 15 6 26 9 29 32 43 14 34 2 3 5 3 8 15 14 15 21 10 12 20 14 30 40 34 21 49
a. Il manque certains coefficients de la matriceM. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice.
b. Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 permettant d’aller de B à D.
4. Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilomètre entre les différents lieux :
B
R H
G
V
L
M D
J 50
222 100
170
450
122 141 295
316 50
420
220 220
450
192
Déterminer à l’aide de l’algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d’aller du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d’eau de Dettifoss).
Préciser alors le trajet à emprunter.
Exercice 4
6 pointsPartie A
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; 5] par f(x)=x+1+e−x+0,5.
On a représenté en fin d’exercice, dans un plan muni d’un repère orthonormé, la courbeC représentative de la fonctionf ainsi que la droite∆d’équationy=1,5x.
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1. a. Vérifier que pour toutx appartenant à l’intervalle [0; 5], on a f′(x)=1−e−x+0,5 où f′ désigne la fonction dérivée de f.
b. Résoudre dans l’intervalle [0; 5] l’équationf′(x)=0 . c. Ètudier le signe def′(x) sur l’intervalle [0; 5].
d. Dresser le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle [0; 5].
2. On noteαl’ abscisse du point d’intersection deC et∆.
a. Donner, par lecture graphique, un encadrement deαà 0,5 près.
b. Résoudre graphiquement sur l’intervalle [0; 5] l’inéquation f(x)<1,5x.
Partie B Application
Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à l’aide d’une machine.
La fonction f, définie dans la partie A, représente le coût d’utilisation de la machine en fonc- tion de la quantitéxde cartes produites, lorsquexest exprimé en centaines de cartes et f(x) en centaines d’euros.
1. a. Déduire de la partie A, le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d’uti- lisation de la machine.
b. Chaque carte fabriquée par la machine est vendue l,50€.
La recette perçue pour la vente dexcentaines de cartes vaut donc 1,5xcentaines d’eu- ros. Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d’euros, par la vente dexcentaines de cartes est donné parB(x)=0,5x−1−e−x+0,5.
2. a. Montrer que la fonctionB est strictement croissante sur l’intervalle [0; 5].
b. Montrer que, sur l’intervalle [0; 5], l’équationB(x)=0 admet une unique solution com- prise entre 2,32 et 2,33.
3. On dira que l’entreprise réalise un bénéfice lorsqueB(x)>0.
Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l’entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice.
Graphique
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
b b
O
∆
C
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