BAC BLANC 2015.
MATHEMATIQUES.
TERMINALE S.
Durée : 4 heures.
Le sujet comporte cinq exercices.
UTILISER UNE COPIE PAR EXERCICE.
Les exercices 1, 2 et 3 doivent être traités par tous les élèves.
L’exercice 4 ne doit être traité que par les élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité maths.
L’exercice 5 ne doit être traité que par les
élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité
maths.
EXERCICE 1. Pour tous les candidats.
Une chaîne, suspendue entre deux points d’accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d’une fonction g définie sur [ 1 ; 1] par g(x) 1
2a
(
eax e ax)
où a est un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonction g.On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réel a soit une solution strictement positive de l’équation (x 1)e2x 1 x 0.
Dans la suite, on définit sur [0 ; + la fonction f par f(x) (x 1)e2x 1 x pour tout réel x 0.
1. Déterminer la fonction f dérivée de la fonction f.
Vérifier que f (0) 2 et que lim
x
f (x) .
Pour déterminer le signe de f , on va étudier sa fonction dérivée f "
2. On note f " la fonction dérivée de f . Vérifier que, pour tout réel x 0, f "(x) 4xe2x.
3. Montrer que, sur l’intervalle [0 ; + [ la fonction f s’annule pour une unique valeur, notée x0. 4.
a. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + [, puis montrer que f(x) est négatif pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; x0].
b. Calculer f(2). En déduire que sur l’intervalle [0 ; + [, la fonction f s’annule pour une unique valeur.
c. Si l’on note a cette valeur, déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur de a arrondie au centième.
d. Donner alors l expression de g(x) pour que la chaîne ait une tension minimale aux extrémités.
EXERCICE 2. Pour tous les candidats.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10−4 près.
Partie A
En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10 %. L’étude a également permis de prouver que 30 % des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n’atteint plus que 8 % pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements : M : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme » C : « La personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie ».
1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité de l’événement M C ? 3. Calculer P (C).
4. On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu’elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
Partie B
La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de 400 personnes, prises au hasard dans la population française.
On note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l’échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité P (X = 35).
3. Calculer la probabilité qu’au moins 30 personnes de ce groupe présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
EXERCICE 3. Pour tous les candidats.
Soient deux suites
( )
un et( )
vn , définies par u02, v010 et pour tout entier naturel n, un 12un vn
3 et vn 1
un 3vn
4 Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Variables N est un entier ; U, V, W sont des réels ; K est un entier.
Algorithme Affecter 0 à K Affecter 2 à U Affecter 10 à V Saisir N
Tant que K < N Affecter K+1 à K Affecter U à W Affecter 2U V
3 à U Affecter W 3V
4 à V Fin tant que
Sortie Afficher U Afficher V
On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.
K U V W
0 1 2 Partie B
1.
a. Montrer que pour tout entier naturel n, vn 1 un 1 5
12
(
vn un)
.b. Pour tout entier naturel n, on pose wn vn un. Montrer que pour tout entier naturel n, wn 8
5 12
n
. 2.
a. Démontrer que la suite
( )
un est croissante et que la suite( )
vn est décroissante.b. Déduire des résultats des questions 1.b. et 2.a. que pour tout entier naturel n, on a : un 10 et vn 2.
c. En déduire que les suites
( )
un et( )
vn sont convergentes.3. Montrer que les suites
( )
un et( )
vn ont la même limite.4. Montrer que la suite
( )
tn définie par tn 3un 4vn est constante. En déduire que la limite commune des suites( )
un et( )
vn est 467 .
EXERCICE 4. Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité.
Partie A : Nombres complexes : Vrai ou Faux.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse,
en justifiant la réponse
. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.1. Affirmation 1 : Une solution de l’équation 2z z 9 i est 3 i.
2. Affirmation 2 : L’ensemble des solutions dans de l’équation (2 z)(1 iz) (2 z)(2z i) est
1
5 3 5i .
3. Affirmation 3 : Pour tout complexe z, Re(z²) (Re(z))2. Partie B : Géométri e dans l espace : QCM.
Pour chaque question, préciser
sans justification
LA proposition juste.Une réponse juste rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.
ABCDEFGH est un cube de côté 1. est le plan (AFH).
Le point I est le milieu du segment [AE].
Le point J est le milieu du segment [BC].
Le point K est le milieu du segment [HF].
Le point L est le point d intersection de la droite (EC) et du plan . 1. Position des droites (IJ) et (EC).
Proposition 1 : Les droites (IJ) et (EC) sont strictement parallèles.
Proposition 2 : Les droites (IJ) et (EC) sont non coplanaires.
Proposition 3 : Les droites (IJ) et (EC) sont sécantes.
Proposition 4 : Les droites (IJ) et (EC) sont confondues.
2. Position des droites (KL) et (GB).
Proposition 1 : Les droite (KL) et (GB) sont strictement parallèles Proposition 2 : Les droite (KL) et (GB) sont non coplanaires Proposition 3 : Les droite (KL) et (GB) sont sécantes
Proposition 4 : Les droite (KL) et (GB) sont confondues
EXERCICE 5. Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité.
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse,
en justifiant la réponse
. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche,même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
1. Affirmation 1 : Le reste dans la division de 5750 par 7 est 1.
2. Affirmation 2 : n est un entier naturel. a 5n 3 et b 2n 1 sont premiers entre eux.
3. Affirmation 3 : Soient P et Q deux matrices d ordre 5. Si P et Q sont inversibles, alors PQ est inversible et (PQ) 1 Q 1P 1.
4. Affirmation 4 : n est un entier naturel. n² n 3 0[5] si et seulement si n 1[5].
