BAC BLANC
Épreuve de MATHEMATIQUES série S
Lycée du golfe de Saint-Tropez Mardi 2 avril 2019
Pour les élèves ayant choisila spécialité MATHEMATIQUES
L’attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction,la clarté et la précision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats devront être soigneusement justifiés
Dans l’ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
L’usage de la calculatrice est autorisé, mais l’échange entre les candidats est interdit.
Exercice 1 6 points
Soitf la fonction définie et dérivable sur I =]0;+∞[ par : f(x)= lnx
1+x.
On noteC la courbe représentative def dans un repère orthonormal³ O;−→
ı , −→
´du plan.
1. Étude d’une fonction auxiliaire
Soitg la fonction définie et dérivable sur I par :
g(x)=1+x−xlnx.
a. Étudier les limites deg en chacune des bornes de son ensemble de définition.
b. Étudier les variations deg et construire son tableau de variation.
c. Démontrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionαsur I.
Déterminer un encadrement deαd’amplitude 10−2. d. Déduire de ce qui précède le signe deg sur I.
2. Étude de la fonctionf
a. Étudier les limites de f en chacune des bornes de son ensemble de définition.
b. Montrer que pour tout réelx>0,
f′(x)= g(x) x(1+x)2.
c. En déduire le signe def′et dresser le tableau de variation def sur I.
d. Montrer que f(α)= 1
αet en déduire un encadrement def(α).
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Exercice 2 5 points
On désigne par (In) la suite définie par I0=
Z1
0 e−xdx et pour tout entier naturelnÊ1,In= Z1
0 xne−xdx.
1. a. CalculerI0.
b. Démontrer que la fonctionF définie surRparF(x)=(−x−1)e−x est une primitive de la fonc- tionf définie surRparf(x)=xe−x
c. CalculerI1.
2. On désigne par fnla fonction définie sur [0 ; 1] par :
f0(x)=e−x et pour tout entier naturelnnon nul fn(x)=xne−x. On noteCnsa courbe représentative.
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé des courbesC0,C1,C2,C3,C10,C20,C30.
1 0,5
1,0
x y
O
C0
C1 C2 C3 C10 C20
C30
Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) ainsi que sur son éventuelle convergence en décrivant la démarche choisie.
3. Montrer que pour tout entier natureln, InÊ0
4. a. Montrer que, pour tout entier naturelnÊ1 et pour tout réelx∈[0 ; 1], on a : fn+1(x)−fn(x)=xne−x(x−1).
b. En déduire une démonstration de la conjecture sur le sens de variation de la suite (In).
5. Démontrer que la suite (In) est convergente.
6. a. Montrer que pour tout tout entier naturelnÊ1 et tout réelx∈[0 ; 1], on a : 0Éxne−xÉxn.
b. En déduire la limite de la suite (In).
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Exercice 3 4 points
L’entrepriseFructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes.
Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ».
La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la com- pote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F1et F2. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment Partie A
La chaîne de production F2 semble plus fiable que la chaîne de production F1. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F1et 30 % de la chaîne F2.
La chaîne F1produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F2en produit 1 %.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements : E: « Le petit pot provient de la chaîne F2»
C: « Le petit pot est conforme. »
1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2. Calculer la probabilité de l’évènement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F1. »
3. Déterminer la probabilité de l’évènementC.
4. Déterminer, à 10−3près, la probabilité de l’évènementEsachant que l’évènementC est réalisé.
Partie B
Un représentant de la répression des fraudes effectue un contrôle en sortie d’usine. Pour cela, il prélève un échantillon de 200 petits pots. On suppose que la production est suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à un tirage avec remise. On admet par ailleurs dans cette partie que la probabilité qu’un petit pot prélevé ne soit pas conforme vaut 0,038. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de petits pots non conformes dans l’échantillon prélevé.
1. a. Préciser, en justifiant, la loi de probabilité suivie par X.
b. Calculer la probabilité arrondie à 10−4près qu’au moins un pot prélevé ne soit pas conforme.
2. On souhaite déterminer la taillende l’échantillon qu’il faut prélever pour que la probabilité qu’au moins un pot prélevé ne soit pas conforme soit supérieure à 0,9999.
On admet pour cela qu’il faut résoudre l’inéquation 1−0,962n>0,9999.
Déterminer par le calcul la valeur den.
Exercice 4 5 points
Partie A Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé³
O;−→ ı , −→
, −→ k ´
, on considère les points A(1 ; 5 ;−2), B(7 ; −1 ; 3) et C(−2 ; 7 ;−2) et on noteP le plan (ABC).
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On cherche une équation cartésienne du planP sous la forme :ax+b y+c z=73, oùa,b etc sont des nombres réels.
On noteX etY les matrices colonnes :X =
a b c
etY =
1 1 1
.
1. Montrer queX vérifie la relation :M X=73Y, oùMest la matrice M=
1 5 −2
7 −1 3
−2 7 −2
.
2. SoitNla matrice :N=
19 4 −13
−8 6 17
−47 17 36
.
À l’aide d’une calculatrice, on a calculé les produits M×N etN×M, et on a obtenu les copies d’écran suivantes :
PourM×N: PourN×M:
Ans 1 2 3
1 73 0 0
2 0 73 0
3 0 0 73
Ans 1 2 3
1 73 0 0
2 0 73 0
3 0 0 73
À l’aide de ces informations, justifier que la matrice M est inversible et exprimer sa matrice in- verseM−1en fonction de la matriceN.
3. Montrer alors que :X =N Y.
En déduire que le planPadmet pour équation cartésienne : 10x+15y+6z=73.
Partie B
L’objectif de cette partie est l’étude des points à coordonnées entières du planPayant pour équation cartésienne : 10x+15y+6z=73.
1. SoitM(x; y; z) un point appartenant au planPet au plan d’équationz=3. On suppose que les coordonnéesx,yetzappartiennent à l’ensembleZdes entiers relatifs.
a. Montrer que les entiersxetysont solutions de l’équation (E) : 2x+3y=11.
b. Justifier que le couple (7 ;−1) est une solution particulière de (E) puis résoudre l’équation (E) pourxetyappartenant àZ.
c. Montrer qu’il existe exactement deux points appartenant au planP et au plan d’équation z=3 et dont les coordonnées appartiennent à l’ensembleNdes entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
2. Dans cette question, on se propose de déterminer tous les pointsM(x; y; z) du planP dont les coordonnées sont des entiers naturels.
Soientx,yetzdes entiers naturels tels que 10x+15y+6z=73.
a. Montrer queyest impair.
b. Montrer que :x≡1 [3]. On admet que :z≡3 [5].
c. On pose alors :x=1+3p,y=1+2qetz=3+5r, oùp,qetr sont des entiers naturels.
Montrer que le pointM(x; y; z) appartient au planPsi et seulement sip+q+r=1.
d. En déduire qu’il existe exactement trois points du planP dont les coordonnées sont des en- tiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points.
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