BAC BLANC
Épreuve de MATHEMATIQUES série S
Lycée du golfe de Saint-Tropez Mardi 2 avril 2019
Pour les élèvesn’ayant pas choisila spécialité MATHEMATIQUES
L’attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction,la clarté et la précision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats devront êtresoigneusement justifiés
Dans l’ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
L’usage de la calculatrice est autorisé, mais l’échange entre les candidats est interdit.
Exercice 1 6 points
Soitf la fonction définie et dérivable sur I =]0;+∞[ par : f(x)= lnx
1+x.
On noteC la courbe représentative def dans un repère orthonormal³ O;−→
ı ,→−
´du plan.
1. Étude d’une fonction auxiliaire
Soitg la fonction définie et dérivable sur I par : g(x)=1+x−xlnx.
a. Étudier les limites deg en chacune des bornes de son ensemble de définition.
b. Étudier les variations deg et construire son tableau de variation.
c. Démontrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionαsur I.
Déterminer un encadrement deαd’amplitude 10−2. d. Déduire de ce qui précède le signe deg sur I.
2. Étude de la fonctionf
a. Étudier les limites de f en chacune des bornes de son ensemble de définition.
b. Montrer que pour tout réelx>0,
f′(x)= g(x) x(1+x)2.
c. En déduire le signe de f′et dresser le tableau de variation def sur I.
d. Montrer que f(α)= 1
αet en déduire un encadrement de f(α).
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Exercice 2 5 points
On désigne par (In) la suite définie par I0=
Z1
0 e−xdx et pour tout entier naturelnÊ1,In= Z1
0 xne−xdx.
1. a. CalculerI0.
b. Démontrer que la fonctionF définie surRparF(x)=(−x−1)e−x est une primitive de la fonction f définie surRparf(x)=xe−x
c. CalculerI1.
2. On désigne parfnla fonction définie sur [0 ; 1] par :
f0(x)=e−x et pour tout entier naturelnnon nul fn(x)=xne−x. On noteCnsa courbe représentative.
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé des courbesC0,C1,C2,C3,C10,C20,C30.
1 0,5
1,0
x y
O
C0
C1 C2 C3 C10 C20
C30
Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) ainsi que sur son éventuelle convergence en décrivant la démarche choisie.
3. Montrer que pour tout entier natureln, InÊ0
4. a. Montrer que, pour tout entier naturelnÊ1 et pour tout réelx∈[0 ; 1], on a : fn+1(x)−fn(x)=xne−x(x−1).
b. En déduire une démonstration de la conjecture sur le sens de variation de la suite (In).
5. Démontrer que la suite (In) est convergente.
6. a. Montrer que pour tout tout entier naturelnÊ1 et tout réelx∈[0 ; 1], on a : 0Éxne−xÉxn.
b. En déduire la limite de la suite (In).
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Exercice 3 4 points
L’entrepriseFructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ».
La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F1et F2. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment Partie A
La chaîne de production F2semble plus fiable que la chaîne de production F1. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F1et 30 % de la chaîne F2.
La chaîne F1produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F2en produit 1 %.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évène- ments :
E: « Le petit pot provient de la chaîne F2» C : « Le petit pot est conforme. »
1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2. Calculer la probabilité de l’évènement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F1. »
3. Déterminer la probabilité de l’évènementC.
4. Déterminer, à 10−3près, la probabilité de l’évènementE sachant que l’évènementC est réalisé.
Partie B
Un représentant de la répression des fraudes effectue un contrôle en sortie d’usine. Pour cela, il prélève un échantillon de 200 petits pots. On suppose que la production est suffi- samment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à un tirage avec remise. On admet par ailleurs dans cette partie que la probabilité qu’un petit pot prélevé ne soit pas conforme vaut 0,038. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de petits pots non conformes dans l’échantillon prélevé.
1. a. Préciser, en justifiant, la loi de probabilité suivie par X.
b. Calculer la probabilité arrondie à 10−4près qu’au moins un pot prélevé ne soit pas conforme.
2. On souhaite déterminer la taillende l’échantillon qu’il faut prélever pour que la pro- babilité qu’au moins un pot prélevé ne soit pas conforme soit supérieure à 0,9999.
On admet pour cela qu’il faut résoudre l’inéquation 1−0,962n>0,9999.
Déterminer par le calcul la valeur den.
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Exercice 4 5 points
L’espace est rapporté à un repère orthonormé³ O;−→
ı , −→
, −→ k
´.
On donne les points A(1 ; 0 ;−1), B(1 ; 2 ; 3), C(−5 ; 5 ; 0) et D(11 ; 1 ; −2).
Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD].
Le point K est défini par−−→ BK =1
3
−−→ BC .
1. a. Donner les coordonnées des points I et J et justifier que K a pour coordonnées (-1; 3; 2).
b. Démontrer que les points I, J et K définissent un plan.
c. Montrer que le vecteur→− n
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est un vecteur normal au plan (IJK).
En déduire une équation cartésienne de ce plan.
2. SoitP le plan d’équation 3x+y+4z−8=0.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BD).
b. Justifier que le planP et la droite (BD) sont sécants puis déterminer les coordon- nées de L, point d’intersection du planP et de la droite (BD).
3. On considère le planP′d’équation 2x−4z+5=0.
On admet que les plansP etP′sont sécants.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite D, intersection des plans P etP′.
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