Mathématiques Bac Blanc 2015 Série D

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EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : Baccalauréat Blanc, Mathématiques, Série ‘’D’’ 2015 PDF Gracieusement mis à disposition.

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org BACCALAUREAT BLANC SESSION DE : mai 2015

EPREUVE DE : MATHEMATIQUES SERIE : D

Exercice 1

Le plan complexe c’est rapporté à un repère orthonormal direct(𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗), i designe le nombre complexe de module 1 et d’argument^𝜋

2. 1) Montrer que : (1 +𝑖)⁶= −8𝑖

2) Résous dans C, l’équation € : Z³ = -8i

3) On considère le point A d’affixe ZA = 2i et la rotation R de centre O, d’angle ^𝜋

3

a) Détermine l’affixe ZB du point B, image du oint A par la rotation R b) Détermine l’affixe ZC du point C, image du point B par la rotation R c) Vérifier que ZB et ZC sont solutions de l’équation (E)

4) On considère maintenant les points A, B et C d’affixes respectives : ZA = 2i, ZB = -√3 − 𝑖 et ZC = √3 − 𝑖

Exercice 2

Dans un plan vectoriel E muni de sa base économique(𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗), on considere les droites vectorielles (D1) et (D2) définie par :

(D1)= {𝑢⃗⃗(𝑋, 𝑌) ∈ 𝐸./ 2 x – y = 0} et (D2)= {𝑢⃗⃗(𝑋, 𝑌) ∈ 𝐸/ x + y = 0}

1°) Montre que les droites (D1) et (D2) sont respectivement engendrées par les vecteurs 𝑒⃗⃗⃗⃗ = 𝑖⃗ + 2𝑗⃗ et 𝑒₁ ⃗⃗⃗⃗ = 𝑖⃗ − 𝑗⃗. ₂

2°) Vérifier que (𝑒⃗⃗⃗⃗ , 𝑒₁ ⃗⃗⃗⃗) est une base de E ₂

3°) Soit f la symétrie vectorielle de base (D1) et de direction (D2) a) Calcule f ( 𝑒⃗⃗⃗⃗ ) et f ( 𝑒₁ ⃗⃗⃗⃗ ) en fonction des vecteurs 𝑖⃗ 𝑒𝑡 𝑗⃗. ₂

b) Calculer les vecteurs f ( 𝑖⃗ ) et f ( 𝑗⃗ ) en fonction des vecteurs 𝑖⃗ 𝑒𝑡 𝑗⃗.

c) Ecrire la matrice de f dans la base ( 𝑖⃗ , 𝑗⃗ )

4°) a) Soit le vecteur 𝑢⃗⃗^′= 𝑋^′𝑖⃗+ 𝑌^′𝑗⃗ image du vecteur 𝑢⃗⃗ = 𝑋𝑖⃗ + 𝑌𝑗⃗ par f, exprimer les coordonnées X’ et Y’ de 𝑢⃗⃗’ en fonction de celles X et Y de 𝑢⃗⃗

b) Vérifier que f o f est l’identité du plan vectoriel E.

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Exercice 3 :

Soit l’entier naturel non n ∈ N, on considère la fonction numérique fn à variable réelle X, définie par : {𝑓𝑛(𝑋) = 𝑋^𝑛ln 𝑋 ; 𝑠𝑖 𝑋 ≠ 0

𝑓_𝑛(0) = 0

On considère par (𝐶_𝑛) la famille des courbes représentatives des fonctions 𝑓_𝑛 dans le repère orthonormé (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗)du plan / Unité graphique 2cm.

1) Préciser l’ensemble de définition de la fonction 𝑓_𝑛 2) Détermine le point fixe aux courbes

3) Verifier que la dérivée 𝑓_𝑛′ est𝑓_𝑛^′= 𝑋^𝑛−1(1 + 𝑛 ln 𝑋) 4) Calculer la limite de 𝑓_𝑛 en + ∞

5) Dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓_𝑛 6) Dans toute la suite de l’exercice, on pose = 2

a) En déduire le tableau de variations de la fonction 𝑓₂ b) Etudier l branche infinie à (𝐶₂)

c) Tracer la courbe (𝐶₂) de la fonction 𝑓₂

7) Calculer en Cm², l’aire A du domaine limité par la courbe (𝐶₂), l’axe (Ox) des abscisses et les droites d’équations x = ¹

𝑒 ; x = 1

Exercice 4 :

On dispose de deux urnes. L’urne A contient trois boule blanches et deux boules noires, l’urne B contient deus boules blanches et trois boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément et au hasard deux boules de chaque urne.

1) Qu’appelle-t-on en probabilité deux événements indépendants d’un même univers ?

2) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A « Avoir quatre boules d’une même couleur »

B « Avoir deux boules blanches et deux boules noires » C « Avoir trois boules blanches et une boule noire »