Page 1 sur 3
EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : Baccalauréat Blanc, Mathématiques, Série ‘’D’’ 2020 PDF Gracieusement mis à disposition.
AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org BACCALAUREAT BLANC SESSION DE : JUIN 2020
EPREUVE DE : MATHEMATIQUES SERIE : D
Exercice 1
1- Résoudre dans ℂ l’équation (1 − 𝑖)𝑧2− 2𝑧 − 11 − 3𝑖 = 0
2- On donne le polynôme P défini par : P(z) = (1 − 𝑖)𝑧3− (2 + 4𝑖)𝑧2+ (−15 + 𝑖)𝑧 − 28 + 16𝑖
a) Détermine deux nombres réels a et b tel que 𝑧 ∈ ℂ 𝑃(𝑧) = (𝑧 + 𝑎 + 𝑖𝑏)[(1 − 𝑖)𝑧2− 2𝑧 − 11 − 3𝑖]
b) En déduire la solution de l’équation 𝑃(𝑧) = 0
3- Le plan complexe P est muni d’un repère (𝑂 ; 𝑢⃗ ; 𝑣 ). Soit A ; B et C les points d’affixes respectives 𝑧𝐴 = −2 + 2𝑖 ; 𝑧𝐵 = 3 + 2𝑖 et 𝑧𝐶 = −2 − 𝑖
a) Placer les points A ; B et C dans le repère b) On pose𝑍 = 𝑧𝐶−𝑧𝐴
𝑧𝐵−𝑧𝐴. Calculer le module et un argument de Z puis en déduire la nature du triangle ABC.
c) Détermine l’affixe du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un rectangle
4- Soit f la transformation du plan qui à tout pont M d’affixe z associe le point M’
d’affixe 𝑧′ = 𝑎𝑧 + 𝛽
a) Détermine les nombres complexes 𝑎 𝑒𝑡 𝛽 telle que f laisse le point A invariant et transforme C en B
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.
Exercice 2
L’espace ℝ3 est rapporté à une base 𝐵 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) et f un endomorphisme de ℝ3 définit analytiquement par {
𝑥′ = 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 𝑦′= 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 𝑧′ = 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 1. détermine la matrice M de f dans la base B 2. Détermine 𝑓(𝑖 ). 𝑓(𝑗 ). 𝑓(𝑘⃗ )
3. Montre que f est une symétrie vectorielle que l’on caractérisera
Page 2 sur 3
EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : Baccalauréat Blanc, Mathématiques, Série ‘’D’’ 2020 PDF Gracieusement mis à disposition.
AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 4. On donne 𝑒 1(1 ; 1 ; 1), 𝑒 2(1 ; 0 ; 1) 𝑒𝑡 𝑒 3(0 ; 1 ; 1)𝑎)
a) Montrer que 𝑒 1, 𝑒 2 𝑒𝑡 𝑒 3 est une base de ℝ3 et exprimer 𝑓(𝑒⃗⃗⃗ ) ; 𝑓(𝑒1 ⃗⃗⃗ ) ; 𝑓(𝑒2 ⃗⃗⃗ ) 3 en fonction de 𝑒 1 , 𝑒 2 et 𝑒 3
b) Conner la matrice M’ de f dans la base (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3)
Exercice 3 Partie A
Soit 𝑔 la fonction définie par 𝑔(𝑥) = ℮𝑥−1
2
1) Etudier les variations de 𝑔 puis dresser son tableau de variation
2) Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une solution unique 𝛼 appartenant à l’intervalle Ι = [1
2 ; 1]
3) Etudier suivant les valeurs de 𝑥 le signe de 𝑔(𝑥)
Partie B
On donne la fonction f de la variable réelle 𝑥 définie par : 𝑓(𝑥) = ℮𝑥− 𝑙𝑛|𝑥| et on désigne par (𝒞) la courbe représentative de f dans un plan muni d’un repère orthogonal (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ) d’unités graphiques 2cm sur l’axe des abscisses et 1cm sur l’axe des ordonnées
1) Préciser l’ensemble de définition 𝐸𝑓 𝑑𝑒 𝑓
2) Calculer les limites de 𝑓 − ∞ ; 0 𝑒𝑡 + ∞ puis donné une interprétation graphique
3) Montrer que l’équation du 𝑥 ∈ 𝐸𝑓 𝑓′(𝑥) = 𝑔(𝑥) 4) Dresser le tableau de variation de f
5) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une solution unique 𝛽 appartenant à l’intervalle 𝐽 = [−2; −1]
6) Montrer que√𝑒 ≤ 𝑓(𝛼) ≤ 𝑒 + 𝑙𝑛2, donner un encadrement à 10−1 pres de 𝑓(𝛼) et construire (𝒞)
7) Soit a un nombre réel strictement négatif tel que 𝛼 < −1. Calculer en cm2 l’aire de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe (𝒞) et les droites d’équations respectives 𝑥 = 𝛼 𝑒𝑡 𝑥 = −1
(On prendra 𝛼 = 0,75 𝑒𝑡 𝑓(𝛼) = 2
Page 3 sur 3
EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : Baccalauréat Blanc, Mathématiques, Série ‘’D’’ 2020 PDF Gracieusement mis à disposition.
AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Exercice 4
Le directeur des ressources humaines de l’entreprise ‘’’POLOKOMA 2025’’ doit embaucher des ouvriers. Lors de la précédant compagne de recrutement pour les postes analogues, il fait une étude statistique sur le nombre des candidats Y en fonction des salaires X proposés. Il y a eu les résultats suivants :
Salaire moyen : 𝑋̅ = 600.000FCFA
Variance de X : v(x)= 20000
Equation de la droite de régression de y en x : y = 0.001125𝑥 −56
Le coefficient de corrélation = 0,922
1) Déterminer le nombre moyen des candidatures 𝑌̅
2) Déterminer la covariance (𝑋. 𝑌) de la série 3) Déterminer la droite de régression de x en y
4) En déduire une estimation de salaire que doit proposer le directeur s il veut embaucher 30 ouvriers
