BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Série S

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES

Série S

Avril 2020

L’attention des élèves est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Le sujet comporte 4 pages.

L’usage de la calculatrice est autorisé, mais l’échange entre les élèves est interdit.

Exercice 1 (5 points)

. Commun à tous les élèves

Partie A Soitula fonction définie sur ]0;+∞[ par :

u(x)=x²−2+lnx.

1. Étudier les variations deuet déterminer ses limites en 0 et en+∞.

2. (a) Montrer que l’équationu(x)=0 admet une solution unique sur ]0;+∞[.

On noteαcette solution.

(b) À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10⁻²deα.

3. Déterminer le signe deu(x) suivant les valeurs dex.

4. Montrer l’égalité : lnα=2−α².

Partie B

On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0;+∞[ par : f(x)=x²+(2−lnx)². On note f^′la fonction dérivée def sur ]0;+∞[.

1. Montrer que, pour toutxde ]0;+∞[ :

f^′(x)= 2

x×u(x).

2. En déduire les variations def sur ]0;+∞[.

Partie C

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O;−→ı ,−→), on note :

• Γla courbe représentative de la fonction logarithme népérien ln;

• A le point de coordonnées (0;2);

• M le point deΓd’abscissexappartenant à ]0;+∞[.

1

1. Montrer que la distance AM est donnée par AM=p f(x).

2. Soitg la fonction définie sur ]0;+∞[ parg(x)=p f(x).

(a) Montrer que les fonctionsf etg ont les mêmes variations sur ]0;+∞[.

(b) Montrer que la distance AM est minimale en un point deΓ, noté P, dont on précisera les coordonnées.

(c) Montrer que AP=αp 1+α². 3. Question hors barème.

Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente àΓen P ? Exercice 2 (5 points)

. Commun à tous les élèves

On considère la suite (In) définie par : I₀=

Z¹₂

0

1

1−xd x et, pour tout entier naturelnnon nul In= Z¹₂

0

xⁿ 1−xd x.

1. Montrer que I₀=ln(2).

2. (a) Calculer I0−I1. (b) En déduire I1.

3. (a) Montrer que, pour tout entier natureln,

In−In+1=

¡₁

2

¢n+1

n+1 . (b) En déduire I₂.

(c) Soit NÊ1 un entier naturel.

Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il calcule une valeur approchée de I_N. I←−. . . .

Pourkallant de 1 à N

I←−. . . . Fin Pour

.

(d) À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 10⁻⁴près du résultat donné par cet algorithme lorsque N=5.

4. (a) On admetque, pour tout entier naturelnÊ1 et tout réelxde l’intervalle

· 0;1

2

¸ , on a 0É xⁿ

1−x É 1 2ⁿ⁻¹. Montrer que, pour tout entier naturelnÊ1,

0ÉI_nÉ 1 2ⁿ. (b) Déterminer, si elle existe, la limite de la suite (In).

2

Exercice 3 (5 points)

. Commun à tous les élèves

Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne.

Partie A : Pour un premier jeu :

• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à2 5.

• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4 5.

Pour tout entier naturel non nuln, on désigne par Gnl’évènement « l’internaute gagne lan-ième partie » et on notep_nla probabilité de l’évènement Gn.

L’internaute gagne toujours la première partie et doncp₁=1.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

Gn

pn

Gn+1

. . .

G_n+1 . . .

Gn

1−p_n

Gn+1

. . .

Gn+1

. . .

2. Montrer que, pour toutnentier naturel non nul,p_n+1=1 5p_n+1

5. 3. (a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturelnÊ1,p_n=3

4× µ1

5

¶n−1

+1 4. (b) De la relation précédente, on déduit que lim

n→+∞p_n=1 4. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.

(c) Déterminer le plus petit entier naturelnÊ1 pour lequelp_n<1

4+10⁻³⁰. Partie B :

Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.

On suppose que toutes les parties sont indépendantes.

La probabilité de gagner chaque partie est égale à1 4.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.

1. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X? Justifier.

(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie? Le résultat sera arrondi à 10⁻²près.

(c) Déterminer l’espérance de X.

2. Le joueur doit payer 30epour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8e_. (a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.

(b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40e. Le résultat sera arrondi à 10⁻⁵près.

3

Exercice 4 (5 points)

. Élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-contre.

On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB].

On munit l’espace du repère orthonormé

³A;−→AB,−→AD,−→AE´ .

A B

C D

E F

G H

bI

b J

1. Donner les coordonnées des points I et J.

2. (a) Montrer que le vecteur−→n



 1

−2 2



est un vecteur normal au plan (BGI).

(b) En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).

(c) On note K le milieu du segment [HJ]. Le point K appartient-il au plan (BGI)?

3. Dans cette question, l’unité d’aire est celle du carré ABCD et l’unité de volume est celui du cube ABCDEFGH.

Le but de cette question est de calculer l’aire du triangle BGI.

(a) En utilisant par exemple le triangle FIG pour base, démontrer que le volume du tétraèdre FBIG est égal à 1

6.

On rappelle que le volumeVd’un tétraèdre est donné par la formuleV= 1

3B×h oùBdésigne l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.

(b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite∆passant par F et perpendiculaire au plan (BGI).

(c) La droite∆coupe le plan (BGI) en F^′. Montrer que le point F^′a pour coordonnées µ7

9; 4 9; 5

9

¶ . (d) Calculer la longueur FF^′.

En déduire que l’aire du triangle BGI est égale à 3 4.

4