[ Baccalauréat STL 2010 \ L’intégrale de juin à septembre 2010

(1)

[ Baccalauréat STL 2010 \

L’intégrale de juin à septembre 2010

Antilles–Guyane Biochimie juin 2010 . . . . 3

La Réunion Biochimie juin 2010 . . . . 5

Métropole Biochimie juin 2010 . . . . 7

Polynésie Biochimie juin 2010 . . . . 10

Métropole Biochimie juin 2010 . . . . 12

Antilles-Guyane Chimie de laboratoire juin 2010 . . . . 14

Métropole Chimie de laboratoire juin 2010 . . . . 16

Métropole Chimie de laboratoire septembre 2010 . . . . 18

Métropole Physique de laboratoire juin 2010 . . . . 20

Métropole Physique de laboratoire septembre 2010 . . . . 23

(2)

A. P. M. E. P.

2

(3)

Durée : 2 heures

[ Baccalauréat STL Biochimie Antilles–Guyane juin 2010 \

EXERCICE1 8 points

Dans le cadre de la prévention des angines hivernales, une étude a été menée pour tester l’efficacité réelle d’un médicament constitué d’un cocktail de vitamines.

Dans ce but, on a sélectionné un échantillon de 600 personnes réparties de manière aléatoire en trois groupes : 240 personnes dans le groupe A, 35 % de l’échantillon dans le groupe B, et le reste dans le groupe C.

On a administré aux personnes du groupe A durant la période hivernale une dose journalière de ce médicament en le leur disant.

On a administré aux personnes du groupe B un placebo (c’est-à-dire un comprimé neutre, ne contenant aucun élément médicinal actif), tout en leur disant qu’il s’agissait du médicament.

On a administré aux personnes du groupe C le médicament en leur disant qu’il s’agissait d’un placebo.

Les résultats de l’étude sont recensés sur 600 fiches individuelles.

28 % des fiches signalent un traitement efficace. Parmi celles-ci 72 fiches correspondent à des personnes du groupe B.

75 % des fiches correspondant aux personnes du groupe A ne signalent aucune amélioration significative.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Groupe A Groupe B Groupe C Total Nombre de fiches signalant un

traitement efficace

Nombre de fiches ne signalant aucune amélioration significative

Total 240 600

2. a. On choisit une fiche au hasard parmi les 600.

On considère les évènements suivants : E1: « Il s’agit d’une fiche du groupe A. »,

E2: « Il s’agit d’une fiche signalant un traitement efficace. », E3=E1∩E2.

E4=E1∪E2.

Calculer les probabilités de ces quatre évènements.

b. On choisit au hasard une fiche du groupe B.

On considère l’évènementE5: « Il s’agit d’une fiche signalant un traitement efficace. ».

Calculer la probabilité de l’évènementE5.Le résultat sera arrondi à10⁻².

3. Pour chacun des groupes, donner les fréquences en pourcentage des fiches signalant un traitement efficace. Commenter les résultats des groupes A, B et C en les comparant.

Trachypenaeusest le nom d’une espèce de crevette se développant dans les eaux chaudes de l’île de la Guadeloupe.

L’objectif de l’exercice est l’étude de la croissance en taille de cette espèce en fonction de l’âge des crevettes.

(4)

A. P. M. E. P.

PARTIE A

Sur un échantillonnage et sur une courte durée, les relevés ont donné les résultats suivants : Âgeti(en nombre

de semaines) 1 2 3 4 5 6 7 8

Tailleyi (exprimée

en millimètre) 10 18 25 33 40 41 50 53

1. Soit G le point moyen du nuage de points associé à ce tableau. On considère la droiteDpassant par G et de coefficient directeur 6,14. Déterminer une équation de la droiteD.

2. On considère que la fonction affine représentée par la droiteD traduit l’évolution de la taille en fonction de l’âge des crevettes avec les unités considérées. Déterminer selon ce modèle la taille d’une crevette de 12 semaines.

3. On estime que l’espérance de vie d’une crevette Trachypenaeusen haute mer est de 3 an- nées. Calculer, avec le modèle retenu, la taille atteinte au bout de 3 ans. Commenter le résultat trouvé.

PARTIE B(source : Ifremer)

En fait, des relevés sur une longue durée ont permis d’établir que la tailleL(t) des crevettes Trachy- penaeus exprimée en millimètre en fonction de l’âgetexprimé en semaines est donnée par :

L(t)=87,5¡

1−e⁻^0,12t¢

1. a. Déterminer la limite de la fonctionLen+∞; en donner une interprétation graphique.

b. Déterminer la dérivéeL^′de la fonctionL.

c. Étudier les variations de la fonctionLsur [0 ;+∞[.

2. a. Calculer, avec ce modèle, la taille d’une crevette de trois ans.

b. Déterminer l’âge théorique d’une crevette de taille 80 mm.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, toute initiative même infruc- tueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Tracer la courbe représentative de la fonctionLsur l’intervalle [0; 15] et la droiteDde la partie A dans le même repère. On prendra pour unité graphique 1 cm pour une semaine en abscisse et 1 cm pour 10 mm en ordonnée. Donner une interprétation du graphique obtenu.

Antilles–Guyane 4 juin 2010

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[ Baccalauréat STL Biochimie La Réunion juin 2010 \

Un laboratoire a mis au point un test de dépistage d’une maladie non contagieuse, et souhaite en évaluer l’efficacité. Une étude est alors menée sur une population de 10 000 individus dont on sait que 15 % sont touchés par la maladie.

On obtient les résultats suivants :

• 36 individus sont atteints par la maladie et présentent un test négatif

• 0,34 % de la population étudiée présente un test positif et n’est pas malade.

1. Recopier et remplir le tableau d’effectifs suivant :

Individu malade Individu sain Total

Test positif Test négatif

Total 10 000

2. On note :

Ml’évènement : « l’individu est malade. » Ml’évènement : « l’individu est sain. » T₊l’évènement : « le test est positif. » T₋l’évènement : « le test est négatif. »

On choisit au hasard une personne de cette population, chaque personne ayant la même pro- babilité d’être choisie.

Les résultats des probabilités seront donnés sous forme décimale exacte.

a. Calculer la probabilitép(M) de l’évènementM, puis la probabilitép(T₊) de l’évènement T₊.

b. Définir à l’aide d’une phrase l’évènementM∩T₊et l’événement M∪T₊, et calculer la probabilité de chacun d’entre eux.

3. On choisit au hasard un individu malade, chaque individu malade ayant la même probabilité d’être choisi.

Quelle est la probabilitépque son test soit négatif?

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

En conclusion de l’étude, le test est déclaré efficace lorsque moins de 3 % des individus ma- lades présentent un test négatif, et que plus de 97 % des individus sains présentent un test négatif.

Ce test sera-t-il déclaré efficace ?

Partie A : Étude d’une fonction

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : f(t)=67− 300

e^0,18t+5

(6)

A. P. M. E. P.

1. a. Déterminer la limite de la fonctionf lorsquettend vers+∞.

b. Que peut-on en déduire pour la représentation graphique de la fonctionf ? 2. Soitf^′la dérivée de la fonctionf, définie sur [0 ;+∞[ .

a. Calculerf^′(t) et démontrer que pour tout réeltpositif ou nul :

f^′(t)= 54e^0,18t

¡e^0,18t+5¢2

b. Déterminer le signe def^′(t).

c. En déduire le tableau de variations de la fonctionf.

3. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs def(t) seront arrondies à 0,1 près) :

t 0 3 5 8 10 12 14 17 20 24 28

f(t) 17 49,8 59,8

4. Construire la courbe représentative (C) de la fonction f dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 2 unités en abscisses et 1 cm pour 10 unités en ordonnées).

Partie B : Application

Pour préserver l’environnement, les français trient depuis de nombreuses années leurs déchets, en particulier le verre. Le tableau suivant donne l’évolution depuis 1985 du taux de recyclage du verre en France exprimé en pourcentage :

Année 1985 1990 1995 1999 2005

Taux de recyclage du verre (en %) 16,7 26,8 39,5 49,7 59,7

Source INSEE On admet que la fonctionf de la partie A modélise de façon satisfaisante le taux (exprimé en pourcentage) de recyclage du verre en France lorsquet représente le nombre d’années qui s’écoulent depuis l’année 1985 (année qui correspond donc àt=0).

Répondre aux questions suivantes en utilisant la fonctionf.

1. Calculer le taux de recyclage du verre en France pour l’année 2011 (on arrondira le résultat à 0,1 % près).

2. a. Déterminer par le calcul l’année ou le taux de recyclage du verre en France sera de 62,6 %.

b. Vérifier graphiquement le résultat précédent, en faisant apparaître sur le graphique de la partie A les traits de construction utiles.

Selon le modèle précédent, le taux de recyclage du verre en France sera-t-il un jour de 70 % ? Justifier votre réponse.

La Réunion 6 juin 2010

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[ Baccalauréat STL Biochimie Métropole 18 juin 2010 \

Questionnaire à choix multiple :

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.

Relever sur la copie la référence de chaque question, suivie de la lettre correspondant à la réponse choi- sie.

Aucune justification n’est demandée.

Une bonne réponse rapporte1point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

1. Dans un jeu de 32 cartes, on en tire une au hasard. La probabilité d’obtenir un valet ou un pique est :

a. 3

8 b. 1

4 c. 11

32 2. La fonction f définie sur [−4 ; 0] par f(x)= x−2

2−3x a pour fonction dérivée la fonction f^′ définie par :

a. f^′(x)= − 4

(2−3x)² b. f^′(x)= 8−6x

(2−3x)² c. 4

(3x−2)²

3. On considère la fonctionf définie sur [0,5 ; 12] parf(x)=ln(x+0,5) et (C) sa courbe repré- sentative dans un repère orthogonal. Une équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 0,5 est :

a. y=x+0,5 b. y=x−0,5 c. y= −x+0,5

4. Soit (D) la droite passant par les points A(5; 30) et B(7; 50). Le coefficient directeur de (D) est :

a. 10 b. 20 c. 0,1

5. Une population de bactéries augmente de 20 % toutes les demi-heures. Initialement, la population est de 10 milliers de bactéries. Au bout de six heures, la population est environ :

a. 72 milliers de bactéries b. 89 milliers de bactéries c. 144 milliers de bactéries 6. Le comité d’entreprise d’un grand magasin veut organiser un voyage pour son personnel.

Il envoie donc un questionnaire aux employés pour connaître leurs préférences, reçoit 400 ré- ponses et construit le tableau suivant :

À l’hôtel En club En croisière Total

En France 14 26 20 60

À l’étranger 266 34 40 340

Total 280 60 60 400

A.On choisit un employé au hasard : la probabilité que cet employé préfère un séjour à l’hôtel est :

a. 0,28 b. 0,7 c. 0,35

B.On choisit un employé au hasard : la probabilité que cet employé ne souhaite pas partir en club est :

(8)

A. P. M. E. P.

a. 0,65 b. 0,75 c. 0,85

C.On choisit un employé au hasard parmi ceux qui ont décidé de partir à l’étranger. La pro- babilité qu’il préfère un séjour en club est :

a. 0,3 b. 0,1 c. 0,85

Partie A

1. On considère l’équation différentielle

(E) :y^′= −0,046y, oùyest une fonction de la variable réelletdérivable surR.

Résoudre l’équation (E).

2. Une contamination accidentelle des aliments dans un élevage de porcs a provoqué une intoxication aigüe chez les animaux. On étudie alors l’élimination de la toxine incriminée chez un porc prélevé dans le cheptel. On sait que la concentration de la toxine dans le sang varie en fonction du tempstsuivant la relation :

f(t)=Ce^−0,046t,

oùf(t) est la concentration exprimée enµg/L, à l’instanttexprimé en jours.

a. Sachant que cinq jours après l’intoxication la concentration est de 23,8µg/L, déterminer la constanteC(on arrondira le résultat à l’unité).

b. Déterminer alors la concentration initiale de la toxine dans le sang de l’animal.

Partie B

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : f(t)=30e^−0,046t. On appelle (C) sa courbe représentative.

1. Calculer la limite def(t) quandttend vers+∞.

2. En déduire l’existence d’une asymptote (que l’on précisera) à la courbe (C).

3. Pour tout nombre positift, calculerf^′(t), oùf^′désigne la fonction dérivée def sur [0 ;+∞[.

4. Étudier le signe def^′(t) et en déduire les variations de la fonctionf sur l’intervalle [0 ;+∞[.

5. On considère un repère orthonormal d’unités graphiques 1 cm pour 2 jours en abscisses et 1 cm pour 2µg/L en ordonnées.

a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à 10⁻¹près) :

t 0 5 10 15 20 25

f(t)

Placer dans le repère les points correspondants.

b. Déterminer une valeur arrondie à 10⁻¹près du coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 15. Tracer alors cette tangente dans le repère précédent.

Métropole 8 18 juin 2010

(9)

A. P. M. E. P.

c. Construire la courbe (C) dans le même repère.

Partie C

On admet que la fonctionf étudiée dans la partie B modélise de façon satisfaisante la concentration de la toxine dans le sang de l’animal étudié.

1. a. Déterminer par le calcul la concentration mesurée une semaine après l’intoxication. On arrondira le résultat à l’unité.

b. Vérifier graphiquement le résultat précédent, en faisant apparaître les traits de construction utiles sur le graphique de la partie B.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation

On considère que la toxine n’est plus dangereuse pour le porc lorsque sa concentration atteint 10 % de la valeur initiale.

Déterminer le nombre de jours nécessaires pour annoncer que le porc est hors de danger.

(10)

[ Baccalauréat STL Polynésie juin 2010 \ Biochimie–Génie biologique

Une enquête est effectuée dans un établissement de 1 250 élèves afin de connaître leur groupe sanguin.

• Aucun élève n’est du groupe sanguin AB.

• Il y a 650 garçons et 66 % d’entre eux sont du groupe A.

• 42 % des élèves sont du groupe O et parmi ceux-là, il y a deux fois plus de filles que de garçons.

• Il y a 12 filles du groupe B.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

A B O Total

Garçons Filles

Total 1 250

2. On choisit au hasard un des élèves parmi les 1 250 élèves de l’établissement.

a. Montrer que la probabilité de l’évènementF: « l’élève choisi est une fille » est égale à 0,48.

b. Calculer la probabilité de l’évènementH: « l’élève choisi est du groupe A ».

Le résultat sera arrondi à 0,01 près.

c. Définir par une phrase les évènementsF∩H,F∪H,F∩Hpuis calculer chacune de leur probabilité. Les résultats seront arrondis à 0,01 près.

3. On choisit au hasard un élève du groupe B.

Calculer alors la probabilité de l’évènementG: « l’élève choisi est un garçon ».

Le résultat sera arrondi à 0,01 près.

Partie A

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0; 8] par :

f(t)=14−t−10e⁻^0,8t.

1. Vérifier que la fonction dérivéef^′def vérifie pour tout réeltde l’intervalle [0; 8]

f^′(t)= −1+8e⁻^0,8t. 2. Résoudre requation :

−1+8e^−0,8t=0.

Donner la valeur exactet0de la solution de cette équation, puis une valeur arrondie au dixième.

3. Résoudre sur l’intervalle [0; 8] l’inéquation :

−1+8e^−0,8t>0.

En déduire le signe de la dérivée de la fonctionf sur cet intervalle et dresser son tableau de variations.

(11)

A. P. M. E. P.

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative (C) de la fonction f au point d’abscisse 0.

5. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à 0,01 près) :

t 0 1 2 2,6 3 4 5 6 7 8

f(t) 9,59 5,98

6. Dans un repère orthogonal, en prenant 2 cm pour 1 unité sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 1 unité sur l’axe des ordonnées, construire les tangentes aux points d’abscisses 0 ett0ainsi que la courbe (C).

Partie B

On injecte une substance médicamenteuse dans le sang d’une personne et on surveille le taux de cette substance pendant 8 heures.

On considère que le taux de cette substance¡

en mg.l⁻¹¢

en fonction du tempst(en heures) est mo- délisé par la fonctionf définie dans la partie A.

1. À quel instanttce taux est-il maximum? Exprimer cet instant en heures et minutes en utilisant la valeur approchée obtenue dans la partie A.

Quelle est alors la valeur du taux maximum de cette substance dans le sang du patient ? 2. Pour les deux questions suivantes, on fera apparaître les traits de construction utiles et les

résultats seront arrondis à la demi-heure près.

a. Déterminer graphiquement l’instanttoù le taux redevient inférieur à 8,5 mg.l⁻¹. b. On considère que cette substance est active lorsque le taux est supérieur à 7 mg.l⁻¹.

Déterminer graphiquement la durée pendant laquelle cette substance est active.

Polynésie 11 juin 2010

(12)

[ Baccalauréat STL Biochimie Métropole 14 septembre 2010 \

Le tableau ci-dessous décrit l’évolution de la capacité mondiale de production d’électricité des éo- liennes, depuis l’année 2000, en mégawatts (MW).

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Rang de l’annéex_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Production en mégawattsy_i 16 700 23 600 29 700 38 700 46 400 56 000 72 200 90 000 120 600 1. Recopier et compléter le tableau suivant, où ln¡

yi

¢désigne le logarithme népérien deyi. Les valeurs seront arrondies à 10⁻²près.

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9

zi=ln¡ yi

¢

2. Construire le nuage de pointsMi(xi;zi) dans un repère orthogonal.

En ce qui concerne le graphique, on prendra pour origine le point de coordonnées (0 ; 9) et pour unités : 1 cm pour 1 année en abscisse et 5 cm pour 1 unité en ordonnée.

3. On désigne parG1le point moyen des cinq premiers points du nuage etG2le point moyen des quatre derniers.

a. Calculer les coordonnées deG1et deG2et placer ces points sur le graphique.

b. Tracer la droite (G₁G2) et déterminer son équation sous la forme z=ax+b. Les valeurs deaetbseront arrondies à 10⁻²près.

On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points.

4. En utilisant l’ajustement réalisé à la question précédente :

a. Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, la capacité de production, expri- mée en mégawatts, des éoliennes en 2012. On donnera une valeur arrondie au millier de mégawatts près.

b. Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, en quelle année la capacité pour- rait atteindre 230 000 mégawatts.

On étudie l’évolution d’une population de rongeurs limitée par un prédateur, en fonction du temps t. On admet que la taille de la population, exprimée en centaines d’individus, est modélisée par la fonctionf définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par :

f(t)= 3e^0,5t e^0,5t+2,

oùtreprésente le temps écoulé depuis l’an 2000, exprimé en années (donct=0 en l’an 2000).

On note (C) la courbe représentative de la fonctionf. 1. a. Calculerf(0) et interpréter ce résultat.

b. Montrer que :

f(t)=3− 6 e^0,5t+2.

(13)

A. P. M. E. P.

c. En déduire la limite def quandttend vers+∞.

Que peut-on en déduire sur l’évolution à long terme de cette population ? 2. a. Montrer que la dérivéef^′de la fonctionf vérifie, sur [0 ;+∞[ :

f^′(t)= 3e^0,5t

¡e^0,5t+2¢2

b. Étudier le signe def^′(t), puis établir le tableau de variations def sur [0 ;+∞[.

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs numériques ci-dessous. On arrondira les valeurs à 10⁻²près.

t 0 2 4 6 8 10

f(t)

4. Construire la courbe (C) dans un repère orthogonal d’unités graphiques :

1 cm pour 1 année en abscisse, et 5 cm pour une centaine d’individus en ordonnée.

Déterminer en quelle année la population de rongeurs dépassera 250 individus.

Métropole 13 14 septembre 2010

(14)

[ Baccalauréat STL Antilles 17 juin 2010 \ Chimie de laboratoire et de de procédés industriels

1. Déterminer les deux nombres complexeszetz^′tels que :

½ 3z−z^′ = 4p 3 z+z^′ = 4i . 2. On considère les nombres complexesz1,z2,z3donnés par :

z1=p

3+i, z2= −p

3+3i, z3=z2

z1.

a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexesz1,z2,z3. b. Déterminer la forme algébrique dez3.

3. Le plan complexe est rapporté à un repère³ O,−→

u,−→ v´

. On prendra pour unité graphique 2 cm.

a. Placer les points A et B d’affixes respectivesz1etz2. b. Montrer que OAB est un triangle rectangle.

c. Déterminer l’affixe du milieu K du segment [AB].

d. On note C le point d’affixe4p 3 3 z3.

Démontrer que les points O, A, B et C appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

On estime que les émissions mondiales de CO2se sont élevées en l’an 2000 à 6,8 milliards de tonnes, et que, depuis, l’augmentation de ces émissions est chaque année de 3 %.

1. On noteE0la quantité de CO2émise en l’an 2000 et, pournentier naturel,Enla quantité émise en l’an 2000+n. Justifier que, selon le modèle envisagé, on peut estimerEnpar l’égalité :

En=6,8×1,03ⁿ.

2. Selon ce modèle, quelle quantité de CO2serait-elle émise en 2010? On donnera le résultat, exprimé en milliards de tonnes, arrondi au dixième.

3. Quelle serait, selon le modèle envisagé, la somme des émissions produites entre le 1^erjanvier 2000 et le 31 décembre 2010?

4. Toujours selon le modèle envisagé, en quelle année la production de CO2atteindrait-elle le double de ce qu’elle fut en 2000?

PROBLÈME 8 points

Le plan est rapporté au repère orthonormal³ O,→−

ı,−→

´

On note H le point de coordonnées (ln3 ; ln3).

On se propose à présent d’étudier la fonctionf définie surRpar : f(x)=x+2− 4e^x

e^x+3. 1. Vérifier, pour toutxréel, l’égalité :f(x)=x−2+ 12

e^x+3.

(15)

A. P. M. E. P.

2. Déterminer les limites de la fonctionf en+∞et en−∞.

3. Démontrer que les droitesD1d’équationy=x−2 etD2d’équationy=x+2 sont asymptotes à la courbeC_f courbe représentative de la fonctionf.

4. Préciser les positions relatives deC_f et des droitesD1etD2. 5. Montrer que, pour tout réelx:

f^′(x)=(e^x−3)² (e^x+3)². Présenter le tableau de variation def.

6. Montrer que H est un point deC_f. Tracer sur un même graphique la courbeC_f et les droites D1etD2ainsi que la tangente en H àC_f.

7. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution, qu’on noterax0, surR. Donner une valeur approchée à 10⁻²près de cette solution.

Antilles–Guyane 15 17 juin 2010

(16)

[ Baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010 \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels

Calculatrice et formulaire autorisés 3 heures

Durée de l’épreuve : 3 heures Coefficient : 4

1. Résoudre l’équation différentielle

y^′′+25y=0,

oùyest une fonction de la variable réellet, définie et deux fois dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels.

2. Déterminer la fonctionf, solution de l’équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions suivantes :f(π)= −p

3 etf^′(π)=5.

3. Vérifier que, pour tout nombre réelt, f(t)=2cos³ 5t+π

6

´. 4. a. Résoudre dansRl’équation 2cosx=1.

b. En déduire les solutions dansRde l’équationf(t)=1.

Un conteneur contient 100 flacons de même capacité, remplis d’une solution liquide contenant un produit P et dosée de la manière suivante :

5 flacons sont remplis d’une solution dosée à 10 % du produit P ; 30 flacons sont remplis d’une solution dosée à 20 % du produit P ; 40 flacons sont remplis d’une solution dosée à 30 % du produit P ; 20 flacons sont remplis d’une solution dosée à 40 % du produit P ; 5 flacons sont remplis d’une solution dosée à 50 % du produit P.

On tire au hasard un flacon du conteneur. On admet que tous les flacons ont la même probabilité d’être tirés.

On appelleX la variable aléatoire qui, à chaque tirage d’un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue dans ce flacon. Ainsi, si on tire l’un des cinq flacons dont le contenu est dosé à 10 %,Xprend la valeur 10.

1. Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoireX. 2. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoireX.

3. Déterminer le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu des 100 flacons dans un même récipient.

Le produit P étant toujours dosé soit à 10 %, soit à 20 %. soit à 30 %, soit à 40 %, soit à 50 %, on souhaite obtenir E(X)=29,2 en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons. Proposer une manière de parvenir à ce résultat.

(17)

A. P. M. E. P.

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=3

2x²−x²lnx+1.

1. Déterminer la limite de la fonction f en 0 (on rappelle que la limite dexlnxlorsquextend vers 0 est 0).

2. Vérifier que, pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[,

f(x)=x² µ3

2−lnx

¶ +1.

En déduire la limite de la fonctionf en+∞. 3. On désigne parf^′la dérivée de la fonctionf.

a. Calculerf^′(x).

Vérifier que, pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[, f^′(x)=2x(1−lnx).

b. Étudier le signe def^′(x) suivant les valeurs dex.

4. Donner le tableau de variation de la fonction f. Indiquer les limites en 0 et en+∞, ainsi que la valeur de l’extremum de la fonctionf.

5. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solutionαunique dans l’intervalle [4; 5].

Déterminer un encadrement deαd’amplitude 10⁻¹.

6. On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans le plan muni d’un repère orthonormé

³O,→− ı,−→

´

(unité graphique : 1 cm).

Tracer la courbeC(faire figurer sur le tracé le point A de la courbeC d’abscisseα).

7. On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par g(x)=11

18x³−1

3x³lnx+x.

Vérifier que la fonctiongest une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

8. On considère le domaineDlimité par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=2 etx=4.

Calculer l’aireA du domaineD.

Donner une valeur approchée deA au centième.

(18)

[ Baccalauréat STL 14 septembre 2011 Métropole \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels

Calculatrice et formulaire autorisés

On considère l’équation différentielle :

(E) : 4y^′′+25y=0,

dans laquelleyest une fonction définie et deux fois dérivable surR, ety^′′la fonction dérivée seconde dey.

1. Résoudre l’équation différentielle (E).

2. Déterminer la fonction f, solution de (E) vérifiant :f(0)=p

2 etf^′³π 2

´

=0.

3. Vérifier que, pour touttdeR, on a :f(t)=2cos µ5

2t−π 4

¶ .

Le plan complexe est muni du repère orthonormal³ O,−→

u,−→ v´

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : z_A= −p

3+i, z_B=2p

2eⁱ^π⁴, z_C= −2³ 1+p

3´ i.

1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexeszAetzC.

2. Écrire les nombreszAetzCsous forme exponentielle. ÉcrirezBsous forme algébrique. Placer les points A, B et C sur une figure.

3. Déterminer la nature du triangle ABC.

4. Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un rectangle.

Partie A

On considère la fonctionf définie surRpar :

f(x)= −e^2x+6e^x−4x−5.

On noteC_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal³ O,→−

ı,−→

´

. On prendra pour unité graphique 5 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées.

1. Déterminer la limite def en−∞.

2. Montrer, pour toutxréel, l’égalité :f(x)=e^x(−e^x+6−4xe⁻^x−5e⁻^x).

En déduire la limite def en+∞.

3. a. Calculer la dérivée de la fonctionf.

(19)

A. P. M. E. P.

b. Montrer, pour toutxréel, l’égalité : f^′(x)=2¡

e^x−1¢ ¡ 2−e^x¢

. c. Étudier le signe def^′.

d. Dresser le tableau de variation def. On calculera les valeurs exactes def(ln 2) etf(0).

4. Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant. On donnera les résultats arrondis au centième.

x −1 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

f(x)

5. Représenter la courbeC_f. On placera les tangentes horizontales.

Partie B

SoitDla partie du plan délimitée par la courbeC_f l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx= −1.

1. Hachurer ce domaine sur la figure.

2. Montrer l’égalité : Z₀

−1f(x) dx=e⁻²

2 −6e⁻¹+5 2.

3. Exprimer l’aire du domaineDen cm². On donnera un arrondi au centième de ce nombre.

(20)

[ Baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal³ O,→−

u,−→ v´

direct. L’unité graphique est égale à 1 cm.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z²−4z+16=0.

2. On considère les points du plan A et B d’affixes respectives : zA=2−2ip

3 et zB=2+2ip 3.

Déterminer le module et un argument des nombreszAetzB. 3. a. Soit le point C d’affixezC= −2p

3−2i.

Montrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercleC dont on précisera le centre et le rayon.

b. Construire le cercleCet les points A, B, C. (On laissera apparaître les traits de construction) 4. Soit le point D d’affixezD=4i. Montrer que le point D a pour image le point C par la rotation

de centre O et d’angle2π 3 .

5. Montrer que le point E, image du point A par la translation de vecteur−−→

OB, appartient au cercle C. Placer le point E sur le graphique.

Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme de fraction.

Une urne contient des boules de couleur numérotées.

• Une boule blanche numérotée➀, que l’on notera B1,

• Deux boules rouges numérotées➁_et➂, que l’on notera R2 et R3

• Trois boules vertes numérotées➀_,➁_et➂, que l’on notera V1, V2 et V3.

Les boules sont indiscernables au toucher.

1. On extrait une boule de l’urne, puis une deuxième, sans avoir remis la première dans l’urne.

On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage, et le second celle obtenue au second tirage.

Par exemple (R2; V3) est un résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée➁ et que la deuxième boule est verte numérotée➂_.

Pour répondre aux questions posées, on pourra s’aider d’un arbre ou d’un tableau.

a. Déterminer le nombre de résultats possibles.

b. On admet que tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A: « Les deux boules sont de la même couleur. »

(21)

A. P. M. E. P.

B: « Le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. » C: « Il y a au moins une boule blanche. »

2. Un jeu consiste à tirer 2 boules de l’urne, selon la méthode décrite dans la question 1.

On noteXla variable aléatoire qui associe, à chaque résultat, le produit des numéros inscrits sur les deux boules.

Exemple : on associe au tirage (B1; V2) le nombre 2 car 1×2=2.

a. Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoireX.

b. Montrer que la probabilité que la variable aléatoireXprenne la valeur 9 est égale à 1 15. c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoireXsous forme de tableau.

d. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soitgla fonction définie pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ par g(x)=x²+3−2lnx.

On noteg^′la fonction dérivée de la fonctiong.

1. À l’aide du tableau de signes de la fonctiong^′sur l’intervalle ]0 ;+∞[, indiquer les variations de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[ :

x 0 1 +∞

g^′(x) − 0 +

2. Calculerg(1) puis en déduire le signe deg(x) pour tout nombre réelxstrictement positif.

Partie B : Étude d’une fonction

Le plan est rapporté à un repère orthonormal³ O,−→

ı,→−

´

, unité graphique 2 cm.

Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par 1 1 lnx f(x)=1

2x+1− 1 2x+lnx

x . etC sa représentation graphique dans le repère³

O,−→ ı,−→

´ .

1. a. Déterminer la limite de la fonctionf en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

b. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞.

2. a. Montrer que pour tout nombre réelxde l’intervalle ]0 ; +∞[ la fonction dérivéef^′de la fonctionf est définie par :

f^′(x)=g(x) 2x².

En déduire le signe def^′(x) pour tout nombre réelxstrictement positif.

b. Dresser le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

(22)

A. P. M. E. P.

3. a. Montrer que l’équationf(x)=0 admet sur l’intervalle ]0 ;+∞[ une solution unique notée α.

b. Donner, en justifiant, un encadrement d’amplitude 0,01 du nombre réelα.

4. Déterminer une équation de la droiteT tangente à la courbeC au point d’abscisse 1.

5. SoitDla droite d’équationy=1 2x+1.

a. Montrer que la droiteDest asymptote oblique à la courbeC en+∞. b. Démontrer que la droiteDcoupe la courbeC en un point B d’abscisse e¹².

c. Étudier les positions relatives de la courbeC et de la droiteDsur l’intervalle ]0 ;+∞[.

6. Tracer dans le repère³ O,−→

ı,→−

´

(unité graphique 2 cm) les droitesT etD, ainsi que la courbe C.

Partie C : calcul d’une aire

1. Hachurer sur le graphique la partieEdu plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=e¹² etx=e.

2. a. Montrer que la fonctionHdéfinie parH(x)= 1

2(lnx)²est une primitive de la fonctionh définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parh(x)=lnx

x .

b. En déduire une primitiveFde la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

c. Montrer que la valeur exacte de l’aireA de la partie du plan hachuréeE est, en unités d’aire,

A=2e²+6e−8e¹²+1

8 .

En déduire une valeur arrondie à 10⁻²de l’aireAen cm².

(23)

[ Baccalauréat STL Métropole 14 septembre 2010 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct³ O,→−

u,−→ v´

, d’unité graphique 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument estπ

2.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z²+2zp

6+8=0.

2. On considère les points A, B, C d’affixes respectives : zA= −p

6+ip

2 ; zB= −zA et zC=2−2i.

a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexeszA,zBetzC· b. En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et

le rayon.

c. Placer les points A, B et C dans le repère³ O,→−

u,−→ v´

.

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature du triangle ABC.

3. a. Écrire les nombres complexeszBetzCsous la formere^iθavecr>0.

b. SoitRla rotation de centre O et d’angle−π

12. Quelle est l’image du point B par la rotation R? Justifier la réponse.

On notey une fonction de la variablex, définie et deux fois dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels, ety^′′sa dérivée seconde.

1. Résoudre l’équation différentielle (E) : 1

4y^′′+y=0.

2. Soitf la fonction définie et dérivable surRsolution de l’équation (E), qui vérifie les conditions suivantes :

f³π 6

´

=0 et f^′(0)=p 3

Montrer que, pour tout nombre réelx, f(x)= −3

2cos(2x)+

p3

2 sin(2x).

3. Vérifier que, pour tout nombre réelx, on a :f(x)= −p 3cos³

2x+π 6

´· 4. Calculer la valeur moyennemde la fonctionf sur l’intervalleh

0 ; π 6

i.

(24)

A. P. M. E. P.

On considère la fonctionf définie sur l’ensemble des nombres réelsRpar : f(x)=x−1−2e^−2x+5e⁻^x.

On désigne parCsa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal³ O,−→

ı,−→

´ , (unité graphique : 2 cm).

Partie A

1. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞.

2. En remarquant que, pour tout nombre réelx, f(x)=e⁻^x(−2e⁻^x+5+xe^x−e^x), déterminer la limite def en−∞.

3. Soit la droiteDd’équationy=x−1.

a. Prouver que la droiteDest asymptote oblique à la courbeC en+∞.

b. Étudier la position relative de la courbeCpar rapport à la droiteD. 4. Montrer quef(ln4)=1

8+ln 4.

Partie B

1. a. Soitf^′la fonction dérivée de la fonctionf.

Montrer que, pour tout nombre réelx, f^′(x)=(e^x−4) (e^x−1) e^2x . b. Déterminer le signe def^′(x) pour tout nombre réelx.

c. Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

2. a. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαsur l’intervalle [−1 ; 0].

b. Donner un encadrement deαd’amplitude 10⁻².

3. Tracer la droiteDet la courbeC dans le repère orthonormal³ O,−→

ı,−→

´

, (unité graphique : 2 cm).

Partie C

1. Déterminer une primitiveFde la fonctionf sur l’ensembleRdes nombres réels.

2. Hachurer sur le graphique la partieEdu plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=ln4.

3. Calculer la valeur exacte de l’aireAde la partieEdu plan en unités d’aire. En déduire la valeur arrondie à 10⁻²de l’aireA en cm².