Durée : 2 heures
[ Corrigé du baccalauréat STL Biochimie \ La Réunion juin 2010
EXERCICE1 8 points
1.
Individu malade Individu sain Total
Test positif 1 464 340 1 804
Test négatif 36 8 160 88 196
Total 1 500 8 500 10 000
2.
a. p(M)= 1500
10000=0, 15.
p(T+)= 1804
10000=0,1804.
b. M∩T+: « l’individu est malade et est positif » ; p(M∩T+)= 1464
10000=0,1464 ;
M∪T+: « l’individu est malade ou est positif » ; p(M∪T+)=1500+340
10000 = 1840
10000=0,184.
Sur 1 500 malades 36 ont un test négatif, donc la probabilité est égale à 36
1500≈0, 024.
3.
4. On a environ 2,4 % de malades ayant un un test négatif : ce pourcentage est inférieur à 3 % ; Sur les 8 500 personnes saines 8 466 ont un test négatif ce qui représente
8160
8500×100=96% donc moins de 97 %.
L’une des deux conditions n’est pas remplie : le test est déclaré inefficace.
EXERCICE2 12 points
Partie A : Étude d’une fonction 1. a. On a lim
t→+∞0, 18t= +∞, donc lim
t→+∞e0,18t= +∞et lim
t→+∞
300
e0,18t+5=0, donc lim
t→+∞f(t)=67.
b. Le résultat précédent signifie que la droite d’équationy=67 est asymptote à la représen- tation graphique de la fonctionf au voisinage de plus l’infini.
2. a. f est dérivable sur [0 ;+∞[ et f′(t)= −
Ã
−300×0, 18e0,18t
¡e0,18t+5¢2
!
= 54e0,18t
¡e0,18t+5¢2.
b. Tous les termes du quotient sont supérieurs à zéro, donc f′(t)>0 : la fonction est crois- sante sur [0 ;+∞[
c. La fonction est croissante def(0)=67−300
6 =67−50=17 à 67.
Corrigé du baccalauréat STL Biochimie A. P. M. E. P.
3.
t 0 3 5 8 10 12 14 17 20 24 28
f(t) 17 22,3 26,8 34,5 39,9 45,1 49,8 55,6 59,8 63,3 65,1 4.
0 5 10 15 20 25
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Partie B : Application
1. 2011 correspond àt=26 etf(26)≈64, 3 ( %).
2. a. Il faut résoudre l’équation : f(t)=62, 6 ⇐⇒ 67− 300
e0,18t+5 =62, 6 ⇐⇒ 4, 4= 300
e0,18t+5 ⇐⇒ 4, 4¡
e0,18t+5¢
=300 ⇐⇒
4, 4e0,18t+22=300⇐⇒ 4, 4e0,18t=278⇐⇒ e0,18t=278
4, 4 ⇐⇒ (par croissance de la fonc-
tion logarithme népérien) ln µ278
4, 4
¶
=0, 18t ⇐⇒ t= ln³
278 4,4
´
0, 18 ≈23, 03.
t=23 correspond à 2008.
b. On trace la droite d’équation y=64, 3 qui coupe la courbe en un point dont on trouve l’abscisse en le projetant sur l’axe des abscisses. Voir la figure ci-dessus
3. La réponse est non puisque d’après ce modèle le pourcentage maximal est de 67 %.
Graphiquement : la droite d’équationy=70 ne coupe pas la courbe représentative def.
La Réunion 2 juin 2010
